Mathematische Schülerleistung als psychologisches Konstrukt?

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Stellen wir uns vor, wir hätten kein mathematisches Wissen. Könnten wir dann noch unsere beruflichen Anforderungen bewältigen? Würden wir die Zeitung verstehen, in der tagtäglich Tabellen und Grafiken abgebildet sind? Könnten wir die Vorschläge zur Altersvorsorge unseres Finanzberaters bei der Bank nachvollziehen? Die Antwort auf diese drei Fragen ist wahrscheinlich bei den meisten von uns „Nein“: Mathematik ist essenziell für die Teilhabe am gesellschaftlichen Leben.

In der Schule „lernt man für das Leben“, denn mathematisches Wissen und mathematische Fähigkeiten erwerben Kinder und Jugendliche primär in der Schule (Geary, 1995; Köller & Baumert, 2002; siehe auch Abschnitt 2.3). Was sie dort lernen, wird üblicherweise aus didaktischer Perspektive festgelegt (Köller & Baumert, 2002):

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Die Spezifizierung dessen, was genau unter Schulleistungen zu verstehen ist, erfolgt typischerweise nicht aus psychologischer, sondern aus didaktischer Perspektive. (…) Psychologische Theoriebildungen zu Schulleistungen beschränken sich üblicherweise auf individuelle, gesellschaftliche und institutionelle Determinanten von Schulleistungen, wobei stillschweigend übergangen wird, worum es sich im Sinne psychologischer Konstrukte konkret bei Schulleistungen handelt.“ (Köller & Baumert, 2002, S. 757)

Diese Feststellung von Köller und Baumert betrifft insbesondere auch mathematische Schülerleistung1 und ist erstaunlich, denn Lernen und Wissenserwerb sind zentrale Themen psychologischer Forschung. Es erleichtert sicherlich den Transfer psychologischer Forschungserkenntnisse in die pädagogische Praxis, wenn mathematische Schülerleistung an die Welt psychologischer Konstrukte angebunden ist. Die zentralen Ziele dieser Arbeit sind daher, mathematische Schülerleistung als psychologisches Konstrukt zu spezifizieren und aus dieser Perspektive besser zu verstehen.

Eine Beobachtung, die wahrscheinlich jede Leserin und jeder Leser dieser Arbeit schon einmal gemacht haben ist, dass nicht alle Schüler gleich gut im Fach Mathematik sind: Schüler2 unterscheiden sich hinsichtlich ihrer mathematischen Schülerleistung. Diese interindividuellen Unterschiede der mathematischen Schülerleistung stehen im Mittelpunkt der vorliegenden Arbeit. Um (den differenzialpsychologischen Aspekt) mathematischer Schülerleistung besser zu verstehen, ist es notwendig, das Zustandekommen der interindividuellen Unterschiede theoretisch zu erklären. Hierzu bieten sich die Strukturtheorien kognitiver Fähigkeiten an. Allerdings besteht auch hier noch Forschungsbedarf. So stellt Carroll – eine Autorität auf dem Gebiet der Strukturforschung kognitiver Fähigkeiten – Folgendes fest:

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In offering the (…) account of a theory of cognitive abilities as it might apply to mathematical thinking, I must admit to a degree of hesitancy and uncertainty. Despite six or seven decades of work in the psychometric tradition, relations between factor-analytically derived abilities and actual performances in various real-world domains, such as mathematics, have remained unclear. There is no doubt that relations exist, but exactly what they are and how they operate is not known as well as might be desired. (Carroll, 1996, S. 21)

Auch in der Strukturforschung kognitiver Fähigkeiten sind also noch einige Fragen zur „real-world domain“ Mathematik offen. Das Ziel, mathematische Schülerleistung als psychologisches Konstrukt zu spezifizieren und besser zu verstehen, ist also sowohl aus der Perspektive der pädagogischen Praxis relevant als auch aus differenzialpsychologischer Forschungsperspektive interessant.

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Im Hinblick auf die beiden Hauptziele der Arbeit werden drei zentrale Forschungsfragen verfolgt. Die erste Forschungsfrage fokussiert dabei auf die Spezifikation mathematischer Schülerleistung als psychologisches Konstrukt. Differenzialpsychologische Fähigkeitskonstrukte werden in der Regel in Form von (faktoriellen) Strukturmodellen konzeptualisiert. Deshalb lautet die erste Frage:

(1) Struktur mathematischer Schülerleistung: Welche kognitiven Fähigkeiten erklären interindividuelle Unte r schiede in der mathematischen Schülerleistung?3 Sind es Fähigkeiten, die spezifisch für die mathematischen Stoffgebiete sind, oder ist es eine generelle mathematische Fähigkeit? Welche Rolle spielt die allgemeine kognitive Fähigkeit, die oftmals mit dem Schlagwort „Intelligenz“ bezeichnet wird? Antworten auf diese Fragen verknüpfen mathematische Schülerleistung mit differenzialpsychologischen kognitiven Fähigkeitskonstrukten.

Die nächsten beiden Forschungsfragen helfen, mathematische Schülerleistung aus der Perspektive kognitiver Fähigkeiten besser zu verstehen. Dabei ist zu bedenken, dass mathematische Schülerleistung in erster Linie das Ergebnis schulischer Lernprozesse (vgl. Abschnitt 2.3; Geary, 1995; Köller & Baumert, 2002) ist. Vor dem Hintergrund, dass ein großer Teil der interindividuellen Leistungsunterschiede bei mathematischen Schülerleistungstests mit dem Besuch unterschiedlicher Schulformen einhergeht (Baumert, Trautwein & Artelt, 2003), beschäftigt sich die zweite Forschungsfrage mit Schulformunterschieden:

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(2)Schulformunterschiede: Wie unterscheiden sich Schüler, die unterschiedliche Schulformen bes u chen, hi n sichtlich der kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung? Bei welchen kognitiven Fähigkeiten, die mathematischer Schülerleistung zu Grunde liegen, unterscheiden sich die Schulformen im Mittel am stärksten voneinander? Erzielen Schüler mit gleicher allgemeiner kognitiver Fähigkeit, die aber unterschiedliche Schulformen besuchen, die gleiche mathematische Schülerleistung? Wie sieht es mit der Heterogenität der Schülerschaft hinsichtlich ihrer mathematischen Fähigkeiten aus? Nimmt diese mit zunehmenden Niveau der allgemeinen kognitiven Fähigkeit zu? Ist diese so genannte „Differenzierung“ (z.B. Reinert, Baltes & Schmidt, 1965) von der Schulform abhängig? Über diese inhaltlichen Fragen hinaus wird bei den Analysen zu Schulformunterschieden die zentrale Voraussetzung zur Prüfung dieser Fragen untersucht: Inwiefern ist es möglich, die kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung schulformübergreifend mit identischen Strukturmodellen zu konzeptionalisieren?

Zusammenfassend werden die Ergebnisse zur zweiten Forschungsfrage dann ein sehr umfassendes und methodisch fundiertes Bild über Schulformunterschiede der kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung geben.

Zusätzlich zu Schulformunterschieden sollen die kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung auch mit Blick auf ihre Zusammenhänge mit mehreren Schülermerkmalen beleuchtet werden. Ziel dieser Analysen ist es, die kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung inhaltlich weiter zu unterfüttern. Konkret lautet die dritte Forschungsfrage:

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(3)Validität: 4 Wie kovariieren die kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung mit soziodemografischen und motivationalen Schülervariablen oder Schulnoten? Sind Jungen besser in Mathematik als Mädchen? Wie stark sind Unterschiede des familiären Hintergrunds mit Maßen mathematischer Schülerleistung assoziiert? Wie hängen die kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung mit dem Interesse am Lesen oder der Einschätzung der eigenen verbalen Begabung zusammen? Positiv, negativ oder gar nicht?

Die vorliegende Arbeit ist natürlich nicht die erste, die diese Fragen zur externen Validität mathematischer Schülerleistung untersucht. Doch sie gehört zu den ersten Arbeiten, die die Validität mathematischer Schülerleistung bei gleichzeitiger Berücksichtung der zu Grunde liegenden kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung analysiert. Denn in nahezu allen bisherigen Validitätsstudien mathematischer Schülerleistung (für einige Ausnahmen siehe zusammenfassend Gustafsson & Snow, 1997) wurden die zu Grunde liegenden kognitiven Fähigkeiten nicht getrennt betrachtet. Wenn diese kognitiven Fähigkeiten unterschieden werden, kann möglicherweise ein genaueres Bild der Zusammenhänge zwischen mathematischer Schülerleistung und Schülermerkmalen gezeichnet werden, als dies bisher der Fall war.

Daher wird im Rahmen der dritten Forschungsfrage also einerseits versucht, die bisherigen Befunde zur externen Validität mathematischer Schülerleistung zu replizieren. Andererseits soll untersucht werden, ob – im Vergleich zum bisherigen Vorgehen – alternative Konzeptionen der kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung einen detaillierteren Blick auf die externe Validität dieser Fähigkeiten ermöglichen.

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Um die drei Forschungsfragen zu beantworten, gliedert sich die vorliegende Arbeit in einen theoretischen und in einen empirischen Teil. Im theoretischen Teil werden Theorien und Befunde aus der Forschung zur Struktur kognitiver Fähigkeiten, aus der pädagogisch-psychologischen Forschung und aus der pädagogischen Lehr-Lern-Forschung vorgestellt.

In Kapitel 2 wird zunächst das Problemfeld abgesteckt: Es werden mathematikdidaktische Gesichtspunkte von Schülerleistung skizziert, einige Begriffe (Fähigkeit, Wissen und Lernen) definiert und psychologische Forschungszugänge zu mathematischer Schülerleistung (Entwicklung, Informationsverarbeitung und Problemlösen sowie kognitive Fähigkeiten) vorgestellt. Vor diesem Hintergrund wird begründet, weshalb mathematische Schülerleistung in dieser Arbeit aus der Perspektive kognitiver Fähigkeiten untersucht wird.

Zum besseren Verständnis dafür, wie mathematische Schülerleistung mit standardisierten Tests gemessen wird, befasst sich Kapitel 3 mit mathematischen Schülerleistungstests.

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Kapitel 4 beschäftigt sich mit kognitiven Fähigkeiten. In Abschnitt 4.1 wird das Verhältnis von Schülerleistungen und kognitiven Fähigkeiten geprüft. Im nächsten Abschnitt (4.2) werden Strukturmodelle kognitiver Fähigkeiten vorgestellt, die in dieser Arbeit herangezogen werden, um mathematische Schülerleistung als psychologisches Fähigkeitskonstrukt zu spezifizieren (vgl. Forschungsfrage 1). Anschließend werden in Abschnitt 4.3 Wirkmechanismen erörtert, die erklären, wie Heterogenität in kognitiven Fähigkeiten entstehen kann (vgl. Forschungsfrage 2). Dabei wird insbesondere die Rolle der Lernumwelt (Abschnitt 4.3.1) und die Heterogenität kognitiver Fähigkeiten in Abhängigkeit der allgemeinen kognitiven Fähigkeit beleuchtet (Abschnitt 4.3.2).

Theorien und Befunde der pädagogisch-psychologischen Lehr-Lern-Forschung werden in Kapitel 5 dargestellt. Diese dienen zur theoretischen Untermauerung der Hypothesen, die mit Blick auf alle drei Forschungsfragen abgeleitet werden. Im Rahmen des Carroll-Modells (Carroll, 1963, 1989) wird das Zusammenwirken von kognitiven und motivationalen Schülermerkmalen und Merkmalen des Unterrichts beim schulischen Lernen allgemein erörtert (Abschnitt 5.1). Davon ausgehend wird in Abschnitt 5.2 dargestellt, welche Rolle individuelle Schülermerkmale beim Lernen einnehmen. Hierzu werden in Abschnitt 5.2.1 Prozesse beschrieben, die dem Wissens- und Fertigkeitserwerb zu Grunde liegen, und es werden kognitive Fähigkeiten als maßgebliche Determinanten dieser Lernprozesse identifiziert. Die Modelle schulischen Lernens wie auch die Theorien zum Wissens- und Fertigkeitserwerb stützen die Annahme, dass interindividuelle Unterschiede mathematischer Schülerleistung durch interindividuelle Unterschiede in kognitiven Fähigkeiten erklärt werden können (vgl. Forschungsfrage 1). In Abschnitt 5.2.2 werden motivationale Aspekte des Lernens diskutiert. Damit können Hypothesen abgeleitet werden, wie die kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung mit diesen motivationalen Schülermerkmalen kovariieren (vgl. Forschungsfrage 3). Neben individuellen Schülermerkmalen ist eine Hauptdeterminante mathematischer Schülerleistung der Mathematikunterricht. In Abschnitt 5.3 werden leistungsförderliche Aspekte des Mathematikunterrichts identifiziert. Schulformspezifische Unterschiede des Mathematikunterrichts (Abschnitt 5.4) unterfüttern die Annahme, dass sich die kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung zwischen den Schulformen im Niveau und ihrer Heterogenität unterscheiden können (vgl. Forschungsfrage 2).

Vor dem erarbeiteten theoretischen Hintergrund werden in Kapitel 6 die Theorien und Befunde der vorangegangenen Kapitel hinsichtlich der Forschungsfragen dieser Arbeit nochmals knapp zusammengefasst.

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Konkrete Hypothesen werden im empirischen Teil formuliert und im Rahmen von drei Teilstudien empirisch überprüft. Studie 1 (Kap. 7) beschäftigt sich mit der ersten Forschungsfrage zur Struktur mathematischer Schülerleistung, Studie 2 (Kap. 8) befasst sich mit der zweiten Forschungsfrage zu Schulformunterschieden, und Studie 3 (Kap. 9) behandelt die dritte Forschungsfrage zur Validität der kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung.

Zur Beantwortung der Forschungsfragen werden multivariate statistische Verfahren eingesetzt. Diese Verfahren werden detailliert dokumentiert. Damit werden zwei Ziele verfolgt:

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Die Arbeit schließt mit einer Gesamtdiskussion (Kap. 10), in der die zentralen Ergebnisse der vorliegenden Arbeit zusammengefasst und mögliche Implikationen der Ergebnisse sowie Forschungsperspektiven erörtert werden.


Fußnoten und Endnoten

1  Da Schulleistungen primär von Schülern erbracht werden, wird in Anlehnung an Weinert (2001) nachfolgend von Schülerleistungen gesprochen.

2  Zur sprachlichen Vereinfachung wird in dieser Arbeit anstelle von Schülerinnen und Schülern nur von Schülern gesprochen.

3  Nachfolgend wird synonym zu der Bezeichnung „kognitive Fähigkeiten, die interindividuelle Unterschiede mathematischer Schülerleistung erklären“ auch die Formulierung kognitive Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung oder kognitive Fähigkeiten, die mathematischer Schülerleistung zu Grunde liegen, verwendet.

4  Der Begriff „Validität“ (im Sinne der externen Validität) wird in dieser Arbeit weiter interpretiert, als es die „Standards“ (American Educational Research Association, 1999, S. 9–13) vorsehen. Darin bezieht sich der Begriff „externe Validität“ darauf, inwiefern die empirisch gefundenen Beziehungen zwischen externen Variablen und Testscores konsistent sind mit den erwarteten Beziehungen hinsichtlich der Konstrukte, die der Test messen soll. Hingegen wird in der vorliegenden Arbeit der Begriff „Validität“ auf die kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung selbst angewendet und nicht auf einen bestimmten Test bezogen.



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02.08.2006