Mathematische Schülerleistung und kognitive Fähigkeiten

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Schüler unterscheiden sich in ihrer Performanz bei mathematischen Schülerleistungstests. Die Performanzunterschiede werden in dieser Arbeit aus der Perspektive kognitiver Fähigkeiten betrachtet. Die zentrale Annahme ist hierbei, dass interindividuelle Unterschiede in den kognitiven Fähigkeiten interindividuelle Unterschiede bei Maßen mathematischer Schülerleistung erklären. Zunächst beschäftigt sich daher Abschnitt 4.1 mit der Frage, worin sich Schülerleistungen von kognitiven Fähigkeiten unterscheiden. In Abschnitt 4.2 werden Strukturmodelle kognitiver Fähigkeiten vorgestellt und mathematische Fähigkeitskonstrukte in diesen Modellen beleuchtet (vgl. Forschungsfrage 1). Ziel von Abschnitt 4.3 ist es, zu klären, wie die in den Strukturmodellen beschriebene faktorielle Struktur zu Stande kommen kann. Dabei wird auch darauf eingegangen, wie sich die Heterogenität der kognitiven Fähigkeiten (in Form der Differenzierung) für Personen mit unterschiedlichem Niveau allgemeiner kognitiver Fähigkeit unterscheidet (vgl. Forschungsfrage 2).

4.1  Schülerleistung versus kognitive Fähigkeiten?

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Mit der Fokussierung auf mathematische Problemlöseprozesse überlappt sich die internationale und nationale PISA-Rahmenkonzeption stark mit der Definition von Tests zur Messung von allgemeinen oder fluiden kognitiven Fähigkeiten, wie man sie in Intelligenztests findet: So erfordern beispielsweise nach dem renommierten Psychometriker Lloyd Bond (1989) diese Tests nur wenig deklaratives Wissen; die Schwierigkeit der Testitems resultiert aus der problembezogenen Anwendung des deklarativen Wissens. Damit in Einklang steht Carrolls (1993) Definition von Aufgaben zur Messung von quantitativem Reasoning. Lösungsrelevant sind für solche Aufgaben induktive oder deduktive Schlussfolgerungen und vor allem die problemorientierte Anwendung mathematischer Konzepte aus der Algebra, Arithmetik oder Geometrie.

Aus psychometrischer Perspektive können sich also Schülerleistungstests und kognitive Fähigkeitstests sehr ähnlich sein: Dies veranschaulichen Cooley und Lohnes (1976, S. 139) in ihrem Buch Evaluation Research in Education sehr deutlich. Sie legen ihren Lesern eine Tabelle mit Items vor, die aus einem Schülerleistungstest und einem Intelligenztest stammen. Der Leser soll nun die Quelle der Items angeben. Selbst Bond (1989) stellt hierzu fest, dass dies nahezu unmöglich ist.

Im Gegensatz hierzu werden in der pädagogisch-psychologischen Literatur häufig (z.B. Renkl & Stern, 1994; Spada & Wichmann, 1996; Weinert & Helmke, 1995a) allgemeine kognitive Fähigkeiten (Intelligenz) einerseits und Wissen oder Schülerleistungen andererseits unterschieden: Intelligenz und Wissen werden als Konstrukte konzeptuell klar voneinander getrennt (siehe auch Stern, 2001a, 2001b). Wenn die Konstrukte konzeptuell unterscheidbar sind, sollten auch ihre Operationalisierungen eindeutig zu diskriminieren sein. Vor dem Hintergrund der psychometrischen Ähnlichkeit und der gleichzeitigen konzeptuellen Unterscheidung ist es also eine wichtige Frage, welche operationalisierbaren Trennlinien zwischen Schülerleistungstests und Tests zur Messung kognitiver Fähigkeiten gezogen werden können (siehe hierzu auch die Zusammenfassung zweier Symposien, Du Bois, 1969; Green, 1974):

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  1. (a) Eine historische Trennlinie in der Testkonstruktion zur Operationalisierung der Konstrukte existiert nicht (oder ist zumindest nicht markant ausgeprägt): Bei der Entwicklung der ersten Aufgaben ihres Intelligenztests forderten Binet und Simon zu Beginn des 20. Jahrhunderts Lehrer auf, die Arten von Aufgaben zu beschreiben, die für Schüler mit Lernschwierigkeiten am schwierigsten zu lösen sind. Eine große Anzahl dieser Fragen und Aufgaben wurden in den ersten Intelligenztests aufgenommen. Um Schüler hinsichtlich ihrer Schülerleistung zu differenzieren, benötigt man natürlich ebenfalls Aufgaben, die für gute Schüler leicht und für schlechtere Schüler oder Schüler mit Lernschwierigkeiten schwierig zu lösen sind (Ceci, 1991). Daher sind viele Items aus Schülerleistungstests denen aus Intelligenztests sehr ähnlich, und Aufgaben im Stil von Binet und Simon sind auch heute noch in großer Zahl in modernen Intelligenztests enthalten (Humphreys, 1984, S. 223).9 Zwei Argumente sprechen dafür, dass sich daran wenig geändert hat und ändern wird: Zum einen wollten andere Intelligenztestentwickler ihre Tests dadurch validieren, indem sie vergleichbare Resultate wie Binet und Simon bei der Vorhersage von Schulerfolg erzielen (Ceci, 1991). Zum anderen sind die Entwicklung von reliablen und validen Tests sowie die Testnormierung sehr kostspielig. Um Geld einzusparen und um das unternehmerische Risiko zu minimieren, werden daher oftmals die Testaufgaben von Intelligenztests in Schülerleistungstests (und umgekehrt) übernommen oder nur leicht adaptiert (vgl. Cronbach, 1984).
  2. (b) Eine Trennlinie hinsichtlich der verwendeten psychometrischen Messmodelle existiert nicht. Zur Messung kognitiver Fähigkeiten werden fast ausschließlich Ite m responsemodelle (IRT, z.B. Hambleton, Swaminathan & Rogers, 1991; van der Linden & Hambleton, 1997) und das Modell der klassischen Testtheorie (KTT, z.B. Lord & Novick, 1968) verwendet. Die Anwendung von IRT- und KTT-Modellen ist jedoch keineswegs auf die kognitive Fähigkeitsdomäne beschränkt: In La r ge-Scale Assessment-Programmen von Schülerleistungen wie PISA, TIMSS oder dem National Assessment of Educational Progress (NAEP) werden ebenfalls Verfahren aus der Itemresponsetheorie verwendet. Selbst in den Studien, in denen Intelligenz von Schülerleistungen strikt getrennt wird (z.B. Renkl & Stern, 1994; Weinert & Helmke, 1995a), werden die Testmodelle der klassischen Testtheorie herangezogen, um Schülerleistungen oder (Vor-)Wissen zu bestimmen. Unabhängig vom theoretischen Standpunkt zur Trennbarkeit der Konstrukte ist die zentrale statistische Annahme bei diesen Testmodellen, dass eine oder mehrere latente Variable(n) die Kovariation zwischen den beobachteten Testleistungen erklärt (McDonald, 1981, 1997, 1999). Im Rahmen von Theorien kognitiver Fähigkeiten wird die latente Variable dabei als kognitive Fähigkeit, in den Large-Scale Asses s ment-Programmen als Schülerleistung, in den zuletzt genannten Arbeiten als Vorwissen interpretiert.
  3. (c) Eine mögliche Trennlinie ist die Neuartigkeit. Aus psychometrischer Sicht kann dann keine Varianz auf interindividuelle Unterschiede im Vorwissen attribuiert werden, wenn alle Personen über das Wissen (inkl. das Wissen zur Verwendung der Antwortformate), das zusätzlich zu der kognitiven Fähigkeit für die Aufgabenlösung notwendig ist, in gleichem Ausmaß verfügen (Cattell, 1963): Dies kann bedeuteten, dass im Extremfall alle Personen dieses Wissen besitzen oder niemand über dieses Wissen verfügt. Letzteres impliziert, dass die Aufgaben für alle Personen in gleicher Weise neuartig sind. Bei einer forschungspraktischen Umsetzung des Konzepts „Neuartigkeit“ stößt man jedoch auf zwei Probleme: Erstens ist es schwierig, alle Wissenskomponenten, die zusätzlich zu der kognitiven Fähigkeit lösungsrelevant sind, eindeutig a priori zu identifizieren. Zweitens sollten diese Wissenskomponenten auch empirisch nachweisbar sein, um überprüfen zu können, ob tatsächlich deren Varianz konstant gehalten wird oder um statistisch für diese Varianzquellen zu kontrollieren. Allerdings gibt es keine Studien, die für die Neuartigkeit von Testaufgaben kontrollieren (siehe auch Stern, 2001b). So stellt Berg (2000) fest: „However, careful work that controls for the degree of task novelty for individuals across the life span has not been conducted.“ (Berg, 2000, S. 121)

    Weiterhin wird die Aufgabenvertrautheit auch zur Unterscheidung von Aufgaben zur Messung von prozeduralem Wissen (korrespondierende Aufgaben sollten vertraut sein) und konzeptuellem Wissen (korrespondierende Aufgaben sollten neuartig sein) verwendet (Rittle-Johnson & Alibali, 1999; Rittle-Johnson, Sigler & Alibali, 2001). Unterscheidet man Tests alleine nach der Neuartigkeit, stellt sich somit die Frage, ob konzeptuelles Wissen und fluide Fähigkeiten identisch sind.
  4. (d) Eine weitere mögliche Trennlinie ist die Breite der Wissensbasis bzw. der Erwerb s kontext des Wissens. Testleistungen spiegeln immer (auch) bisherige Lernerfahrungen wider (Anastasi, 1981; Carroll, 1993). Diese Lernerfahrungen können nach Anastasi genutzt werden, um die Breite der Wissensbasis und damit den Grad der Domänenspezifität zu definieren, die dem Testkonstrukteur zur Formulierung der Items zur Verfügung steht. Für die Konstruktion von Intelligenztests ist die Wissensbasis durch das gesamte Wissen definiert, das man durch außerschulisches und schulisches Lernen erwirbt (Anastasi, 1981; siehe auch Ceci, 1991). Hingegen sollten Schülerleistungstests Wissen und Fähigkeiten erfassen, die durch schulisches Lernen im Rahmen eines Curriculums erworben werden (vgl. Cleary, Humphreys, Kendrick & Wesman, 1975; Zieky, 1994). Um diese Idee tatsächlich in die eigene Forschung umzusetzen, stößt man jedoch wieder auf die gleichen Probleme wie beim Konzept der „Neuartigkeit“: Wie will man zum Beispiel bei 15-jährigen Jugendlichen für den Erwerbskontext von sprachlichen Fähigkeiten empirisch kontrollieren?
  5. (e) Cooley und Lohnes (1976) ziehen eine rein funktionale Trennlinie zwischen den verschiedenen Tests und damit auch den Konstrukten. Ein Test als Indikator für frühere Instruktion und Lernerfahrungen ist ein Schülerleistungstest. Falls dieser Test eingesetzt wird, um die aktuelle Kompetenz zu messen, ist es ein Fähigkeitstest. Wenn das Ziel die Vorhersage zukünftigen Verhaltens ist, ist es ein Befähigungstest. Bond hat diese Sichtweise pointiert so ausgedrückt: „Yesterday’s achievement is today’s ability and tomorrows aptitude.” (1989, S. 429)
  6. (f) Eng assoziiert mit dieser funktionalen Unterscheidung ist die regressionsanalytische Bedi n gung, die Carroll (1974, 1993) nennt, um Befähigung und Schülerleistung zu unterscheiden: Ein Test misst dann die Befähigung eines Schülers, falls er bedeutsam zur Vorhersage in einem Schülerleistungstest beiträgt, wenn gleichzeitig für die Schülerleistung zu einem früheren Testzeitpunkt kontrolliert wird. Befähigung ermöglicht also eine Vorhersage auf das (neu) Gelernte über das Vorwissen hinaus. Diese regressionsanalytische Unterscheidung liegt den Arbeiten von Renkl und Stern (1994) bzw. von Weinert und Helmke (1995a) zu Grunde.
  7. (g) Für Snow (1980) ist das Wesen der Konstrukte entscheidend: Warum kann man mit Schülerleistungstests oder Tests zur Messung kognitiver Fähigkeiten zukünftige Testleistungen vorhersagen? Nach Snow basiert die Performanz in Schülerleistungstests nicht nur auf einer mentalen Wissensstruktur, sondern auch auf mentalen Strukturierungs- und Organisationsprozessen, die wiederum den Erwerb neuen Wissens erleichtern. Dies erklärt nach Snow auch den Zusammenhang von kognitiven Fähigkeiten und Schülerleistung: Wenn Schülerleistungstests die funktionale Wissensanwendung oder Problemlösefähigkeit abbilden, erfordern entsprechende Testaufgaben das Organisieren, Generalisieren, Adaptieren und die Anwendung von Wissen in neuen Kontexten. Diese kognitiven Funktionen sind aber gleichzeitig das, was nach Ansicht von Snow kognitive Fähigkeiten konstituiert (siehe auch Snow & Lohman, 1984). Snow plädiert deshalb für keine Trennung der Konstrukte, sondern vielmehr für: „We must stop acting as if cognitive abilities and achievements were arrays of separate mental garbage cans (…).“ (Snow, 1980, S. 44)

Glaser (1984), Carroll (1993, S. 510) sowie Greeno, Collins und Resnick (1996) vertreten einen ähnlichen Standpunkt: Für sie sind interindividuelle Unterschiede in Denkleistungen und beim Problemlösen (zumindest teilweise) abhängig von interindividuellen Unterschieden in der Verfügbarkeit und der Anwendung einer wohlorganisierten deklarativen, prozeduralen und konzeptuellen Wissensbasis der jeweiligen Inhaltsdomänen.

Was kann man nun als Fazit zu einer operationalisierbaren Trennbarkeit von mathematischen Schülerleistungen und kognitiven Fähigkeiten festhalten?

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  1. (a) Mögliche Trennlinien von kognitiven Fähigkeiten und mathematischen Schülerleistungen sind die Neuartigkeit und die Breite der Wissensbasis. Jedoch ist der Grad der Neuartigkeit einer Testaufgabe kaum empirisch zu kontrollieren, wenn man davon ausgeht, dass trotz eines relativ homogenen Curriculums sich die Lernerfahrungen der Schüler (in Form des Mathematikunterrichts und der behandelten Mathematikaufgaben) zwischen Schulformen, aber auch zwischen Schulklassen innerhalb von Schulformen deutlich unterscheiden können (vgl. Abschnitt 5.3 und 5.4).

    Weiterhin scheidet die Breite der Wissensbasis als Unterscheidungskriterium spätestens dann aus, wenn spezifischere Fähigkeiten und nicht generellere kognitive Fähigkeiten gemessen werden sollen: So ist die Beschreibung von quantitativem Reasoning nahezu identisch mit der Beschreibung mathematischer Grundbildung. Aus der Beschreibung der Konstrukte ist daher nicht klar, worin sich die korrespondierenden Operationalisierungen unterscheiden sollten.
  2. (b) Ihre Konstruktionsgeschichte oder die verwendeten Testmodelle (KTT oder IRT) sind genauso wenig wie eine funktionale Verwendung im Forschungskontext (vgl. Cooley & Lohnes, 1976) dazu geeignet, mathematische Schülerleistung von kognitiven Fähigkeiten zu differenzieren.
  3. (c) Der regressionsanalytische Ansatz von Carroll ist für längsschnittliche Fragestellungen relevant, kann aber nicht für querschnittliche Untersuchungen eingesetzt werden. Ein gewichtiges Argument gegen diesen Ansatz ist aber, dass Carroll keine Aussagen darüber macht, wie Testaufgaben beschaffen sein müssen, damit sie entweder Befähigung oder Schülerleistung erfassen.
  4. (d) Der Standpunkt von Snow, Glaser und Carroll, interindividuelle Unterschiede in Schülerleistungen bzw. Wissen (im weiteren Sinne) mit interindividuellen Unterschieden in kognitiven Fähigkeiten zusammenzubringen (und umgekehrt), stellt eine fruchtbare Synthese dar. In diesem Sinne spricht auch der renommierte Psychometriker Samuel Messick davon, dass

the coordinate measurement of developed cognitive abilities along with subject-matter achievement should contribute to the comprehensive understanding (…) of academic performance (Messick, 1984, S. 226).

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Die Perspektive dieses Coordinate-Measurement-Ansatzes motiviert, die empirisch fundierten Strukturmodelle kognitiver Fähigkeiten auf Maße mathematischer Schülerleistung anzuwenden. Diese theoretischen Modelle ermöglichen die Ableitung konkreter Hypothesen, welche kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung zu Grunde liegen. Eine Einbettung mathematischer Schülerleistung in Strukturmodelle kognitiver Fähigkeiten impliziert auch gleichzeitig eine Spezifikation mathematischer Schülerleistung in Termini psychologischer Konstrukte, wie sie Köller und Baumert (2002; vgl. Kap. 1) einfordern. Im nächsten Abschnitt werden deshalb entsprechende Strukturmodelle vorgestellt, und mathematische Schülerleistung wird aus dem Blickwinkel eines differenzialpsychologischen Fähigkeitskonstrukts betrachtet.

4.2 Strukturmodelle und mathematische Fähigkeiten

When one looks for a studied moment at the myriad of abilities that humans display, it’s as if one were to look into the heavens on a clear night and become stirred by the ceaseless drift of the clouds of the Milky Way. On such a night one might be dimly aware that there is order and system in the celestial white. But where among the drifting haze might one draw dimensions to represent this order. At first there is no answer to this question, only befuddlement. The same is true for human abilities. They appear as free-floating swarms emerging from spaces of unknown many dimensions. (Horn, 1988, S. 645)

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Das Hauptziel von Strukturmodellen kognitiver Fähigkeiten ist es, eine taxonomische Ordnung „in the celestial white“ kognitiver Fähigkeiten zu bringen (Gustafsson & Undheim, 1996), um so die Interkorrelationen zwischen Aufgaben zur Messung kognitiver Fähigkeiten möglichst sparsam zu erklären. Das Hauptaugenmerk der nachfolgend vorgestellten Strukturmodelle liegt darauf, anhand einer knappen Modellskizze den Status mathematischer Fähigkeiten im Rahmen dieser Modelle zu beleuchten. Hierzu werden die Modelle von Spearman und Thurstone vorgestellt, da sie grundlegend für später formulierte Modelle waren. Anhand der Modelle von Vernon (1964, 1965, 1969), von Cattell (1963) und Horn (1994; Horn & Noll, 1997), von Carroll (1993) und des Berliner Intelligenzstrukturmodells von Jäger (1967, 1982, 1984; Jäger, Süß & Beauducel, 1997) sollen differenzialpsychologische mathematische Fähigkeitskonstrukte betrachtet werden.

Spearmans Zwei-Faktoren Theorie. Einer der Gründungsväter der Forschung zur Struktur kognitiver Fähigkeiten ist Charles Spearman. Spearman (1904, 1927) nimmt an, dass eine allgemeine kognitive Fähigkeit existiert, die in unterschiedlichem Ausmaß an verschiedenen intellektuellen Aktivitäten beteiligt ist: Ein korrespondierender Faktor g erklärt die Varianzanteile, die allen Testaufgaben gemein ist. Ein weiterer so genannter Faktor s erklärt Varianz, die spezifisch für jede Aufgabe ist (Abb. 5). Spearman nennt daher sein Modell Zwei-Faktoren Theorie der Intelligenz.

Abbildung 5: Spearmans Zwei-Faktoren Theorie

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Mit Spearman kann man also interindividuelle Unterschiede bei mathematischen Aufgaben durch g und durch mathematische Fähigkeiten erklären, die spezifisch für die eingesetzten Maße sind (dies entspricht den Faktoren s in Abb. 5). Weiterhin unterscheiden sich die eingesetzten Mathematikaufgaben darin, wie stark ihre Varianzen durch g oder die spezifischen Faktoren s beeinflusst werden und damit wie hoch sie auf den jeweiligen Faktoren laden. So lud in Spearmans Untersuchungen beispielsweise problem arithmetic hoch auf g, während „Simple addition“ niedrig auf g lud (Jensen, 1998, p. 35).

Thurstones Primärfähigkeiten. Die Annahme eines generellen Faktors g wurde in der Forschungswelt in der Folge stark kritisiert (Carroll, 1993). Thurstone (1936, 1938) schlug daher ein alternatives Strukturmodell vor, das mehrere spezialisierte Primärfähigkeiten (primary mental abilities) vorsieht. Jede dieser Primärfähigkeiten kann dabei die Interkorrelationen der Leistungen für eine bestimmte Aufgabenklasse erklären. Die von Thurstone identifizierten Primärfähigkeiten sind figural-räumliche Fähigkeiten ( spatial), Wahrnehmungsgeschwindigkeit (perceptual), Rechenfertigkeit (num e rical), Sprachliche Fähigkeiten ( verbal), Gedächtnis ( memory), Wortflüssigkeit ( word fluency) und Induktives Reasoning (inductive). Auf einem weniger klar zu interpretierenden Faktor (Thurstone, 1938, S. 88) laden Aufgaben, die quantitative Reasoningprozesse erfordern (Gustafsson & Undheim, 1996, bezeichnen diesen Faktor als Arithmetical Reasoning).

In Thurstones Studien erklärten also (in Anlehnung an die Interpretation von Gustafsson und Undheim) zwei verschiedene mathematische Fähigkeiten (Rechenfertigkeit, quantitatives Reasoning mit Aufgaben aus der Arithmetik) interindividuelle Unterschiede bei Aufgaben zur Messung mathematischer Fähigkeiten (vgl. Abb. 6). Folgt man der Annahme, dass für eine bestimmte Klasse von Aufgaben kognitive Fähigkeiten unterschieden werden können, dann wäre es prinzipiell möglich, auch für weitere Klassen mathematischer Aufgaben (z.B. quantitatives Reasoning mit Aufgaben aus der Geometrie) spezifische mathematische Fähigkeiten zu identifizieren. Natürlich gilt diese Annahme auch für kognitive Fähigkeiten anderer Inhaltsdomänen.

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Abbildung 6: Thurstones Primärfähigkeiten

Nicht zuletzt diese Annahme hat Forscher dazu motiviert, Studien zur Identifikation von Primärfähigkeiten durchzuführen. Wichtigstes Ergebnis dieser Untersuchungen ist, dass über 60 Primärfähigkeiten gefunden wurden (Carroll, 1993; Ekstrom, French & Harman, 1979). Mit Blick auf mathematische Fähigkeiten gehörten hierzu einerseits die Replikation des Faktors Rechenfertigkeit und andererseits der Faktor General Reasoning (Ekstrom u.a., 1979), der in erster Linie quantitative Reasoningfähigkeiten misst (zusammenfassend siehe auch Geary, 1994). Die aufgabenspezifischen Fähigkeiten (siehe im Modell von Spearman) spielen in Thurstones Modell wie auch in den zeitlich später ausgearbeiteten Modellen keine entscheidende Rolle mehr.

Hierarchische Faktorenanalysen. Nachfolgende Strukturmodelle haben versucht, die Interkorrelationen zwischen der anwachsenden Zahl an Primärfähigkeiten durch generellere Fähigkeitskonstrukte zu erklären. Hierzu wurden hierarchische Faktormodelle verwendet, die Gustafsson und Undheim (1996) in zwei Gruppen einteilen. Bei der ersten Analysemethode (ein B ottom-up-Ansatz) versucht man die Interkorrelationen der Faktoren erster Ordnung mit Faktoren zweiter Ordnung zu erklären. Sollten diese Faktoren zweiter Ordnung selbst wieder interkorreliert sein, wird eine dritte Hierarchieebene von Faktoren eingeführt werden, die die Interkorrelationen zwischen den Faktoren zweiter Ordnung erklärt und so fort. Diese Analysemethode wurde von den amerikanischen Forschern eingesetzt und hatte maßgeblichen Einfluss auf das Strukturmodell kristalliner und fluider Fähigkeiten (Cattell, 1963; Horn, 1988, 1994; Horn & Noll, 1997) wie auch der Entwicklung der Drei-Stratum-Theorie von Carroll (1993).

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Die zweite Analysemethode (hierarchische Gruppenfaktorentechnik ; ein Top-down-Ansatz) wurde von den britischen Forschern zur Untersuchung der Struktur kognitiver Fähigkeiten favorisiert. Bei dieser Methode werden so viele orthogonale Faktoren eingeführt, bis alle Interkorrelationen zwischen den manifesten Testaufgaben vollständig erklärt sind: Der erste Faktor erklärt dabei die meiste Varianz, ist also der breiteste und generellste Faktor. Für den Einfluss dieses ersten Faktors wird dann statistisch kontrolliert. Aus den verbleibenden Residualinterkorrelationen wird dann der zweite Faktor extrahiert. Die weiteren, zunehmend schmäleren Faktoren werden nach dem gleichen Prinzip gebildet.

Vernons hierarchisches Modell kognitiver Fähigkeiten. Die einflussreichste Zusammenfassung der britischen Forschung zur Struktur kognitiver Fähigkeiten stammt von Philip E. Vernon (Gustafsson & Undheim, 1996). Auf Grundlage seiner Literaturreview und eigener Forschung hat Vernon (1964, 1965, 1969) ein hierarchisches Strukturmodell kognitiver Fähigkeiten entwickelt (Abb. 7a). An der Spitze des Modells steht die allgemeine kognitive Fähigkeit (g), die vornehmlich durch Reasoningaufgaben markiert wird. Im Modell sind auch zwei bedeutsame allgemeinere Fähigkeiten enthalten: verbal-numerische Fähigkeit (v:ed; verbal-numerical-educa tional) und praktisch-mechanisch-räumlich-physikalische Fähigkeit (k:m; practical-mechanical-spatial-physical). Wichtig ist hierbei, dass Vernon v:ed noch weiter differenziert und konzeptuell eine generelle mathematische Fähigkeit (n, die Vernon, 1969, S. 22, als number bezeichnet) im Modell vorsieht. Diese ist wiederum spezifischeren mathematischen Fähigkeiten (mathematical abilities, z.B. Geometrie, Algebra, Arithmetik, vgl. Vernon, 1964) hierarchisch übergeordnet.

Aus den theoretischen Darstellungen von Vernon ist es schwierig, eine eindeutige faktorielle Repräsentation von Aufgaben zur Messung kognitiver Fähigkeiten abzuleiten, da die faktorielle Struktur auch immer von der verwendeten Aufgaben- und Personenstichprobe abhängig ist (Vernon, 1964). Ein Faktormodell, das mit dem konzeptuellen Modell von Vernon vereinbar ist, ist in Abbildung 7b dargestellt. Daraus ist ersichtlich, dass interindividuelle Unterschiede bei Maßen mathematischer Fähigkeiten durch stoffgebietsspezifische Fähigkeiten, generelle mathematische Fähigkeit, verbal-numerische Fähigkeit und allgemeine kognitive Fähigkeit erklärt werden.

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Abbildung 7: Vernons hierarchisches Modell der Intelligenz

Modell fluider und kristalliner Fähigkeiten.Im Gegensatz zur britischen Forschung basiert die amerikanische Forschung zur Struktur kognitiver Fähigkeiten auf dem oben beschriebenen faktoranalytischen Bottom-up-Ansatz. Ein daraus resultierendes, sehr populäres hierarchisches Modell ist die Theorie kristalliner (Gc) und fluider (Gf) Fähigkeiten, die von Cattell (1941) begründet wurde. Fluide Fähigkeit ist nach Cattell die Fähigkeit zum induktiven und deduktiven Schlussfolgern bei neuartigen Problemen. Kristalline Fähigkeiten spiegeln sich beim Lösen ve r trauter Probleme wider und repräsentieren Fähigkeiten und Wissen, die durch den Schulbesuch und die Sozialisation in der jeweiligen Kultur entstehen (siehe auch Abschnitt 5.2.1, Investmenttheorie).

Seit Mitte der 1960er Jahre haben Cattell und Horn und später in erster Linie Horn das zweifaktorielle Gf-Gc-Modell sukzessive auf insgesamt neun (breite) kognitive Fähigkeiten erweitert (extended Gf-Gc-Theory, vgl. Abb. 8; Horn & Noll, 1997). Die postulierten kognitiven Fähigkeiten sind, neben Gf und Gc, Verarbeiten visueller Information (Gv), Kurzzeitgedächtnis (Gsm), Langzeitgedächtnis (Glr), Informationsverarbeitungsgeschwindigkeit (Gs), Entscheidungsgeschwindigkeit (CDS), Verarbeiten auditorischer Informationen (Ga) und generelle mathematische Fähigkeit (Gq, die Horn und Noll als quantitative knowledge bezeichnen).

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Die generelle mathematische Fähigkeit ist von besonderem Interesse für die vorliegende Arbeit: Nach Horn und Noll (1997, S. 69) erfordern Aufgaben zur Messung von Gq Verständnis und Anwendung mathematischer Konzepte und Fertigkeiten. Interindividuelle Unterschiede bei Aufgaben zur Messung mathematischer Fähigkeiten werden – bei einer strengen Interpretation des Gf-Gc-Modells – durch einen Faktor, der generelle mathematische Fähigkeit repräsentiert, und weitere mathematikspezifische Primärfähigkeiten (Abb. 8, N und QR) erklärt. Der Einfluss von Gq wird dabei über die Primärfähigkeiten vermittelt. Horn und Noll nehmen in der aktuellen Fassung des Gf-Gc-Modells nicht an, dass eine allgemeine kognitive Fähigkeit existiert. Daher sind anstelle eines generellen Faktors nur latente Interkorrelationen in Abbildung 8 eingezeichnet. Jedoch machen die beiden Autoren keine Aussage darüber, wie diese Interkorrelationen interpretiert werden können.

Abbildung 8: Modell fluider und kristalliner Fähigkeiten (Horn & Noll, 1997)

Carrolls Drei-Stratum-Theorie. Im Gegensatz zum Gf-Gc-Modell ist die allgemeine kognitive Fähigkeit ein wesentlicher Bestandteil der Drei-Stratum-Theorie von Carroll (1993), die ebenfalls auf dem faktoranalytischen Bottom-up-Ansatz beruht. Dieses theoretische Modell wird von vielen Forschern als die umfassendste Taxonomie kognitiver Fähigkeiten betrachtet (z.B. Gustafsson & Undheim, 1996; Lubinski, 2000; Sternberg, 2003). Dies beruht nicht zuletzt auf der empirischen Datengrundlage, die zu Carrolls Strukturmodell führte: Carroll reanalysierte 461 Datensätze, die in früheren Studien zur Struktur kognitiver Fähigkeiten verwendet wurden. Die Daten stammen dabei von insgesamt über 130.000 Personen mit einem Altersspanne von 6 Monaten bis 71 Jahren, aus 19 verschiedenen Nationen.

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Ein zentrales Ergebnis von Carrolls Analyse ist die Unterscheidung von drei Strata von Fähigkeitskonstrukten (Abb. 9). Die Strata beziehen sich auf die Generalität (mit den Abstufungen Stratum III: allgemein, Stratum II: breit, Stratum I: eng) der jeweiligen Fähigkeiten. Auf Str a tum III befindet sich die allgemeine kognitive Fähigkeit (g).

Die allgemeine kognitive Fähigkeit zeichnet sich nach Carroll dadurch aus, dass die darauf ladenden Faktoren und Aufgaben in ihren Anforderungen sehr heterogen sind und komplexe kognitive Prozesse lösungsrelevant sind. Auf Stratum II unterscheidet Carroll acht breite Fähigkeiten, die in ihrer Beschreibung mit denen der Gf-Gc-Theorie nahezu identisch sind (Flanagan, McGrew & Ortiz, 2000; McGrew, 1997). Auf Stratum I befinden sich mehr als 30 Primärfähigkeiten, wovon zwei eindeutig mathematische Fähigkeitskonstrukte darstellen: quantitatives Reasoning (QR) und Rechenfertigkeit (N). Während für quantitatives Reasoning die problemorientierte Anwendung mathematischer Konzepte notwendig ist, ist nach Carroll Rechenfertigkeit durch die Fähigkeit im Umgang (Addition, Subtraktion, Division, Multiplikation) mit Zahlen bei meist einfach zu lösenden Aufgaben charakterisiert (Tab. 1; vgl. Carroll, 1993). Da nach Carroll bei Aufgaben zur Messung der Rechenfertigkeit die kognitiven Anforderungen an die mentale Informationsverarbeitungsgeschwindigkeit dominieren, ist Rechenfertigkeit der Fähigkeit „Informationsverarbeitungsgeschwindigkeit“ (Carroll nennt diese Fähigkeit cognitive speed) hierarchisch untergeordnet.

Die Leistung bei mathematischen Aufgaben wird im Rahmen der Drei-Stratum-Theorie durch interindividuelle Unterschiede bei drei kognitiven Fähigkeiten beeinflusst. Zum Beispiel werden die interindividuellen Unterschiede bei Aufgaben zur Messung von quantitativem Reasoning durch die Fähigkeit zum quantitativen Reasoning, durch die fluide Fähigkeit und durch die allgemeine kognitive Fähigkeit erklärt. Der Einfluss von Fähigkeiten, die höheren Strata zugeordnet sind, wird dabei durch die Fähigkeiten vermittelt, die niedrigeren Strata zugeordnet sind. So wird beispielsweise der Einfluss der allgemeinen kognitiven Fähigkeit auf die Maße zur Messung von quantitativem Reasoning über die fluide Fähigkeit und quantitatives Reasoning vermittelt.

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Abbildung 9: Carrolls (1993) Drei-Stratum-Theorie

Das Berliner Intelligenzstrukturmodell (BIS-Modell).Die bisher vorgestellten Modelle basieren in erster Linie auf empirisch induktivem Vorgehen. Dies trifft auch auf die Entwicklung des BIS-Modells zu. Im Vergleich zu den anderen Modellen ist die Entwicklung des BIS-Modells aber auch durch theoriegeleitete deduktive Phasen gekennzeichnet, in denen die Modellannahmen geprüft wurden (Jäger, 1967, 1982, 1984; zusammenfassend Jäger u.a., 1997). In der gegenwärtigen Fassung des BIS-Modells gehen Jäger u.a. (1997) von drei theoretischen Kernannahmen aus:

  1. (a) Fähigkeitskonstrukte können hinsichtlich des Inhalts und der kognitiven Operationen klassifiziert werden (Multimodalität, Abb. 10a). Zu den kognitiven Operationen gehören Merkfähigkeit, Einfallsreichtum, Bearbeitungsgeschwindigkeit und Verarbeitungskapazität (das ist vornehmlich die Fähigkeit zum schlussfolgernden Denken). Zu den Inhalten gehören figural-bildhaftes Denken, sprachgebundenes Denken und eine generelle mathematische Fähigkeit, die Jäger u.a. als numerisches (zahlengebundenes) Denken bezeichnen. Die operativen und inhaltsgebundenen Fähigkeitskonstrukte interkorrelieren positiv und ermöglichen so die Extraktion eines Faktors, der die allgemeine kognitive Fähigkeit repräsentiert. Letzere nennen Jäger u.a. (1997) „Allgemeine Intelligenz“.
  2. (b) Die Fähigkeitskonstrukte im BIS-Modell sind hierarchisch organisiert und können so unterschiedlichen Generalitätsebenen zugeordnet werden (hierarchischer Aufbau). Die „Allgemeine Intelligenz“ ist das generellste Konstrukt, die operativen und inhaltsgebundenen Fähigkeiten sind spezifischere Konstrukte.
  3. Bei einer Aufgabe zur Messung kognitiver Fähigkeiten sind alle (im Modell vorgesehenen) intellektuellen Fähigkeiten beteiligt, allerdings mit deutlich unterschiedlichen Gewichten (mu l tiple Bedingtheit). In einem korrespondierenden Faktormodell können Aufgaben daher auf einem operativen und inhaltsgebundenen Faktor sowie auf einem Faktor laden, der allgemeine kognitive Fähigkeit repräsentiert (Abb. 10b).

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Abbildung 10: Das Berliner Intelligenzstrukturmodell (nach Brunner & Süß, 2005).

Welche Rolle spielen mathematische Fähigkeiten im BIS-Modell?Man könnte meinen, dass im BIS-Modell die „Kreuzung“ aus Operationen und Inhalte (z.B. die Kreuzung von Verarbeitungskapazität und numerischer Fähigkeit) eigene Fähigkeitskonstrukte konstituiert. Somit könnte man numerische Merkfähigkeit, numerische Bearbeitungsgeschwindigkeit (dies entspricht Rechenfertigkeit in den anderen Modellen), numerischen Einfallsreichtum und numerische Verarbeitungskapazität (dies entspricht quantitativem Reasoning in den anderen Modellen) unterscheiden. Darüber hinaus könnte man aufgrund der Annahme des hierarchischen Aufbaus eine generelle mathematische Fähigkeit (diese entspricht konzeptuell weitestgehend Gq im Gf-Gc-Modell und n im Modell von Vernon) konzeptionalisieren. Für die aktuelle Form des BIS-Modells gehen Jäger u.a. (1997) aber nicht davon aus, dass die vier „Fähigkeitskreuzungen“ eigenständige Fähigkeitskonstrukte repräsentieren. Für die Autoren des BIS-Tests stellt die Möglichkeit zur Kreuzklassifikation lediglich einen Orientierungsrahmen dar, in den Testaufgabentypen zur Messung kognitiver Fähigkeiten eingeordnet werden können. Streng interpretiert lässt das BIS-Modell somit nur eine generelle mathematische Fähigkeit zu. Die Leistung bei mathematischen Aufgaben wird im Rahmen des BIS-Modells also im Wesentlichen durch drei Varianzquellen beeinflusst. Dies sind die jeweilige operative Fähigkeit, die generelle mathematische Fähigkeit und die allgemeine kognitive Fähigkeit.

Zusammenfassung. Zusammenfassend kann man festhalten, dass die dargestellten Modelle einige strukturelle Gemeinsamkeiten aufweisen, sich aber auch in wesentlichen Aspekten unterscheiden. Gemeinsam ist allen aktuelleren Modellen (womit die Modelle von Vernon, Gf-Gc, Carroll, BIS-Modell gemeint sind), dass sie einen hierarchischen Aufbau kognitiver Fähigkeiten annehmen und dass mathematische Fähigkeiten berücksichtigt werden. Allerdings unterscheiden sich die Modelle konzeptuell in drei Gesichtspunkten:

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  1. (a) Die Existenz „allgemeiner kognitiver Fähigkeit“. Ein Hauptunterschied zwischen den Strukturmodellen liegt darin, ob an der Spitze der Hierarchie eine allgemeine kognitive Fähigkeit (g) postuliert wird (Vernon, Carroll, BIS-Modell) oder nicht (Gf-Gc-Theorie) (siehe auch Flanagan u.a., 2000).
  2. (b) Multiple Bedingtheit von Maßen kognitiver Fähigkeiten. Ein weiterer Unterschied besteht darin, ob angenommen wird, dass die Aufgabenperformanz von mehreren Fähigkeiten abhängig und somit multipel bedingt ist. Dies ist offensichtlich im BIS-Modell der Fall. Weniger offensichtlich ist dies bei den Modellen von Carroll und Vernon. Jedoch können bei der hierarchischen Gruppenfaktorentechnik, die Vernon verwendete, alle Aufgaben gleichzeitig auf mehreren Faktoren laden. Damit setzten sich die Aufgabenvarianzen ebenfalls additiv aus mehreren Faktoren zusammen. Carrolls Ableitung des Modell basiert auf Schmid-Leiman orthogonalisierten Faktoren (Schmid & Leiman, 1957), bei denen die Aufgaben ebenfalls auf mehren Faktoren laden können (Carroll, 1993, S. 90). In der Gf-Gc-Theorie hingegen wird angenommen, dass die jeweiligen Aufgaben nur auf einem Faktor im Sinne einer Einfachstruktur laden (Horn & Noll, 1997, S. 69) und sich die Aufgabenvarianzen somit nicht aus mehreren Faktoren zusammensetzten (siehe auch Gustafsson & Undheim, 1996).
  3. (c) Konzeption mathematischer Fähigkeiten. Weiterhin wird in allen Modellen explizit oder implizit angenommen, dass mathematische Fähigkeit (bei Carroll jedoch nur die Fähigkeit quantitatives Reasoning) hierarchisch organisiert ist. Unterschiede bestehen jedoch in der Definition des Konstrukts „mathematische Fähigkeit“, die sich darin widerspiegeln, ob mathematische Fähigkeit eher nach inhaltlichen oder operativen Gesichtspunkten konzeptionalisiert wird.

Jedoch muss bei der Unterscheidung mathematischer Fähigkeiten nach inhaltlichen oder operativen Gesichtspunkten eine Einschränkung angemerkt werden. In der bisherigen Forschung zur Ableitung der Strukturmodelle wurden in der Regel Aufgaben aus allen vier gängigen mathematischen Stoffgebieten (Arithmetik, Algebra, Geometrie und Stochastik) nicht ausgewogen eingesetzt. Meist dominierten Aufgaben aus der Arithmetik, und entsprechende Fähigkeiten werden daher als „numerische“ (vgl. n im Modell von Vernon oder N im BIS-Modell) oder „quantitative“ Fähigkeiten (vgl. Gq im Gf-Gc-Modell oder QR im Modell von Carroll) und nicht als „mathematische“ Fähigkeiten bezeichnet. Inwiefern die theoretischen Annahmen aus den Strukturmodellen auf andere mathematische Stoffgebiete übertragbar sind, ist damit – empirisch gesehen – nicht so gut abgesichert wie für Aufgaben aus der Arithmetik. Andererseits erscheint es aber gerechtfertigt, von der Gültigkeit der Strukturmodelle zumindest für die gängigen mathematischen Stoffgebiete auszugehen. Strukturmodelle streben das Ziel an, das celestial white (Horn, 1988) kognitiver Fähigkeiten taxonomisch zu ordnen (Gustafsson & Undheim, 1996). Daher sollten die Annahmen, die in den Strukturmodellen gemacht werden, auch für Aufgaben aus den mathematischen Stoffgebieten Algebra, Geometrie und Stochastik zutreffen. Nicht zuletzt wird dieser Anspruch auch von Horn und Noll explizit so formuliert: „Quantitative knowledge (Gq), measured in tasks requiring understanding and application of the concepts and skills of math e matics.“[Hervorhebung M.B.] (Horn & Noll, 1997, S. 69)

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Tabelle 2 fasst nochmals die diskutierten Unterschiede zwischen den Strukturtheorien zusammen. Die diskutierten Unterschiede zwischen den Strukturmodellen kognitiver Fähigkeiten haben direkte Implikationen, wie interindividuelle Unterschiede bei Maßen mathematischer Schülerleistung erklärt werden können. Die zentralen Hypothesen (für die konkrete Formulierung siehe Kap. 7), die im Rahmen der ersten Forschungsfrage behandelt werden, beschäftigen sich daher mit zwei Fragen:

Tabelle 2:Zentrale Unterschiede zwischen den Strukturtheorien kognitiver Fähigkeiten

Strukturtheorie

Existenz „allgemeiner
kognitiver Fähigkeit“?

Multiple Bedingtheit
von Maßen kognitiver Fähigkeiten?

Konzeption
mathematischer
Fähigkeiten

Vernon

Ja

Ja

Stoffgebiete

Gf-Gc-Modell

Nein

Nein

Operative Fähigkeiten

Drei-Stratum-Theorie

Ja

Ja

Stoffgebiete und operative Fähigkeiten

BIS-Modell

Ja

Ja

Operative Fähigkeiten

Gf = fluide Fähigkeiten, Gc = kristalline Fähigkeiten, BIS-Modell = Berliner Intelligenzstrukturmodell.

 
 

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Antworten auf die beiden Fragen betreffen das erste Hauptziel dieser Arbeit: eine Anbindung mathematischer Schülerleistung an differenzialpsychologische kognitive Fähigkeitskonstrukte.

Natürlich stellen die vorgestellten Modelle nur einen Ausschnitt aus den in der Forschungsliteratur diskutierten Modellen dar (Brody, 2000; Gustafsson & Undheim, 1996; Li & Schmiedek, 2001; Wilhelm, 2000). Strukturmodelle, auf die nicht eingegangen wurde, sind:

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Bei der Darstellung der Strukturmodelle in diesem Abschnitt wurde ausgespart, wie die Struktur der kognitiven Fähigkeiten entstehen kann. Dies ist Gegenstand des nächsten Abschnitts.

4.3 Integration und Differenzierung kognitiver Fähigkeiten

4.3.1  Allgemeine „Mechanismen“

Warum können interindividuelle Unterschiede bei Aufgaben zur Messung kognitiver Fähigkeiten durch Faktoren erklärt werden? Was führt dazu, dass Aufgaben stärker oder schwächer miteinander korrelieren? Eine Zunahme der Korrelationen ist indikativ für eine Integration der kognitiven Fähigkeiten: Die Korrelation zwischen Faktoren nimmt zu. Die Abnahme der Korrelationen zwischen Aufgaben zur Messung kognitiver Fähigkeiten ist indikativ für eine Differenzierung kognitiver Fähigkeiten: Die Korrelation zwischen Faktoren nimmt ab und die jeweiligen Faktorvarianzen nehmen (unabhängig voneinander) zu. Letzteres bedeutet auch, dass die Heterogenität der kognitiven Fähigkeiten in einer bestimmten Personenpopulation zunimmt. Die Überlegungen und Befunde zur Differenzierung kognitiver Fähigkeiten sind daher sehr relevant vor dem Hintergrund der zweiten Forschungsfrage, in der es unter anderem darum geht, die Heterogenität der kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung in Abhängigkeit der Schulform zu analysieren.

Die Fragen nach Integration und Differenzierung kognitiver Fähigkeiten sind weder neu (z.B. Tryon, 1935), noch gibt es einen universellen Mechanismus, wie die zahlreichen in der Literatur diskutierten Ansätze belegen (Anastasi, 1970, 1986; Carroll, 1966; Ferguson, 1954, 1956; Vernon, 1965). Nachfolgend werden drei allgemeine Ansätze dargestellt, die zur Erklärung herangezogen werden: kognitive Ressourcen und Informationsverarbeitungsprozesse, Transfereffekte und Lernumwelten. Diese Ansätze sind nicht spezifisch für mathematische Fähigkeiten oder gar mathematische Schülerleistung formuliert worden. Jedoch lassen sich die darin formulierten Annahmen problemlos darauf übertragen.

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Kognitive Ressourcen und Informationsverarbe i tungsprozesse. Die zentrale Annahme dieser Ansätze ist, dass bestimmte kognitive Ressourcen oder Informationsverarbeitungsprozesse zentral für die Performanz bei einer Klasse von Aufgaben sind. Interindividuelle Unterschiede in den kognitiven Ressourcen oder den Informationsverarbeitungsprozessen führen dazu, dass die Performanz bei diesen Aufgaben interkorreliert. Diese Annahme findet sich bereits bei Spearman (z.B. 1927), der davon ausgeht, dass die mentalen Prozesse eduction of relations, eduction of correlates und apprehe n sion of experience dem Faktor g zu Grunde liegen.10

Während die von Spearman postulierten Prozesse auf die allgemeine kognitive Fähigkeit (in Form eines Generalfaktors) fokussieren, ist Tryons (1935) Stichprobenansatz genereller und kann auch das Zustandekommen von verschiedenen kognitiven Fähigkeiten (in Form von Gruppenfaktoren wie z.B. bei Thurstone) erklären. Tryon nimmt an, dass die Interkorrelation von Aufgaben maßgeblich dadurch bestimmt ist, inwieweit die gleichen „psychologischen Komponenten“ zur Bearbeitung zweier Aufgaben lösungsrelevant sind. Die Vorgabe von Testaufgaben vergleicht Tryon mit einer Stichprobenziehung aus dem „Universum lösungsrelevanter psychologischer Komponenten“. Je größer die Schnittmenge der Stichprobenräume zweier Aufgaben ist, aus denen die psychologischen Komponenten „gezogen“ werden, desto höher ist die zu erwartende Aufgabeninterkorrelation.

Diese Überlegung greifen zum Beispiel Snow und Kollegen (Snow u.a., 1984) auf, um das Zustandekommen einer Radexstruktur kognitiver Fähigkeiten zu erklären. Eine Radexstruktur impliziert hierbei, dass sich Aufgaben zur Messung kognitiver Fähigkeiten nach der inhaltlichen Anforderung (indiziert durch die Ladung auf den inhaltlichen Faktoren) und nach den Anforderungen an die Komplexität der Informationsverarbeitungsprozesse (indiziert durch die Ladung auf dem Faktor für allgemeine kognitive Fähigkeit) unterscheiden. Snow u.a. (1984) betrachten dabei das kognitive System einer Person als semantisches Netzwerk mit einer Vielzahl von „Komponenten“ (Informationsverarbeitungsprozesse, Schemata, Pläne oder Wissensstrukturen). Die erfolgreiche Bearbeitung einer Aufgabe erfordert dabei die Verfügbarkeit einer Vielzahl dieser Komponenten, die zudem richtig sequenziert werden müssen. Personen unterscheiden sich darin, wie gut die von ihnen produzierten Komponentensequenzen den Aufgabenanforderungen entsprechen. Wenn die Komponentensequenzen und Aufgabenanforderungen hinreichend gut übereinstimmen, wird eine Aufgabe erfolgreich gelöst. Hohe Interkorrelationen zwischen zwei Aufgaben resultieren dann, wenn ähnliche Stichproben von Komponentensequenzen für beide Aufgaben lösungsrelevant sind.

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Als eine aktuelle Weiterführung der Überlegungen von Snow u.a. kann das 4-Quellen-Modell betrachtet werden (z.B. Kyllonen, 1994; Kyllonen & Christal, 1990): Zentral ist im 4-Quellen-Modell, dass das Zustandekommen interindividueller Unterschiede bei kognitiven Aufgaben durch interindividuelle Unterschiede bei vier zentralen Komponenten (Quellen) der kognitiven Architektur erklärt wird: Interindividuelle Unterschiede können dabei in Tiefe und Breite des deklarativen Wissens, in der Tiefe und Breite des prozeduralen Wissens, in der Kapazität des Arbeitsgedächtnisses (als Fähigkeit zum simultanen Speichern und Verarbeiten von Informationen) und in der Geschwindigkeit von Informationsverarbeitungsprozessen bestehen (Kyllonen & Christal, 1990). Deklaratives und prozedurales Wissen kann dabei noch weiter nach der jeweiligen Wissensdomäne (verbal, quantitativ, figural-räumlich, z.B. Kyllonen, 1994) binnendifferenziert werden. Aufgabeninterkorrelationen resultieren, weil für eine Klasse von Aufgaben dieselben kognitiven Komponenten lösungsrelevant sind.

Man kann die Annnahme, dass kognitive Ressourcen oder Informationsverarbeitungsprozesse zur Interkorrelation der Aufgaben führen, auch aus einer lernpsychologischen Perspektive betrachten: Kognitive Ressourcen und Informationsverarbeitungsprozesse werden von einer Aufgabe auf die nächste transferiert.

Transfereffekte. Ein Vertreter dieses Ansatzes ist Ferguson (1954, 1956).Ausgangspunkt von Ferguson ist einerseits die Beobachtung aus der Lernpsychologie, dass Lernkurven sich asymptotisch einer Performanzgrenze nähern, und andererseits die Annahme zeitlicher Stabilität psychometrisch definierter Fähigkeiten. Ferguson versucht diese beiden Aspekte zu integrieren, indem er kognitive Fähigkeiten als überlerntes Verhalten betrachtet: Die erzielte Leistung bei kognitiven Aufgaben resultiert für Ferguson durch zeitlich lang andauerndes „Training“ bei gleichen oder ähnlichen kognitiven Aufgaben. Die Aufgabenleistung entspricht damit der asymptotischen Performanz am Ende der Trainingsphase. Diese asymptotische Performanz ist zeitlich weitestgehend stabil, was die zeitliche Stabilität von Fähigkeiten erklärt.

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Darüber hinaus geht Ferguson davon aus, dass die Fähigkeit, eine bestimmte Klasse von Aufgaben zu lösen, auf ähnliche Aufgaben transferiert und somit die Performanz positiv beeinflusst (siehe auch Carroll, 1966; Cattell, 1987). Dies führt zur Interkorrelation zwischen Aufgaben. Je weiter die Transfereffekte sind, desto „breiter“ ist die korrespondierende kognitive Fähigkeit, die diese Interkorrelationen erklärt. Was tatsächlich gelernt wird, hängt natürlich in hohem Maße von den bearbeiteten Aufgaben ab.

Lernumwelten. Die Umwelt einer Person (z.B. das familiäre Umfeld oder die Schule) hat damit entscheidenden Einfluss auf die Struktur der kognitiven Fähigkeiten in einer Personenpopulation. In der Lernumwelt werden Aufgaben vorgegeben, die bearbeitet werden können. Somit bestimmt die Umwelt vermittelt über die eingesetzten Aufgaben maßgeblich die Lernerfahrungen einer Person (siehe auch Anastasi, 1970, 1986; Carroll, 1966; Tryon, 1935). Zentral ist hierbei der Gedanke, dass sich die Möglichkeit, bestimmte Lernerfahrungen zu machen, zwischen Umwelten unterscheidet. Carroll (1993) diskutiert diese differenziellen Lernerfahrungen im Rahmen eines Gedankenexperiments: Schüler werden zufällig auf vier Gruppen aufgeteilt. Jede Gruppe wird in einem anderen Fachgebiet unterrichtet, das den Schülern vor der Untersuchung unbekannt war. Carroll geht davon aus, dass nach Ende der Unterrichtsperiode bei Vorgabe von zwei oder drei Tests pro Fachgebiet Faktoren für jedes Fachgebiet extrahiert werden können. Diese Faktoren repräsentieren die kognitiven Fähigkeiten zur Bearbeitung der jeweiligen Fachgebiete. Carroll impliziert in seinem Gedankenexperiment, dass nur die Schüler in einer bestimmten Gruppe die Möglichkeit haben, die Inhalte des jeweiligen Fachgebiets zu lernen. Dies führt (bei Analyse der Daten aller vier Gruppen) zu interindividuellen Unterschieden bei der Performanz korrespondierender Testaufgaben, die das Beherrschen der Lerninhalte des jeweiligen Fachgebiets erfassen. Wenn alle Testaufgaben auf die Lerninhalte dieses Fachgebiets abzielen, korreliert die Performanz bei den Testaufgaben und ermöglicht so die Extraktion eines Faktors. Wenn dies für alle vier Schülergruppen zutrifft, können bei Analyse der gesamten Stichprobe vier Faktoren für jedes Fachgebiet extrahiert werden.

Für Carroll führt jede Kultur oder Gesellschaft solche „Experimente“ durch, da Menschen unterschiedliche Lernerfahrungen machen. Einerseits lernen Menschen bei freiwillig gewählten Aktivitäten in der Freizeit oder am Arbeitsplatz. Andererseits können diese Lernerfahrungen wie beispielsweise der Schulbesuch gesellschaftlich „verordnet“ sein. Daher ist klar, dass Unterschiede zwischen Lehrplänen oder Unterschiede in den instruktionalen Maßnahmen Einfluss auf die vorgefundene Struktur kognitiver Fähigkeiten haben können. Die Höhe der Interkorrelation und die Breite der Faktoren, die in der Schule erworbene kristalline Fähigkeiten repräsentieren, sind davon abhängig, welche Inhalte in den Lehrplänen vorgesehen sind und wie diese Inhalte im Unterricht implementiert werden (vgl. Carroll, 1966; Cattell, 1987; Vernon, 1964, 1969).

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Im Zusammenhang mit der Wirkung von Lernumwelten können mit Baltes, Nesselroade und Cornelius (1978) zwei Prozesse unterschieden werden (Abb. 11), die zur Differenzierung oder Integration (von Faktoren) führen. Das von Carroll beschriebene Gedankenexperiment bezieht sich auf die Differenzierung und beschreibt das Entstehen von Gruppenfaktoren. Die Integration beschreibt hingegen das Zustandekommen eines generellen Faktors.

Im Rahmen einer Simulationsstudie konnten Baltes u.a. (1978) zeigen, dass sowohl Integration als auch Differenzierung aus Umweltfaktoren resultieren können. Entscheidend ist hierbei die Annahme, dass Personen sich darin unterscheiden, welche Umweltfaktoren auf sie wirken. Integration und Differenzierung basieren dabei auf zwei unterschiedlichen Mechanismen:

(a) Wenn Umweltfaktoren positiven Einfluss auf die Performanz bei allen kognitiven Aufgaben haben, dann resultiert eine allgemeine kognitive Fähigkeit (in Form eines generellen Faktors) und die Interkorrelation zwischen kognitiven Fähigkeiten (repräsentiert durch Gruppenfaktoren) nimmt zu. Baltes u.a. (1978) sprechen hierbei von allgemeinen Umweltunterschieden (g e neral environmental differences), die zur Integration führen. In der Simulationsstudie wurden deshalb Kovarianzen bei allen Aufgaben hinzugefügt (in Abb. 11 wird dies durch einen Faktor repräsentiert, der auf alle manifesten Variablen Einfluss hat).

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Abbildung 11: Schematische Darstellung von Faktorintegration und Faktordifferenzierung
(in Anlehnung an Baltes u.a., 1978)

(b)Wenn die Umweltfaktoren jedoch nur die Performanz bei den Aufgaben zur Messung einer bestimmten kognitiven Fähigkeit positiv beeinflussen (vgl. das Gedankenexperiment von Carroll, 1993), resultiert eine differenziertere Struktur der kognitiven Fähigkeiten und die Interkorrelationen zwischen den kognitiven Fähigkeiten verringern sich. Baltes u.a. (1978) nennen dies verhaltensspezifische Umweltunterschiede (behavior-specific environmental diff e rences), die zur Differenzierung der kognitiven Fähigkeiten führen. Zur Simulation dieses Effekts wurden Kovarianzen nur bei den Aufgaben addiert, die zur Messung eines bestimmten Gruppenfaktors verwendet werden (in Abb. 11 wird dies durch einen Faktor repräsentiert, der nur auf einen Teil der manifesten Variablen Einfluss hat).

Zusammenfassung. Mit Blick auf mathematische Schülerleistung können (faktoriell repräsentierte) kognitive Fähigkeiten, die interindividuelle Unterschiede bei Maßen mathematischer Schülerleistung erklären, (mindestens) durch drei „Wirkmechanismen“ zu Stande kommen: Informationsverarbeitungsprozesse, die allen Maßen mathematischer Schülerleistung gemein sind, Transfereffekte mathematischen Wissens oder Unterschiede in der „Lernumwelt“ Schule. Die schulische Lernumwelt wird daher in Abschnitt 5.3 und 5.4 noch weiter beleuchtet, um Hypothesen zu „Schulformunterschieden“ für die zweite Forschungsfrage abzuleiten.

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Drei verschiedene Erklärungsansätze zur Entstehung von Faktorstrukturen suggerieren möglicherweise, dass diese weitestgehend unabhängig sind. Jedoch sollte man bedenken, dass dies lediglich drei Perspektiven auf ein und dasselbe Phänomen sind: Wenn Informationsverarbeitungsprozesse, Wissensstrukturen oder kognitive Ressourcen lösungsrelevant für eine Klasse von Aufgaben sind, kann man dies als Transfer dieser kognitiven Komponenten beschreiben. Gleichzeitig werden diese kognitiven Komponenten auch in einer bestimmten Lernumwelt erworben oder trainiert.

Die in diesem Abschnitt vorgestellten Erklärungsansätze zur Entstehung von Faktorstrukturen gelten universell für alle Personen. Der nächste Abschnitt beschäftigt sich damit, ob und warum sich Faktorstrukturen für Personen mit hohem und niedrigem Niveau allgemeiner kognitiver Fähigkeit unterscheiden. Damit ist ein Teilaspekt der zweiten Forschungsfrage verbunden: Nimmt die Heterogenität mathematischer Fähigkeiten für Schüler mit hohem und niedrigem Niveau allgemeiner kognitiver Fähigkeit zu? Ist diese Differenzierung abhängig von der besuchten Schulform?

4.3.2 Differenzierungshypothese

Mit Reinert (1970) und Carlstedt (2001) kann man die Studien, die die Interkorrelationen kognitiver Fähigkeiten für Personen unterschiedlicher Fähigkeitsniveaus analysieren, in zwei große Gruppen einteilen: In der ersten Gruppe von Studien werden Personen mit unterschiedlichem chronolog i schem Alter untersucht. In diesen Studien wird explizit oder implizit davon ausgegangen, dass sich das Niveau allgemeiner kognitiver Fähigkeit (bzw. fluider Fähigkeit) zunächst erhöht und dann bei alten und sehr alten Menschen wieder sinkt. Die zweite Gruppe von Studien beschäftigt sich mit Personen unterschiedlichen Fähigkeitsniveaus (mit nahezu gleichem chronologischem Alter).

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Chronologisches Alter. Eine zentrale zu Grunde liegende Hypothese ist in diesen Studien, dass mit zunehmendem chronologischem Alter zunächst eine Differenzierung kognitiver Fähigkeiten beobachtet werden kann. Reinert und Kollegen (Reinert, 1970; Reinert, Baltes & Schmidt, 1965) nennen dies die Altersdifferenzierungshypothese, die für die Altersstufen von 6 bis 20 Jahren gültig sein soll und auf Garrett (1946) zurückgeht. Bei alten und sehr alten Menschen wird hingegen davon ausgegangen, dass mit abnehmendem Niveau allgemeiner kognitiver Fähigkeit die Struktur kognitiver Fähigkeiten dedifferenziert (Reinert, 1970), dass heißt, man kann eine Integration der kognitiven Fähigkeiten beobachten. Die Ergebnisse dieser Gruppe von Studien zur Differenzierungs–Dedifferenzierungshypothese waren im Jahr 1965 uneindeutig (Reinert u.a., 1965) und werden heutzutage entweder als puzzling (Juan-Espinosa u.a., 2002, S. 396) oder aufgrund von methodischen Problemen (Nesselroade & Thompson, 1995) als „inconclusive, but generally (…) supportive“ (Baltes, Lindenberger & Staudinger, 1998, S. 1080) betrachtet. Da in dieser Arbeit keine entwicklungspsychologische Fragestellung im Vordergrund steht, wird die Literatur hierzu nicht weiter aufgearbeitet (siehe z.B. Bickley, Keith & Wolfle, 1995; Carroll, 1993; Juan-Espinosa u.a., 2002; Li u.a., 2004; Schaie, 1994; Schaie, Maitland, Willis & Intrieri, 1998; Schaie, Willis, Jay & Chipuer, 1989).

Unterschiedliche Fähigkeitsniveaus. Bei der zweiten Gruppe von Studien werden die Interkorrelationen kognitiver Fähigkeiten in Abhängigkeit des Fähigkeitsniveaus untersucht. Das chronologische Alter spielt dabei als Untersuchungsvariable eine untergeordnete Rolle oder wird (z.B. durch die Stichprobenbildung) bei den Analysen weitestgehend konstant gehalten oder statistisch kontrolliert. Eine der ersten Untersuchungen hierzu stammt von Spearman (1927): Er verglich die Interkorrelationen von Tests zur Messung kognitiver Fähigkeiten von normal entwickelten Schülern und Schülern mit Lernschwierigkeiten. Ergebnis war, dass die Testinterkorrelationen von Schülern mit Lernschwierigkeiten deutlich höher waren als bei den normal entwickelten Schülern (für eine Reanalyse siehe Deary & Pagliari, 1991). Er konnte also eine Faktordifferenzierung mit zunehmendem Fähigkeitsniveau wie auch die Dedifferenzierung bzw. Faktorintegration mit abnehmendem Fähigkeitsniveau beobachten.

Die Beobachtung von Spearman geriet jedoch in Vergessenheit und wurde erst in jüngerer Zeit von Detterman und Daniel (1989) „wiederentdeckt“ (Deary & Pagliari, 1991) und mehrmals repliziert (siehe aber auch Fogarty & Stankov, 1995; Hartmann & Reuter, 2006):

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  1. (a) konnten beim Vergleich von Personen mit unterschiedlichen Fähigkeitsniveaus dreierlei feststellen. Erstens, Tests zur Messung kognitiver Informationsverarbeitungsprozesse interkorrelierten im Durchschnitt höher bei Personen mit niedrigem Fähigkeitsniveau. Zweitens, die Korrelation dieser Tests mit einem Indikator für die allgemeine kognitive Fähigkeit gemessen durch den Wechsler-Intelligenztest für Erwachsene (WAIS-R, z.B. Lit100 konnten beim Vergleich von Personen mit unterschiedlichen Fähigkeitsniveaus dreierlei feststellen. Erstens, Tests zur Messung kognitiver Informationsverarbeitungsprozesse interkorrelierten im Durchschnitt höher bei Personen mit niedrigem Fähigkeitsniveau. Zweitens, die Korrelation dieser Tests mit einem Indikator für die allgemeine kognitive Fähigkeit gemessen durch den Wechsler-Intelligenztest für Erwachsene (WAIS-R, z.B. Wechsler, 1981), wie auch drittens die Korrelation von Tests zur Messung kognitiver Fähigkeiten des WAIS-R oder dem Wechsler-Intelligenztest für Kinder (WISC-R, z.B. Wechsler, 1974) waren höher für Personen mit niedrigem Fähigkeitsniveau.
  2. (b) Legree, Pifer und Grafton (1996) replizierten den Befund von Detterman und Daniel anhand einer Standardisierungsstichprobe des Armed Services Vocational Aptitude Battery (ASVAB, Department of Defense, 1984). Eine Besonderheit dieses Ergebnisses ist nach Legree u.a. der Unterschied zwischen den Tests: Der Wechsler-Intelligenztest wurde zur Messung kognitiver Fähigkeiten konstruiert. Die ASVAB stellt nach Legree u.a. (1996, S. 46–47) eine Chimäre zwischen einem Test zur Messung kognitiver Fähigkeiten und einem Schülerleistungstest dar. Daher konnte nach Ansicht der Autoren mit einem Verweis auf eine persönliche Kommunikation mit Detterman (vgl. Legree u.a., 1996, S. 46) nicht von vornherein erwartet werden, dass eine Faktordifferenzierung beobachtet werden kann.
  3. In einer viel beachteten Arbeit replizierten Deary und Kollegen (Deary u.a., 1996) die Befunde zur Faktordifferenzierung anhand von Daten der American Differenzial Aptitude Tests (DAT, Educational Research Centre, 1986) und zwei verschiedenen Altersgruppen unter Verwendung einer ausgefeilten Methode zur zufälligen Ziehung alters- und fähigkeitsstratifizierter Analysestichproben.
  4. Carlstedt (2001) analysierte mit einer eigens für seine Studie entwickelten Methodik Daten von Armeeanwärtern, die eine Testbatterie zur Messung kognitiver Fähigkeiten (Swedish E n listment Battery) bearbeiteten. Bemerkenswert an den Ergebnissen dieser Studie war, dass die Differenzierung der spezifischen verbalen Fähigkeit und der spezifischen figural-räumlichen Fähigkeit nur für Fähigkeitsgruppen im unteren Spektrum allgemeiner kognitiver Fähigkeiten beobachtet werden konnte, wohingegen im oberen Spektrum die Differenzierung (möglicherweise aufgrund von psychometrischen Mängeln der analysierten Tests) ausblieb.
  5. Abad und Kollegen () bildeten ihre Analysestichprobe mit derselben Methode wie Deary und Kollegen und konnten deren Befunde für Personen mit einem weiteren Range allgemeiner kognitiver Fähigkeiten (indiziert durch sehr heterogene Bildungsabschlüsse) sowie zwei Altersgruppen replizieren. Datengrundlage bildeten die Normierungsstichprobe des Wechsler-Intelligenztests für Erwachsene (WAIS-III) sowie eine Stichprobe von Studienplatzbewerbern, die eine Testbatterie zur Messung kognitiver Fähigkeiten bearbeitete.Lit1) bildeten ihre Analysestichprobe mit derselben Methode wie Deary und Kollegen und konnten deren Befunde für Personen mit einem weiteren Range allgemeiner kognitiver Fähigkeiten (indiziert durch sehr heterogene Bildungsabschlüsse) sowie zwei Altersgruppen replizieren. Datengrundlage bildeten die Normierungsstichprobe des Wechsler-Intelligenztests für Erwachsene (WAIS-III) sowie eine Stichprobe von Studienplatzbewerbern, die eine Testbatterie zur Messung kognitiver Fähigkeiten bearbeitete.
  6. Jensen (2003) teilte die Normierungsstichproben des WISC-R (Wechsler, 1974) in zwei altershomogenere Gruppen und die Normierungsstichprobe des WAIS-R (Wechsler, 1981) in drei altershomogenere Gruppen ein. Innerhalb der Altersgruppen unterteilte er die Personen nochmals in zwei Gruppen mit hohem und niedrigem Fähigkeitsniveau. Über alle Altersgruppen hinweg konnte er die Faktorintegration für Personen mit niedrigem Fähigkeitsniveau feststellen. Ein weiteres wichtiges Ergebnis war, dass nach Jensen die Subtests der beiden Wechsler-Tests mit den geringsten Ladungen auf g am stärksten von der Faktorintegration betroffen waren. Diese Subtests hatten geringe Ladungen auf g für Personen mit hohem Fähigkeitsniveau und hohe Ladungen auf g für Personen mit geringem Fähigkeitsniveau.

Unabhängig von den differenziellen Befunden zu Subtests ist insgesamt gesehen die Faktorintegration und -differenzierung für Personen mit unterschiedlichem Fähigkeitsniveau ein altersgruppenübergreifender, mehrfach replizierter empirischer Befund, der sehr unterschiedlich erklärt wird (für Zusammenfassungen siehe z.B. Deary u.a., 1996; Jensen, 1998). Nachfolgend werden drei Erklärungsansätze vorgestellt. Spearmans Ansatz wird aufgeführt, da er der Erste war, der versuchte, das Phänomen zu erklären. Die nächsten beiden Ansätze sind aus theoretischer Sicht relevant, um die zweite Forschungsfrage nach Schulformunterschieden der Differenzierung mathematischer Fähigkeiten zu beantworten.

Spearmans „law of diminishing returns“. Der historisch gesehen erste Erklärungsansatz stammt von Spearman (1927, S. 217–221), der vom law of diminishing returns spricht. Da nach Spearman der Faktor g die Interkorrelationen von Tests zur Messung kognitiver Fähigkeiten erklärt, folgert er daraus, dass mit zunehmendem Niveau von g, der Faktor g weniger wichtig für das Zustandekommen der beobachteten Testleistungen ist.Gleichzeitig geht er davon aus, dass die aufgabenspezifischen Faktoren s mit zunehmendem Niveau von g wichtiger werden. Spearman begründet diese Beobachtung durch Analogien zur Physik und Ökonomie: Da Spearman g als mentale Energie betrachtet, führt nach den Gesetzen zur Energieerhaltung eine Verdopplung der eingesetzten Energie nicht zu einer Verdopplung der Geschwindigkeit eines Objekts. Genauso wenig führt entsprechend des ökonomischen law of diminishing returns nach Spearman eine Verdopplung des investierten Kapitals zu einer Verdopplung des Gewinns.

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Investmenttheorie und Fertigkeitserwerb. Eine im Vergleich zu Spearman psychologisch elaboriertere Erklärung, die nicht auf Analogien zur Physik oder Ökonomie zurückgreift, stammt von Jensen (1998, S. 584). Jensen integriert zur Erklärung von Differenzierung und Integration kognitiver Fähigkeiten die Investmenttheorie von Cattell (1987) und Befunde des Fertigkeitserwerbs (siehe Abschnitt 5.2.1 zu einer ausführlicheren Darstellung von Investmenttheorie und Fertigkeitserwerb): Im Zuge der mentalen Entwicklung wird die allgemeine kognitive Fähigkeit zunehmend in spezialisiertere Fähigkeiten investiert. Mit zunehmender Übung werden diese spezialisierteren Fähigkeiten mehr und mehr automatisiert. Die automatisierbaren Aspekte dieser Fähigkeiten sind dann von der allgemeinen kognitiven Fähigkeit unabhängig. Die Kovariation von Aufgaben zur Messung der automatisierten Aspekte ermöglicht die Extraktion von Gruppenfaktoren, die die spezialisierten kognitiven Fähigkeiten repräsentieren.

Zudem nimmt Jensen an, dass Personen mit höherem Fähigkeitsniveau (im Vergleich zu Personen mit niedrigem Fähigkeitsniveau) mehr Möglichkeiten haben, ihre mentalen Ressourcen in den Erwerb verschiedenartiger Fertigkeiten zu investieren. Dies trägt zur Differenzierung der kognitiven Fähigkeiten bei.

Schulbildung. Mit Blick auf die unterschiedlichen Investitionsmöglichkeiten sind die Spekulationen von Abad und Kollegen (2003) zur Interpretation ihrer Ergebnisse interessant: Sind Unterschiede in der Schulbildung für Personen mit unterschiedlichem Fähigkeitsniveau für die Differenzierung der kognitiven Fähigkeiten verantwortlich? Abad und Kollegen (2003) stellten bei der Diskussion ihrer Befunde fest, dass der Effekt der Differenzierung für Testbatterien (z.B. der Wechsler-Intelligenztest), die auf kristalline Fähigkeiten fokussieren, stärker ist als bei Testbatterien, die fluide Fähigkeiten fokussieren. Als eine Erklärung hierfür führen sie an, dass Personen mit höherem Fähigkeitsniveau in der Regel meist eine bessere Schulbildung also Zugang zu besseren Investitionsmöglichkeiten haben. Wenn mit zunehmendem Niveau der Schulbildung Schüler mehr Wissen erwerben, das lösungsrelevant für Aufgaben zur Messung kognitiver (insbesondere kristalliner) Fähigkeiten ist, werden diese Aufgaben mit zunehmender Schulbildung weniger komplex. Die Reasoninganforderungen der Aufgaben nehmen ab, und somit werden auch die Ladungen der Aufgaben auf dem Faktor geringer, der die allgemeine kognitive Fähigkeit repräsentiert. Dies impliziert eine Differenzierung der kognitiven Fähigkeiten.

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Zusammenfassung. Die referierten Studien weisen darauf hin, dass Personen mit hohem Fähigkeitsniveau eine differenziertere Faktorstruktur aufweisen als Personen mit einem niedrigen Fähigkeitsniveau. Von den aufgeführten sechs Studien (exkl. Spearman, 1927), die eine Differenzierung der kognitiven Fähigkeiten fanden, hatte nur die Testbatterie in der Studie von Carlstedt (2001) keine mathematischen Aufgaben enthalten. Da von den Autoren nichts Gegenteiliges berichtet wurde, lassen die Ergebnisse der fünf Studien vermuten, dass diese mathematikspezifischen Fähigkeitsfaktoren mit zunehmender allgemeiner kognitiver Fähigkeit differenzieren.

Erklärt wurde der Effekt der Faktordifferenzierung bzw. Faktorintegration durch Analogien zur Physik und Ökonomie (Spearman), die Automatisierung durch Fertigkeitserwerb sowie Investition in diese Fertigkeitserwerbsprozesse (Jensen) und als Effekt schulischen Lernens (Abad u.a.). Die Erklärung von Abad und Kollegen ist besonders interessant mit Blick auf mathematische Schülerleistung und mathematische Fähigkeiten: Ist die Differenzierung mathematischer Fähigkeiten eine Funktion der Schulform? Zumindest aus theoretischer Sicht können – wie im vorangegangenen Abschnitt ausgeführt wurde – verhaltensspezifische Unterschiede in der schulischen Lernumwelt zur Faktordifferenzierung führen. Eine empirische Antwort wird im Rahmen der zweiten Forschungsfrage zu Schulformunterschieden gegeben.

Insgesamt gesehen legen die Überlegungen zu Unterschieden der Lernumwelt in Abschnitt 4.3.1 und 4.3.2 nahe, schulischem Lernen eine Schlüsselrolle bei der Entwicklung und Differenzierung kognitiver Fähigkeiten zuzuschreiben (siehe auch Ceci, 1991). Deshalb beschäftigt sich das nächste Kapitel mit schulischem Lernen im Allgemeinen und Mathematikunterricht sowie schulformspezifischen Unterschieden des Mathematikunterrichts im Besonderen.


Fußnoten und Endnoten

9  Hierbei ist jedoch einschränkend zu bemerken, dass es natürlich auch Aufgabentypen zur Erfassung mathematischer Fähigkeiten gibt (z.B. Zahlenreihen), die in dieser Form nicht oder nur sehr selten in mathematischen Schülerleistungstests zu finden sind. Die aufgabenspezifischen Varianzen werden im Faktormodell in den Residualtermen repräsentiert. Sofern also ein bestimmter Aufgabentyp in einer Aufgabenbatterie nicht überwiegt, kann davon ausgegangen werden, dass die verwendeten Aufgabentypen geringen Einfluss auf die Zusammensetzung der latenten Varianz nehmen.

10  Eduction of relations ist die Wahrnehmung einer Beziehung zwischen zwei oder mehreren Wissenselementen (z.B. dass „gut“ und „böse“ einen Gegensatz bilden, Wilhelm, 2000, S. 34). Eduction of correlates bedeutet, dass aus der Kenntnis eines Wissenselements und der Beziehung zu einem zweiten Wissenselement das zweite Wissenselement erschlossen werden kann (z.B von „gut“ und der Relation „Gegensatz“ auf „böse“ zu schlussfolgern, Wilhelm, 2000). Der dritte Prozess apprehension of experience kann aus heutiger Sicht wohl unter dem breiten Begriff „Metakognition“ subsumiert werden (Carroll, 1993, S. 637).



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02.08.2006