10  Gesamtdiskussion

▼ 261 

Im Rahmen der Gesamtdiskussion werden zunächst die zentralen Ergebnisse der vorliegenden Arbeit zusammengefasst (Abschnitt 10.1). Vor diesem Hintergrund wird der Forschungsansatz rekapituliert, Schülerleistungen und kognitive Fähigkeiten aus einer gemeinsamen Strukturperspektive (coordinate measurement, Messick, 1984) zu analysieren (Abschnitt 10.2). In diesem Zusammenhang werden mögliche Implikationen und Forschungsperspektiven für die folgenden Themengebiete erörtert:

In den jeweiligen Abschnitten werden Befunde aus der vorliegenden Arbeit einbezogen. Die einzelnen Ergebnisse aus den drei Teilstudien werden jedoch nicht nochmals diskutiert, denn sie wurden bereits in den Abschnitten zu den jeweiligen Forschungsfragen ausführlich behandelt.

10.1  Zusammenfassung

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Das erste zentrale Ziel dieser Arbeit war, mathematische Schülerleistung als psychologisches Konstrukt zu spezifizieren. Das zweite zentrale Ziel war es dann, mathematische Schülerleistung aus dieser Perspektive besser zu verstehen. Die beiden Ziele wurden im Rahmen von drei Teilstudien auf Grundlage einer Stichprobe von Neuntklässlern aus der PISA-2000-Untersuchung anvisiert. Zur Spezifikation mathematischer Schülerleistung als psychologisches Konstrukt wurden in dieser Arbeit Strukturmodelle kognitiver Fähigkeiten als theoretisches Grundgerüst herangezogen (Studie 1). Ausgehend von den so konzeptionalisierten kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung wurde analysiert, wie sich Schüler unterschiedlicher Schulformen in den Fähigkeiten unterscheiden (Studie 2) und welche Beziehungen diese Fähigkeiten zu soziodemografischen und motivationalen Schülermerkmalen sowie Schulnoten aufweisen (Studie 3). Die zentralen Befunde der drei Teilstudien lassen sich wie folgt zusammenfassen.

Studie 1. In der ersten Teilstudie wurde mit konfirmatorischen Methoden untersucht, welche kognitiven Fähigkeiten interindividuelle Unterschiede in Maßen mathematischer Schülerleistung erklären können. Ausgehend von Strukturmodellen kognitiver Fähigkeiten und auf Basis empirischer Befunde wurden mehrere konkurrierende Modelle spezifiziert und empirisch geprüft. Gemeinsames Merkmal dieser Modelle war ihr hierarchischer Aufbau, der implizierte, dass eine globalere mathematische Fähigkeit spezifischeren mathematischen Fähigkeiten hierarchisch übergeordnet ist. Die zentralen Unterschiede zwischen den Modellen waren: erstens, ob eine generelle kognitive Fähigkeit im Modell integriert war. Zweitens, ob Maße mathematischer Schülerleistung von mehreren kognitiven Fähigkeiten gleichzeitig beeinflusst wurden. Drittens, ob spezifische mathematische Fähigkeiten nach operativen Gesichtspunkten (in Form von Arten mathematischen Arbeitens, Neubrand u.a., 2001) oder in Form mathematischer Stoffgebiete konzeptionalisiert wurden.

Die wichtigsten Ergebnisse der Modellprüfungen ergaben, dass eine stoffgebietsspezifische Klassifikation von Mathematikaufgaben die empirischen Relationen besser approximieren konnte als eine Klassifikation mathematischer Fähigkeiten nach operativen Gesichtspunkten. Weiterhin konnte ein Nested-Faktormodell, in dem mathematische Schülerleistung als Amalgam stoffgebietsspezifischer Fähigkeiten, einer mathematikspezifischen Fähigkeit und der allgemeinen kognitiven Fähigkeit spezifiziert wurde, interindividuelle Unterschiede in den Maßen mathematischer Schülerleistung am besten erklären. Verbale Fähigkeiten (indiziert durch die Skalen des PISA-Lesetests) hatten keinen als bedeutsam zu interpretierenden Einfluss über diese Fähigkeiten hinaus. Auch das Standardmodell, das in nahezu allen bisherigen Studien zu mathematischer Schülerleistung verwendet wurde und eine konzeptionelle Trennung fluider Fähigkeit und genereller mathematischer Fähigkeit vorsieht, erklärte die empirischen Relationen zwischen den Indikatoren kognitiver Fähigkeiten gut, aber schlechter als das Nested-Faktormodell.

▼ 263 

Studie 2. Vor dem Hintergrund, dass Schüler mathematische Fähigkeiten primär in der Schule erwerben (vgl. Abschnitt 2.3; Geary, 1995; Köller & Baumert, 2002) und der Besuch unterschiedlicher Schulformen einen Großteil der interindividuellen Unterschiede in mathematischen Schülerleistungstests erklärt (Baumert, Trautwein & Artelt, 2003), befasste sich die zweite Teilstudie mit Schulformunterschieden in den kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung. Dabei wurden zwei Teilaspekte analysiert: Niveau- und Heterogenitätsunterschiede in den kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung.

Hinsichtlich der Niveauunterschiede der kognitiven Fähigkeiten wurde erwartet, dass sich die Schulformen deutlich unterscheiden und die schulformspezifischen Mittelwerte folgende Rangfolge aufweisen: Hauptschule < Realschule < Gymnasium. Hierfür sprach (zusätzlich zu den empirischen Befunden früherer Studien), dass Schüler mit höherem Niveau kognitiver Fähigkeiten in der Regel auch höhere Schulformen besuchen (Baumert u.a., 2003, S. 283) und dass leistungsförderliche (vor allem kognitiv herausfordernde) Aspekte des Mathematikunterrichts an höheren Schulformen tendenziell stärker ausgeprägt sind (vgl. Abschnitt 5.4). Die wichtigsten Befunde waren, dass in allen drei untersuchten Schulformen (Hauptschule, Realschule und Gymnasium) die kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung sowohl in Form eines (skalarinvarianten) Standardmodells als auch in Form eines (skalarinvarianten) Nested-Faktormodells konzeptionalisiert werden konnten. In beiden Modellen zeigte sich auch das erwartete Befundmuster hinsichtlich der Schulformunterschiede der untersuchten kognitiven Fähigkeiten: Schulformspezifische Mittelwertunterschiede in der fluiden Fähigkeit und der allgemeinen kognitiven Fähigkeit waren substanziell und nahezu gleich groß. Auch für die generelle mathematische Fähigkeit und die mathematikspezifische Fähigkeit resultierten deutliche Schulformunterschiede, die jedoch bei der generellen mathematischen Fähigkeit wesentlich stärker ausgeprägt waren als bei der mathematikspezifischen Fähigkeit.

Die Analysen zur Heterogenität der kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung konzentrierten sich auf die mathematikspezifische Fähigkeit. Ausgangspunkt zur Ableitung von einer generellen und einer schulformspezifischen Differenzierungshypothese waren die empirischen Befunde früherer Studien, dass Personen mit höherem Fähigkeitsniveau eine stärkere Differenzierung der kognitiven Fähigkeiten aufweisen. Die Ergebnisse in der vorliegenden Arbeit stützten die generelle Differenzierungshypothese, da die Heterogenität der mathematikspezifischen Fähigkeit in der Gesamtpopulation der Schüler mit zunehmendem Fähigkeitsniveau zunahm. Eine mögliche Erklärung dieser Differenzierung ist, dass Schüler mit höherem Fähigkeitsniveau Zugang zu besseren Bildungsmöglichkeiten haben und somit bessere Investitionsmöglichkeiten für ihre allgemeine kognitive Fähigkeit vorfinden. Entgegen der Erwartung konnte diese schulformspezifische Differenzierungshypothese nur für Schülergruppen im jeweils unteren schulformspezifischen Fähigkeitsspektrum bestätigt werden. Im oberen schulformspezifischen Fähigkeitsspektrum war die Heterogenität der mathematikspezifischen Fähigkeit weitestgehend unabhängig von der besuchten Schulform.

▼ 264 

Studie 3. Über die Schulformunterschiede hinaus sollte ein detailliertes Bild der kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung mit Blick auf ihre externe Validität zu mehreren soziodemografischen und motivationalen Schülermerkmalen sowie Schulnoten gezeichnet werden.

Wie auf Grundlage von Befunden aus früheren Studien erwartet wurde, waren im Vergleich zur generellen mathematischen Fähigkeit Geschlechterunterschiede (zu Gunsten der Jungen) in der mathematikspezifischen Fähigkeit deutlich stärker ausgeprägt. Es bestanden nahezu keine Geschlechterunterschiede hinsichtlich der allgemeinen kognitiven Fähigkeit und der fluiden Fähigkeit.

Weiterhin waren – wie auch bereits frühere Studien zeigten – Unterschiede des familiären Hintergrunds (indiziert durch die Anzahl an Büchern und den sozioökonomischen Status) positiv mit der generellen mathematischen Fähigkeit, der fluiden Fähigkeit und der allgemeinen kognitiven Fähigkeit korreliert. Hingegen bestand nahezu kein Zusammenhang zwischen dem familiären Hintergrund und der mathematikspezifischen Fähigkeit.

▼ 265 

Mit Blick auf die externe Validität zu motivationalen Schülermerkmalen wurden das Interesse und das Selbstkonzept untersucht. Hinsichtlich des mathematischen und verbalen Selbstkonzepts wurden Hypothesen auf Grundlage des Bezugsrahmenmodells (Marsh, 1986) abgeleitet. Die Ergebnisse stützen alle Modellannahmen: Schüler mit stärker ausgeprägten mathematischen Fähigkeiten hatten (bei Kontrolle der generellen verbalen Fähigkeit bzw. der spezifischen verbalen Fähigkeit sowie der fluiden Fähigkeit bzw. der allgemeinen kognitiven Fähigkeit) ein positiveres mathematisches Selbstkonzept von sich. Die mathematischen Fähigkeiten hatten darüber hinaus jeweils einen negativen Effekt auf das verbale Selbstkonzept. Weiterhin hatte im Regressionsmodell die allgemeine kognitive Fähigkeit jeweils positive Effekte auf die fachspezifischen Selbstkonzepte, während die fluide Fähigkeit die Selbstkonzepte kaum beeinflusste.

Ausgehend von der Überlegung, dass die Interessensgenese vom Kompetenzerleben abhängig ist, wurde ein erweitertes Bezugsrahmenmodell geprüft. Es zeigte sich wie erwartet, dass stärker ausgeprägte Selbstkonzepte mit einem höheren korrespondierenden fachspezifischen Interesse assoziiert waren. Erwartungswidrig hatte das mathematische Selbstkonzept bei Kontrolle des verbalen Selbstkonzepts keinen negativen Effekt auf das Interesse am Lesen. Ebenso hatte das verbale Selbstkonzept keinen bedeutsamen negativen Effekt auf das mathematische Interesse. Über die Selbstkonzepte hinaus konnten die kognitiven Fähigkeiten das mathematische Interesse nur geringfügig, dafür aber das Interesse am Lesen substanziell vorhersagen: Bei Kontrolle des verbalen und des mathematischen Selbstkonzepts waren Schüler mit höheren Leistungen in der fluiden Fähigkeit, der generellen verbalen Fähigkeit und in der allgemeinen kognitiven Fähigkeit mehr am Lesen interessiert. Hingegen hatten hierbei Schüler mit stärker ausgeprägter mathematikspezifischer Fähigkeit oder einer höheren Leistung in der generellen mathematischen Fähigkeit ein geringeres Interesse am Lesen.

Wie auf Grundlage der Modelle schulischen Lernens erwartet wurde, erzielten Schüler mit höheren Leistungen in der generellen mathematischen Fähigkeit, in der fluiden Fähigkeit, in der mathematikspezifischen Fähigkeit und in der allgemeinen kognitiven Fähigkeit bessere Mathematiknoten. Im Gegensatz zu den drei anderen kognitiven Fähigkeiten (diese korrelierten jeweils positiv mit der Deutschnote) hatten jedoch Schüler mit höheren Leistungen in der mathematikspezifischen Fähigkeit schlechtere Noten in Deutsch.

10.2 Schülerleistung versus kognitive Fähigkeiten? Ein Fazit

▼ 266 

Zusammenfassend betrachtet belegten die drei Teilstudien die theoretische und empirische Tragfähigkeit eines coordinate measurement von mathematischer Schülerleistung und Indikatoren kognitiver Fähigkeiten, wie es Samuel Messick (1984) anregte: Die didaktisch-spezifizierte „mathematische Schülerleistung“ wurde in psychologische Strukturmodelle kognitiver Fähigkeiten integriert und somit in Form psychologischer Konstrukte spezifiziert.

Der gewählte Ansatz implizierte, Grenzen zwischen Forschungsdisziplinen zu überschreiten. So wurden in dieser Arbeit theoretische Überlegungen aus der differenziellen und pädagogischen Psychologie, aus der Mathematikdidaktik und der pädagogisch orientierten Lehr-Lern-Forschung integriert, um die jeweiligen Forschungsfragen zu motivieren und Hypothesen abzuleiten.

Ein coordinate measurement kann jedoch auch mit „Kosten“ verbunden sein. Zum Beispiel wurde mit der Konzeptualisierung der kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung in Form des Nested-Faktormodells ein aus Sicht vieler pädagogischer Forscher eher heikles Konstrukt (siehe hierzu Plomin & Petrill, 1997) wieder „rehabilitiert“: die allgemeine kognitive Fähigkeit (bzw. die psychometrisch definierte „Intelligenz“). Diese erklärte zusätzlich zur mathematikspezifischen Fähigkeit und stoffgebietsspezifischen Fähigkeiten substanziell interindividuelle Unterschiede bei Maßen mathematischer Schülerleistung.

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Unter anderem um diese „Kosten“ zu rechtfertigen, wurden Schulformunterschiede und die externe Validität der kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung sowohl bei einer Konzeptualisierung in Form des Standardmodells als auch in Form des Nested-Faktormodells untersucht. Damit konnten zwei Ziele simultan verfolgt werden:

Insbesondere die Befunde für das Nested-Faktormodell zeigten, dass es sich lohnt, die Perspektive eines coordinate me a surement von Schülerleistungen und kognitiven Fähigkeiten einzunehmen und die Trennung der Konstrukte (vgl. Abschnitt 4.1) ernsthaft in Frage zu stellen. Theoretische und empirische Argumente (siehe Kap. 7, 8 und 9) lieferte die vorliegende Arbeit. Um die Tragfähigkeit dieses Ansatzes weiter zu elaborieren, werden in den nächsten Abschnitten mögliche Implikationen und Perspektiven für die psychologische Forschung, für Schülerleistungsstudien und die Lehr-Lern-Forschung sowie für die pädagogische Praxis erörtert. Im Zentrum steht hierbei die Konzeptualisierung der kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung in Form des Nested-Faktormodells.

10.3 Implikationen und Perspektiven

10.3.1  Psychologische Forschung

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Mögliche Implikationen und Perspektiven für die psychologische Forschung werden anhand von zwei Themen diskutiert: alternative Konzeptualisierungen der kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung und der Brückenschlag zwischen psychologischen Forschungsdisziplinen.

Alternative Konzeptualisierungen. In dieser Arbeit wurden alternative Strukturmodelle mathematischer Schülerleistung miteinander verglichen. Im Forschungskontext kann insgesamt gesehen eine Konzeptualisierung in Form des Nested-Faktormodells favorisiert werden. Drei Gründe sprachen dafür:

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Allerdings sind bei einer Verwendung des Nested-Faktormodells nicht nur Vorzüge verbunden, und es ist auch möglich ähnliche Befundmuster durch alternative Analysestrategien zu erhalten. Letzteres machten auf den ersten Blick insbesondere die Analysen zum Bezugsrahmenmodell (Abschnitt 9.3) und zum erweiterten Bezugsrahmenmodell (Abschnitt 9.4) deutlich. Für die domänenspezifischen Fähigkeiten (M und M´ bzw. V und V´) war das Befundmuster für das Standardmodell und das Nested-Faktormodell äquivalent. Jedoch wurde bei Verwendung des Standardmodells „verschleiert“, welche Varianzanteile bei den Selbstkonzepten durch welche Fähigkeit erklärt wurden. So resultierte beispielsweise trotz positiver bivariater Korrelationen der fluiden Fähigkeit mit den fachspezifischen Selbstkonzepten aufgrund der Kolinearität mit den beiden anderen Fähigkeiten ein Effekt um Null. Im Gegensatz hierzu beeinflusste im Nested-Faktormodell die allgemeine kognitive Fähigkeit die fachspezifischen Selbstkonzepte substanziell positiv. Der Grund für diese zunächst widersprüchlichen Befunde war, dass die generelle verbale Fähigkeit und die generelle mathematische Fähigkeit jeweils die gemeinsamen Varianzanteile von fluider Fähigkeit und den fachspezifischen Selbstkonzepten erklärten. Weiterhin konnten die negativen Effekte auf die Selbstkonzepte der jeweils anderen Domäne unter anderem deshalb gefunden werden, weil bei einer regressionsanalytischen Kontrolle auch gleichzeitig für die fluide Fähigkeit kontrolliert wurde.

Der meines Erachtens große Vorteil des Nested-Faktormodells ist also, dass durch die explizite Konzeptualisierung der kognitiven Fähigkeiten und aufgrund der wechselseitigen Orthogonalität dieser Fähigkeiten die Effekte in Regressionsmodellen unmittelbar auf die jeweiligen Fähigkeiten attribuiert werden können.

Abbildung 31: Standardmodell: Regressionsanalytische Kontrolle für die fluide Fähigkeit

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Das Nested-Faktormodell ist auch im Vergleich zu einer regressionsanalytischen Kontrolle der fluiden Fähigkeit in der generellen mathematischen Fähigkeit (oder generellen verbalen Fähigkeit) vorteilhaft (Abb. 31).

Die regressionsanalytische Kontrolle im Standardmodell impliziert wie auch im Higher-Order-Modell eine Proportionalitätsrestriktion (siehe Abschnitt 9.1.1). Beispielsweise wird der Einfluss der fluiden Fähigkeit wie auch der residualisierten generellen mathematischen Fähigkeit (MRes) auf die Maße mathematischer Schülerleistung beide Male über die gleichen Faktorladungen vermittelt. Damit sind MRes und die mathematikspezifische Fähigkeit nicht äquivalent, da Letztere unabhängig von der allgemeinen kognitiven Fähigkeit die Maße mathematischer Schülerleistung beeinflussen kann. Um also die Beziehungen zwischen Außenkriterien und einer globaleren mathematischen Fähigkeit unabhängig von der fluiden Fähigkeit (bzw. der allgemeinen kognitiven Fähigkeit) möglichst exakt zu bestimmen, ist das Nested-Faktormodell das Modell der Wahl (siehe auch Schmiedek, 2003).

Eine offene Frage ist, ob das Nested-Faktormodell für Menschen aller Altersstufen spezifiziert werden kann. Folgt man Geary (1994, 1996), dann kann erst für Jugendliche an der Highschool ein Faktor extrahiert werden, der die Fähigkeit zum mathematischen Problemlösen repräsentiert. Dies würde (bei der Interpretation der mathematikspezifischen Fähigkeit als Fähigkeit zum mathematischen Problemlösen) das Problem implizieren, dass eine Konzeptualisierung der kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung in Form des Nested-Faktormodells erst für Jugendliche in der Mitte oder am Ende der Sekundarstufe I möglich ist. In Anlehnung an Geary scheint für Jugendliche zu diesem Zeitpunkt die Differenzierung der mathematikspezifischen Fähigkeit so weit fortgeschritten, dass ein korrespondierender Faktor empirisch identifiziert ist. Eine Überprüfung dieser entwicklungspsychologischen Hypothese könnte eine Aufgabe für zukünftige Forschung sein.

▼ 271 

Ein weiterer Nachteil bei der Konzeptualisierung der kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung in Form des Nested-Faktormodells liegt in der Ambiguität der Operationalisierungen (Schulze, 2005). Bei einer Konzeptualisierung in Form des Standardmodells werden die jeweiligen kognitiven Fähigkeiten eindeutig operationalisiert. Maße mathematischer Schülerleistung sind somit nur Indikatoren der generellen mathematischen Fähigkeit. Hingegen scheint mit herkömmlichen Maßen mathematischer Schülerleistung eine eindeutige Operationalisierung der mathematikspezifischen Fähigkeit nicht möglich zu sein. Im Nested-Faktormodell indizieren diese manifesten Variablen die mathematikspezifische Fähigkeit und gleichzeitig die allgemeine kognitive Fähigkeit. Es stellt sich die Frage, ob es möglich ist, Items (oder Erhebungsmethoden) zu generieren, die nur die mathematikspezifische Fähigkeit erfassen. Hierbei ist aber einschränkend festzustellen, dass generell in der Psychologie die Eindimensionalität der Messungen zwar angestrebt, aber selten erreicht wird. Bollen und Lennox (1991) konstatieren zum Beispiel: „exploratory factor analysis virtually always leads to each indicator having nonzero loadings on more than one factor“ (Bollen & Lennox, 1991, S. 309).

Da die mathematikspezifische Fähigkeit nicht eindeutig operationalisiert werden kann und somit zunächst ein statistisches „Phänomen“ ist, ist ihre Interpretation ebenfalls nicht eindeutig. Damit verbundene Einschränkungen und Perspektiven werden im nächsten Abschnitt noch weiter ausgearbeitet.

Brückenschlag zwischen Forschungsdisziplinen. In dieser Arbeit wurden die kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung, die in Form des Nested-Faktormodells konzeptualisiert wurden, wie folgt interpretiert: Die stoffgebietsspezifischen Residualterme repräsentieren die Verfügbarkeit und Fähigkeit zur Anwendung stoffgebietsspezifischen Wissens. Die mathematikspezifische Fähigkeit repräsentierte die stoffgebietsunabhängige Fähigkeit zum mathematischen Problemlösen, und die allgemeine kognitive Fähigkeit repräsentierte die Arbeitsgedächtniskapazität.

▼ 272 

Wichtig ist bei diesen Interpretationen zu bedenken, dass sie nicht empirisch durch operationalisierte Messungen der kognitiven Prozesse oder Wissensarten gestützt wurden. Hier ist auch noch in dreierlei Hinsicht ein Defizit in der Forschung festzustellen:

Erstens hat es bisher nur sehr wenige Studien gegeben (Geary & Widaman, 1992; Swanson & Beebe-Frankenberger, 2004; Tirre & Pena, 1993), die explizit den Zusammenhang zwischen interindividuellen Unterschieden bei kognitiven Informationsverarbeitungsprozessen und Wissensarten und Maßen mathematischer Schülerleistung oder Maßen mathematischer Fähigkeiten untersuchten. Oftmals stehen bei Studien, die beispielsweise den Zusammenhang zwischen Arbeitsgedächtniskapazität und schlussfolgerndem Denken analysieren, mathematische Fähigkeiten nicht im Mittelpunkt (Ackerman, Beier & Boyle, 2002; Kyllonen & Christal, 1990; Süß, Oberauer, Wittmann, Wilhelm & Schulze, 2002) oder werden gar nicht erst berücksichtigt (Engle, Tuholski, Laughlin & Conway, 1999).

Zweitens ist es generell schwierig, Wissensarten eindeutig zu operationalisieren. Die Analyse mathematischer Schülerleistung oder mathematischer Fähigkeiten in dieser Arbeit bildete hier keine Ausnahme. Unabhängig davon, ob man Mathematikaufgaben des PISA-Tests inhaltlich oder operativ klassifizierte, zeigten die hohen latenten Interkorrelationen (siehe Abschnitt 7.1.3), dass die korrespondierenden Faktoren nur zu relativ geringen Teilen unique Anteile der jeweiligen Fähigkeiten bzw. stoffgebietsspezifischen Wissensarten messen.

▼ 273 

Ein weiteres Problem bei der Operationalisierung von mathematischem Wissen ist die Nominalistic Fallacy (Cliff, 1983, S. 120), die pointiert besagt, dass die alleinige Benennung einer Aufgabe als Indikator für Wissen dazu führt, dass diese Aufgabe Wissen erfasst. Vor dieser Fallacy sind selbst die Autoren der methodisch besten Studien (z.B. Tirre & Pena, 1993) nicht gefeit. So haben Tirre und Pena die Aufgabe decomposition and sequencing als Indikator für mathematisches Wissen gehandelt. Allerdings wird die gleiche (oder eine nahezu identische) Aufgabe in der Strukturforschung kognitiver Fähigkeiten unter dem Namen Necessary Arithmetic Operat i ons als Indikator für quantitatives Reasoning (Carroll, 1993) oder allgemeine kognitive Fähigkeit (Snow & Lohman, 1989) betrachtet. Möchte man den Einfluss von Wissen und kognitiven Fähigkeiten getrennt untersuchen, dann sollte bei der Benennung der jeweiligen Maße sehr viel Sorgfalt walten und die relevante Literatur mit Umsicht rezipiert werden.

Drittens gibt es auch keine Studien, die explizit versuchen, „faktoriell reine“ Maße mathematischer Problemlöseprozesse, wie sie Mayer (1985) unterscheidet, zu entwickeln. Wohl auch deshalb, weil die Erfassung von Prozessparametern der Informationsverarbeitung ein schwieriges Unterfangen ist (Lohman, 1994).

Insgesamt gesehen gibt es auf dem Forschungsfeld zum Brückenschlag zwischen psychometrisch definierten kognitiven Fähigkeiten, der Wissenspsychologie und kognitionspsychologischen Informationsverarbeitungsprozessen noch sehr viel zu tun, oder um mit Geary zu sprechen:

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Individual-difference studies that explicitly examine these skills [the ability to mentally translate and represent the meaning of arithmetical and algebraic word problems, ease with which the associated schemas develop], in concert with arithmetical processing and working memory skills, for their relation to performance on mathematical reasoning tests are needed to fill in the gaps in our understanding of this area. (Geary, 1994, S. 147)

Über den Brückenschlag zwischen Psychometrie, Wissens- und Kognitionspsychologie hinaus eröffnet die Konzeption der kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung in Form des Nested-Faktormodells möglicherweise auch interessante Analysemöglichkeiten für die Verhaltensgenetik. So konvergieren die Befunde der meisten verhaltensgenetischen Studien dahingehend, dass in westlichen industrialisierten Gesellschaften die Heritabilität30 der allgemeinen kognitiven Fähigkeit bei ungefähr 50 Prozent liegt (Plomin, DeFries, McClearn & Mc Guffin, 2001; Weinert, 1994). In ähnlicher Höhe liegt auch die Heritabilität der (über mehrere Fächer gemittelten) allgemeinen Schülerleistung (Kovas, Harlaar, Petrill & Plomin, 2005; Plomin u.a., 2001; Plomin & Petrill, 1997). Hinsichtlich von Leistungsindikatoren (Tests und Lehrerurteile) der mathematischen Schülerleistung liegen die Heritabilitätsschätzungen zwischen .20 und .66 (Plomin u.a., 2001). Die Heritabilität der Fähigkeit zum mathematischen Problemlösen (Geary, 1994, verwendet hierbei den Begriff „quantitatives Reasoning“) liegt im Bereich von .27 und .66.

▼ 275 

Ist mathematische Schülerleistung (insbesondere die Fähigkeit zum mathematischen Problemlösen) nun „vererbbar“? Nach Geary (1994, S. 152–153) ist bei den Heritabilitäten zur Fähigkeit zum mathematischen Problemlösen zu bedenken, dass die geschätzten Koeffizienten in erster Linie auf die allgemeine kognitive Fähigkeit (Geary spricht hierbei von generellem Reasoning) zurückzuführen sind und nicht auf die spezifische Fähigkeit zum mathematischen Problemlösen attribuiert werden können. Denn diese Fähigkeit entsteht nach Geary erst durch die intensive Auseinandersetzung mit mathematischen Problemen. Gearys Überlegung sollte auch auf die Heritabilitäten für die mathematische Schülerleistung übertragbar sein, da in die Varianz der mathematischen Schülerleistung – entsprechend den Modellen schulischen Lernens (Abschnitt 5.1) und der Ergebnisse dieser Arbeit (siehe Abb. 17) – auch bedeutsame Varianzanteile der allgemeinen kognitiven Fähigkeit eingehen.

Folgt man dieser Argumentation von Geary, dann kann spekuliert werden, dass die allgemeine kognitive Fähigkeit in dieser Arbeit eine deutlich höhere Heritabilität aufweist als die mathematikspezifische Fähigkeit. Allerdings kann diese Vermutung nicht anhand der Daten in dieser Studie gestützt werden, da die Varianzanteile, die durch Umweltunterschiede oder genetische Unterschiede erklärt werden, nicht bestimmt werden können. Dies ist jedoch eine lohnenswerte Frage für zukünftige Forschungsarbeiten, die auch die Tragfähigkeit der Konzeptualisierung kognitiver Fähigkeiten in Form des Nested-Faktormodells in der Verhaltensgenetik prüft (siehe auch Schmiedek, 2003).

Unabhängig von der exakten Bestimmung der Heritabilitätskoeffizienten kognitiver Fähigkeiten ist die weit wichtigere Frage zur Erbe-Umwelt-Diskussion zu erklären, wie genetische Faktoren und Umweltfaktoren zusammenwirken (z.B. Bronfenbrenner & Ceci, 1994). Denn wie sich eine genetische Disposition entwickelt, wird zu großen Teilen von der Umwelt mitbestimmt (Gottfredson, 1997; Neisser u.a., 1996; Snyderman & Rothman, 1987). Oder um mit Plomin und Kollegen zu sprechen: „For a single individual, both genotype and environment are indispensable – a person would not exist without both genes and environment.“ (Plomin u.a., 2001, S. 87)

▼ 276 

Angesichts der Tatsache, dass mathematische Schülerleistung primär das Ergebnis schulischer Lernprozesse (Geary, 1995; Köller & Baumert, 2002) und damit abhängig von Umweltfaktoren ist, lohnt es sich, mögliche Implikationen und Perspektiven anhand der Ergebnisse der vorliegenden Arbeit für Schülerleistungsstudien und die Lehr-Lern-Forschung zu erörtern.

10.3.2 Schülerleistungsstudien und Lehr-Lern-Forschung

Schülerleistungsstudien. Ein Leitgedanke für Schülerleistungsstudien und die Lehr-Lern-Forschung ist, dass die eingesetzten Maße mathematischer Schülerleistung die intendierten Konstrukte abbilden (American Educational Research Association, 1999; Millman & Greene, 1989). Aus methodischer und konzeptioneller Sicht ist hierbei das Nested-Faktormodell sehr interessant, denn es bot in dieser Arbeit die Möglichkeit, den Einfluss der allgemeinen kognitiven Fähigkeit, der mathematikspezifischen Fähigkeit und stoffgebietsspezifischer Fähigkeiten getrennt voneinander zu analysieren.

Einschränkend ist mit Blick auf die Ergebnisse einzuräumen, dass die stoffgebietsspezifischen Fähigkeiten (wie auch spezifische operative Fähigkeiten) nicht explizit modelliert werden konnten (die korrespondierenden Varianzanteile wurden in Abschnitt 7.2.3 nur indirekt über die Reliabilitäten der WLE-Scores berechnet). Der ausschlaggebende Grund hierfür war, dass die Schüler nicht genügend Mathematikaufgaben der jeweiligen Stoffgebiete bearbeitet hatten, damit zwei oder mehr Indikatoren für das jeweilige Stoffgebiet geschätzt werden konnten. Denn nur bei Vorliegen mehrerer manifesten Variablen pro Stoffgebiet hätten die stoffgebietsspezifischen Fähigkeiten direkt spezifiziert werden können.

▼ 277 

Angesichts der Einschränkungen wäre eine bedeutsame Erweiterung des Nested-Faktormodells, wie es in der vorliegenden Arbeit verwendet wurde, stoffgebietsspezifische und spezifische operative Fähigkeiten sowie deren Kombinationen (z.B. rechnerische Modellierungsaufgaben aus der Arithmetik) als wechselseitig unabhängige Fähigkeiten explizit zu modellieren. Allerdings müssten Testbatterien zur Erfassung von Schülerleistungen dann idealerweise zwei Anforderungen erfüllen:

Prinzipiell gilt für die Erfassung latenter Variablen, dass mit zunehmender Anzahl bearbeiteter Items die Reliabilität der korrespondierenden WLE-Scores zunimmt. Daher ist eine möglichst große Anzahl bearbeiteter Items wünschenswert. Aber natürlich ist dabei zu bedenken, dass die Testzeit insgesamt begrenzt ist und somit die Zumutbarkeit bzw. die Belastung der Schüler durch die Bearbeitung einer großen Leistungstestbatterie in Rechnung zu stellen ist (Baumert, Stanat & Demmrich, 2001). Eine Möglichkeit, sowohl Aussagen über ein breites Kompetenzspektrum zu machen wie auch die Testbelastung in Grenzen zu halten, bietet dann das Multi-Matrix-Testadministrationsdesign (Mislevy u.a., 1992).

▼ 278 

Eine weitere Möglichkeit zur Begrenzung der Anzahl bearbeiteter Items bieten möglicherweise auch Nested-Faktormodelle, die auf Itemebene als Item-Response-Modelle spezifiziert werden (Wu, Adams & Wilson, 1998). Allerdings sind die Eigenschaften dieser Modelle im Gegensatz zu den Modellen der konfirmatorischen Faktorenanalyse, die auf der Ebene der WLE-Scores ansetzen, kaum untersucht. Weiterhin ist dabei auch die Tatsache in Rechnung zu stellen, dass (ausgehend von den Modellen 1 bis 3, Abb. 14) die benötigte Rechenzeit (bei einem Pentium(R) 4, 2.8 GHz und Daten von 29.386 Schülern) für die Modellanalysen bei diesen Modellen bei mehreren Tagen liegen kann, wohingegen die benötigte Rechenzeit bei den Nested-Faktormodellen, wie sie in der vorliegenden Arbeit spezifiziert wurden, bei wenigen Sekunden liegt. Bei einer Vielzahl untersuchter Modelle ist dies – wie in der vorliegenden Arbeit – ein nicht zu unterschätzender zeitökonomischer Aspekt.

Bemerkenswert ist allerdings, dass die Nested-Faktormodelle auf Itemebene auch dahingehend erweiterbar sind, dass simultan die Beziehungen zu verschiedenen Außenkriterien analysiert werden können. Somit stellen die IRT-Modelle eine interessante Analyseperspektive dar, wenn die Computerleistungen weiter zunehmen. Bis es soweit ist, ist es empfehlenswert, multidimensionale Raschmodelle mit interkorrelierten Gruppenfaktoren und darauf aufbauende Modelle (siehe z.B. Abb. 26 in Abschnitt 9.1.2, Abb. 28 in Abschnitt 9.3 oder Abb. 29 in Abschnitt 9.4) zu spezifizieren. Wichtig ist dabei, dass immer jeweils minimal zwei latente Variablen pro Stoffgebiet, operative Fähigkeit oder die jeweilige Fähigkeitskombination spezifiziert werden. Eine ausreichende Itemanzahl vorausgesetzt, können dann zwei oder mehr WLE-Scores (siehe Rost, 2004a zu alternativen Personenparametern) pro Fähigkeitsdimension geschätzt und darauf basierende Nested-Faktormodelle bzw. hierzu alternative Konzeptualisierungen der kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung analysiert werden.

Lehr-Lern-Forschung. Mit der getrennten Konzeptionalisierung der allgemeinen kognitiven Fähigkeit und davon unabhängiger mathematischer Fähigkeiten eröffnet das Nested-Faktormodell auch aufschlussreiche Perspektiven für die Lehr-Lern-Forschung (für methodische Anforderungen an diese Studien siehe Abschnitt 8.3). Mit diesem Modell können Effekte des Mathematikunterrichts auf alle spezifizierten Fähigkeiten simultan untersucht werden. Hiermit kann insbesondere der Frage nachgegangen werden, ob der Mathematikunterricht primär auf die mathematischen Fähigkeiten wirkt, oder ob nicht – entgegen der Vermutung Cattells (1987) – auch die fluide Fähigkeit bzw. die allgemeine kognitive Fähigkeit positiv beeinflusst werden.

▼ 279 

Die umfangreichste Zusammenfassung empirischer Studien zu diesem Thema stammt von Ceci (1991). Gemeinsames Merkmal der Studien dieser Literaturübersicht ist, dass Stichproben untersucht wurden, die sich möglichst nur im Ausmaß des Schulbesuchs unterscheiden. Auf Grundlage aller analysierten Studien kommt Ceci (1991, S. 717) in seiner Arbeit zu dem Schluss, dass ein Jahr Schule einen positiven Effekt auf die allgemeine kognitive Fähigkeit hat, der bis zu .40 Standardabweichungen (das sind 6 IQ-Punkte bei einer Standardabweichung von 15 IQ-Punkten) betragen kann.

Der Schulbesuch beeinflusst aber nicht nur die allgemeine kognitive Fähigkeit. Mit Blick auf mathematische Fähigkeiten zeigten Studien aus der Lehr-Lern-Forschung (vgl. Abschnitt 5.3 und 5.4), dass Unterschiede in den Basisdimensionen der Unterrichtsqualität, in der Qualität des Übens (repetitiv vs. anspruchsvoll z.B. in variierenden Kontexten) und in kognitiv herausfordernden Unterrichtselementen einen positiven Effekt auf die Leistungsentwicklung in Mathematik haben.

Unter der Annahme, dass leistungsförderliche Aspekte des Mathematikunterrichts in erster Linie mathematische Fähigkeiten fördern, sind die Befunde aus der vorliegenden Arbeit relevant: Die mathematikspezifische Fähigkeit ist (weitestgehend) unabhängig vom familiären Hintergrund eines Schülers (vgl. Abschnitt 9.2) und sollte daher primär das Ergebnis schulischer Lehr-Lern-Prozesse sein (Geary, 1995; Köller & Baumert, 2002). Daher sind auch die größten Wirkungen des Mathematikunterrichts bei der mathematikspezifischen Fähigkeit zu erwarten. Es könnte sein, dass aufgrund der bisherigen Dominanz des Standardmodells in der Lehr-Lern-Forschung die Wirkungen des Mathematikunterrichts unterschätzt worden sind. Eine Konzeptionalisierung der kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung in Form eines Nested-Faktormodells würde es ermöglichen, die differenzielle Wirkung des Mathematikunterrichts getrennt für die allgemeine kognitive Fähigkeit und die mathematikspezifische Fähigkeit zu untersuchen und dieser Annahme gezielt nachzugehen.

▼ 280 

Über die Beantwortung dieser Frage hinaus könnte die Verwendung des Nested-Faktormodells auch für die Analyse von Aptitude-Treatment-Interaktionen (ATI) mit verschiedenen Unterrichtsformen lohnenswert sein. Die zentrale Annahme von ATI besagt, dass nicht alle Schüler gleichermaßen von bestimmten Unterrichtsformen profitieren. Ziel des ATI-Forschungsprogramms ist es, für jeden Schüler entsprechend seiner individuellen Charakteristika (A) die Lernform (T) zu identifizieren, bei der er die Zielkriterien des Unterrichts bestmöglich erreicht. Eine erste umfassende Zwischenbilanz des ATI-Forschungsprogramms zogen Cronbach und Snow (1977). Darin kommen sie zu dem Schluss, dass erwartungswidrig häufiger Interaktionen zwischen trea t ment und der allgemeinen kognitiven Fähigkeit gefunden wurden als mit spezifischen Fähigkeiten.

Dieser Befund ist verständlich, wenn man die Ergebnisse der vorliegenden Arbeit heranzieht. In den Studien zu ATI wurden in der Regel nur messfehlerbehaftete Skalenscores verwendet. Es ist davon auszugehen, dass diese in erster Linie Varianzanteile der allgemeinen kognitiven Fähigkeit und nur zu geringen Anteilen Varianzanteile inhaltsgebundener Fähigkeiten enthielten. Beispielsweise gingen bei den stoffgebietsspezifischen WLE-Scores in der vorliegenden Arbeit maximal 15 Prozent der Gesamtvarianz des Arithmetikscores auf die mathematikspezifische Fähigkeit, aber bis zu 51 Prozent der Gesamtvarianz des Algebrascores auf die allgemeine kognitive Fähigkeit zurück. Dieses Ergebnis ist kein Einzelfall, wie Lubinski (2004) resümierend feststellt:

▼ 281 

In heterogenous collections of cognitive tests in a wide range of talent, general intelligence [das ist die allgemeine kognitive Fähigkeit; M.B.] accounts for roughly 50% of the common variance (quantitative, spatial, and verbal ability each account for approximately 8%–10% of the remaining common variance). (Lubinski, 2004, S. 98)

Es kann also festgehalten werden, dass in bisherigen ATI-Studien zur Wechselwirkung spezifischer Fähigkeiten und instruktionaler Maßnahmen die verwendeten manifesten Skalenscores hinsichtlich der Messung der spezifischen Fähigkeit nicht sehr reliabel waren (siehe hierzu auch Brunner & Süß, 2005). Jedoch wurde die allgemeine kognitive Fähigkeit (insbesondere bei Aggregation von Einzelskalen) deutlich reliabler gemessen (Lubinski, 2004, S. 99). Wenn nun keine Wechselwirkung mit spezifischen kognitiven Fähigkeiten gefunden wurde, kann dies wohl auch auf die Unreliabilität der zu Grunde liegenden Scores attribuiert werden.

Was könnte man nun tun, um ATI für den Mathematikunterricht zu untersuchen? Als Möglichkeit käme in Frage, die Wirkung spezifischer Formen des Mathematikunterrichts im Rahmen eines Strukturmodells zu untersuchen, in dem die kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung in Form eines Nested-Faktormodells konzeptionalisiert werden. Denn mit Spezifikation kognitiver Fähigkeiten als latente Variablen wird das Problem der Unreliabilität (aufgrund mangelnder interner Konsistenz) der manifesten Variablen hinsichtlich der spezifischen Fähigkeiten umgangen (DeShon, 1998).

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Das Nested-Faktormodell erfüllt auch eine zweite Bedingung, die in neueren Arbeiten zum ATI-Forschungsprogramm aufgestellt wurde (Pellegrino, Baxter & Glaser, 1999; Snow & Swanson, 1992). Nach diesen Autoren ist es essenziell, dass die eingesetzten Assessmentinstrumente für die intendierten Lernergebnisse sensitiv sind. Beispielsweise zielt kognitiv herausfordernder Mathematikunterricht in erster Linie auf die Fähigkeit zum mathematischen Problemlösen ab. In der vorliegenden Arbeit wurde die mathematikspezifische Fähigkeit als die Fähigkeit zum mathematischen Problemlösen interpretiert. Folgt man dieser Interpretation, gehört die mathematikspezifische Fähigkeit zu den zentralen Ergebniskriterien, um (über generelle Effekte hinaus) Interaktionen zwischen Schülermerkmalen und kognitiv herausforderndem Mathematikunterricht zu untersuchen.

Im Zusammenhang mit möglichen ATI – aber natürlich auch generell – ist es eine sehr wichtige Aufgabe, das Leistungsniveau von Schülern präzise einzuschätzen. Mit dieser diagnostischen Frage beschäftigt sich der nächste Abschnitt.

10.3.3 Pädagogische Praxis

Der Frage nach der Diagnose von Schülerleistungen wird angesichts der Befunde in dieser Arbeit anhand von drei Aspekten nachgegangen, die für die pädagogische Praxis relevant sind: mathematische Lernschwierigkeiten, Hochbegabung in Mathematik sowie der Nutzen standardisierter Leistungstests für Lehrer. Zentral ist hierbei der Vergleich der Konzeptionalisierung der kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung in Form des Nested-Faktormodells und des Standardmodells. Zunächst werden mathematikspezifische Lernschwierigkeiten betrachtet.

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Mathematikspezifische Lernschwierigkeiten.Ungefähr 6 Prozent der Kinder haben mathematische Lernschwierigkeiten, wovon der größte Anteil (70%) Jungen sind (Geary, 1993, 1994).

Ein zentrales formales Merkmal zur Diagnose von Lernschwierigkeiten ist ein Missverhältnis zwischen tatsächlicher Leistung und Leistungserwartung (Zielinski, 1996). Zum Beispiel gehen Swanson und Beebe-Frankenberger (2004, S. 475) davon aus, dass Schüler gefährdet sind, mathematische Lernschwierigkeiten zu entwickeln, deren mathematische Leistung unter dem 25. Perzentil liegt und deren Leistung gleichzeitig über dem 15. Perzentil bei der allgemeinen kognitiven Fähigkeit liegt. Unter der Annahme, dass die erzielte Leistung von der allgemeinen kognitiven Fähigkeit abhängig ist, liegen diese Kinder also unter dem Wert, der aufgrund ihrer allgemeinen kognitiven Fähigkeit zu erwarten wäre.

Die Diagnose von mathematischen Lernschwierigkeiten als Diskrepanz von Leistung und Leistungserwartung korrespondiert mit der Konzeptualisierung kognitiver Fähigkeiten in Form eines Nested-Faktormodells (aber auch mit einem Higher-Order-Modell, Modell 6a, Abschnitt 7.2). Die mathematikspezifische Fähigkeit, die spezifische verbale Fähigkeit und die allgemeine kognitive Fähigkeit sind wechselseitig unabhängig voneinander. Somit ist es möglich, trotz normal ausgeprägter allgemeiner kognitiver Fähigkeit und normal ausgeprägter spezifischer verbaler Fähigkeit (z.B. indiziert durch den PISA-Lesetest) niedrige Leistungen in der mathematikspezifischen Fähigkeit zu erzielen. Bei einer Konzeptualisierung kognitiver Fähigkeiten in Form eines Standardmodells ist die Unterscheidung dieses Profils aus theoretischer Sicht schwieriger zu rechtfertigen. Prinzipiell ist im Standardmodell, in dem die generelle mathematische, die generelle verbale und die fluide Fähigkeit wechselseitig (und in dieser Arbeit sehr hoch) interkorrelieren, davon auszugehen, dass Schüler mit sehr geringen Leistungen in der fluiden Fähigkeit auch nur sehr niedrige Leistungen in der generellen mathematischen Fähigkeit erzielen.

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Zur Messung mathematischer Leistung können Aufgaben aus Schülerleistungstests und zur Messung der Leistungserwartung standardisierte Intelligenztests verwendet werden. Unter formalen Gesichtspunkten eignen sich diese psychometrischen Verfahren daher, um mathematikspezifische Lernschwierigkeiten zu diagnostizieren. Mit Blick auf die Ergebnisse in dieser Arbeit sind jedoch bei diesem Vorgehen zwei Einschränkungen zu konstatieren.

Erstens scheint es schwierig zu sein, die spezifischen kognitiven Fähigkeiten im Rahmen eines Nested-Faktormodells reliabel mit Summenscores zu erfassen (siehe hierzu auch Brunner & Süß, 2005). So lag beispielsweise in der vorliegenden Arbeit die Reliabilität des Summenwerts der vier stoffgebietsspezifischen Subskalen zur Messung der mathematikspezifischen Fähigkeit in der Gesamtstichprobe bei ω = .13 (siehe zur Berechnungsmethode Brunner & Süß, 2005; McDonald, 1999). Im Vergleich hierzu konnte die generelle mathematische Fähigkeit deutlich reliabler gemessen werden (ω = .78). Wie oben ausgeführt wurde, ist das Standardmodell jedoch aus theoretischer Sicht weniger geeignet, mathematische Lernschwierigkeiten zu beschreiben.

Zweitens ist mit Geary (1993, 1994) zu bedenken, dass mathematische Lernschwierigkeiten sehr heterogen sind und verschiedene Subformen annehmen können. Diese Subformen unterscheiden sich unter anderem danach, ob Schwierigkeiten beim Abruf und beim Einprägen mathematischer Fakten bestehen, ob der Gebrauch mathematischer Prozeduren (z.B. Zählstrategien) Schwierigkeiten bereitet, oder ob es schwer fällt, figural-räumliche Fähigkeiten einzusetzen, um numerische Informationen zu repräsentieren und zu interpretieren. Zur Diagnose dieser spezifischen kognitiven Defizite sind herkömmliche mathematische Schülerleistungstests nicht geeignet, sondern es müssen Testverfahren eingesetzt werden, die sensitiv für die jeweiligen kognitiven Prozesse und eingesetzten Lösungsstrategien sind (Geary, 1994). Mit stark kognitionspsychologisch ausgerichteten Maßen mathematischer Fähigkeiten ist es möglich, die Schwierigkeiten von Schülern mit mathematischen Lernschwierigkeiten differenziert zu erfassen. Angesichts der zunächst psychometrischen Definition von Lernschwierigkeiten als Missverhältniss von Leistung und Leistungserwartung wird deutlich, dass der in Abschnitt 10.3.1 angeregte Brückenschlag zwischen Psychometrie, Wissenspsychologie und Kognitionspsychologie auch relevant für die pädagogische Praxis ist.

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Bevor also einem Schüler mathematische Lernschwierigkeiten diagnostiziert werden, legen die beiden genannten Einschränkungen nahe, verschiedene Erhebungsverfahren in einem mehrstufigen diagnostischen Prozess zu Rate zu ziehen. Im ersten Schritt des Prozesses kann die Diskrepanz zwischen Leistung und Leistungserwartung, wie sie mit standardisierten Tests gemessen wird, eine Gefährdung für die Entwicklung von mathematischen Lernschwierigkeiten indizieren. Angesichts der im Vergleich zur mathematikspezifischen Fähigkeit höheren Reliabilität der generellen mathematischen Fähigkeit scheint (zumindest vor dem Hintergrund dieser Arbeit) eine Konzeptionalisierung in Form des Standardmodells besser geeignet zu sein als das Nested-Faktormodell. Mit Hinzunahme kognitionspsychologischer Messverfahren kann dann im zweiten Schritt das theoretische „Defizit“ des Standardmodells mehr als ausgewogen werden.

Mathematische Hochbegabung. Die Frage nach der Konzeptionalisierung der kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung ist auch relevant für die Diagnose mathematischer Hochbegabung.Ein formales Charakteristikum mathematisch Hochbegabter ist, dass sie Ergebnisse in standardisierten Leistungstests erzielen, mit denen sie zu den Besten 2 Prozent ihrer Jahrgangskohorte gehören (Rost, 2001).

Um die tatsächlich vorzufindenden Profilausprägungen mathematischer Hochbegabung abzubilden, erscheint eine Konzeptualisierung der kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung in Form des Nested-Faktormodells gut geeignet. So werden in der Studie Study of Mathemat i cally Precocious Youth’s (SMPY, siehe Lubinski, Webb, Morelock & Benbow, 2001, für eine knappe Studienbeschreibung) drei Gruppen von hoch begabten Jugendlichen unterschieden: (spezifisch) mathematisch Hochbegabte, generell Hochbegabte und spezifisch sprachlich Hochbegabte (Dark & Benbow, 1990, 1991). Im Nested-Faktormodell sind die mathematikspezifische Fähigkeit, die spezifische verbale Fähigkeit und die allgemeine kognitive Fähigkeit wechselseitig unabhängig voneinander. Somit ist es – wie oben ausgeführt wurde – ohne weiteres möglich, diese Begabungsprofile zu unterscheiden. Bei einer Konzeptualisierung kognitiver Fähigkeit in Form eines Standardmodells ist die Unterscheidung dieser drei Profile aufgrund der Interkorrelationen der jeweiligen Fähigkeiten untereinander schwerer nachzuvollziehen: Entsprechend den Modellannahmen ist davon auszugehen, dass mathematisch Hochbegabte auch gleichzeitig verbal hoch begabt sind.

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Für eine reliable Diagnose von mathematischer Hochbegabung sowie der Hochbegabungsprofile stellt sich jedoch wieder das gleiche Problem wie bei der Diagnose der mathematischen Lernschwierigkeiten. Es gilt abzuwägen, ob eine Konzeption vorzuziehen ist, die aus theoretischer Sicht (das ist das Nested-Faktormodell) oder aus Sicht der höheren Reliabilität (das ist das Standardmodell) zu präferieren ist.

Nutzen standardisierter Leistungstests für Lehrer. Über die Diagnose von Lernschwierigkeiten oder Hochbegabung hinaus, können standardisierte Leistungstests für Lehrkräfte in ihrem Berufsalltag nützlich sein. Denn vielen Lehrkräften fällt es schwer, das mit standardisierten Tests ermittelte Leistungsniveau ihrer Klasse (im Vergleich zu anderen Klassen) akkurat zu beurteilen (Schrader & Helmke, 1987; Spinath, 2005). Analog hierzu sind deutliche Unterschiede in der Notengebung unterschiedlicher Schulen derselben Schulform festzustellen. Für die gleiche Leistung bekommen Schüler, die unterschiedliche Schulen derselben Schulform besuchen, unterschiedliche Noten (Baumert u.a., 2003; Lüdtke, Köller, Artelt, Stanat & Baumert, 2002).

Was folgt daraus? Die Ergebnisse aus Schülerleistungstests geben Lehrkräften einen aufschlussreichen Einblick in den gegenwärtigen Leistungsstand ihrer Schüler, den sie in zweierlei Hinsicht nutzen können:

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Erstens haben Lehrkräfte durch die Rückmeldung des Leistungsstands ihrer Schüler die Möglichkeit, ihre Notengebung mit den Testergebnissen zu vergleichen und gegebenenfalls ihre Notengebung an die Testergebnisse anzugleichen. Dies wäre eine Möglichkeit – zusätzlich zu einer verstärkten Berücksichtung pädagogisch-psychologischer Diagnostik in der Lehrerausbildung, wie sie namhafte Forscher einfordern (Leutner, 2001; Schrader & Helmke, 2001; Tent, 2001) – die Leistungsdiagnose von Schülern zu verbessern.

Zweitens können Lehrer ihren Unterricht an das Leistungsniveau der Klasse oder spezifische Stärken und Schwächen ihrer Klasse besser adaptieren, wenn sie über den Leistungsstand ihrer Klasse informiert sind. Je differenzierter die Tests Zielkriterien des Mathematikunterrichts erfassen (z.B. in Form mathematischer Stoffgebiete oder den Arten des mathematischen Arbeitens), desto besser sollte dieser Adaptationsprozess gelingen (siehe auch Schrader & Helmke, 2001). Letztlich könnte so eine der Basisdimensionen der Unterrichtsqualität (vgl. Abschnitt 5.3) optimiert werden.

Ein zentraler Gesichtspunkt bei beiden Einsatzmöglichkeiten ist jedoch auch wieder die Frage, ob man die jeweiligen kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung unabhängig voneinander messen möchte (hier ist eine Konzeption in Form des Nested-Faktormodells zu präferieren) oder ob man an einem Fähigkeitskomplex (in Form des Standardmodells) interessiert ist. Letzteres hat den Vorteil der größeren Reliabilität, jedoch den Nachteil der „Vermischung“ mehrerer kognitiver Fähigkeiten.

10.3.4 Schluss

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Insgesamt gesehen haben die bisherigen Überlegungen einerseits deutlich gemacht, dass die Konzeptionalisierung der kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung in Form des Nested-Faktormodells aus theoretischer Sicht für viele Forschungsfragen interessant und auch zur Beschreibung von Problemen der pädagogischen Praxis relevant ist. Andererseits wurde auch klar, dass in der pädagogischen Praxis diese Konzeptionalisierung aufgrund von Reliabilitätsproblemen an Grenzen stoßen kann. So gesehen empfiehlt sich das Nested-Faktormodell vor allem für die Beantwortung von Forschungsfragen. Eine Konzeptionalisierung in Form des Standardmodells hat sich – wie auch die Ergebnisse dieser Arbeit zeigten – im Forschungskontext bewährt, es scheint aber am besten für eine reliable Einzelfalldiagnose geeignet zu sein.

Unabhängig von der gewählten Konzeptionalisierung belegen die Ergebnisse der vorliegenden Arbeit und die vorangegangenen Überlegungen die Tragfähigkeit des coordinate meas u rement (Messick, 1984) von Maßen mathematischer Schülerleistung und Indikatoren kognitiver Fähigkeiten im Forschungskontext und in der pädagogischen Praxis. Mit Richard Mayer kann daher abschließend festgestellt werden: „the study of intelligence and education provides an example of the fruitful interaction between the practical demands of educators and the basic research focus of cognitive scientists“ (Mayer, 2000, S. 519).


Fußnoten und Endnoten

30  Die Heritabilität gibt an, welcher Anteil der phänotypischen Varianz eines Persönlichkeitsmerkmals (z.B. die allgemeine kognitive Fähigkeit) durch die genetischen Unterschiede, die zwischen Personen bestehen, erklärt werden kann. Dabei wird angenommen, dass der Anteil der Varianz des Persönlichkeitsmerkmals, der nicht durch die genetischen Unterschiede erklärt wird, durch Unterschiede in den Umwelteinflüssen (und Messfehler) bedingt wird. Wichtig bei der Interpretation der Heritabilität ist zu beachten, dass sich diese stets auf eine bestimmte Population zu einem bestimmten Zeitpunkt bezieht (Plomin u.a., 2001).



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02.08.2006