Welche Lerninhalte aus didaktischer Sicht unter mathematischen Schülerleistungen subsumiert werden, wird meist in Lehrplänen konkretisiert (Köller & Baumert, 2002). Interessant ist dabei auf den ersten Blick die große Vielzahl an Mathematiklehrplänen in Deutschland: So ergab eine Recherche in der Lehrplandatenbank der Kultusministerkonferenz (KMK, http://db.kmk.org/ lehrplan/ am 14.2.2005) allein für die 9. Jahrgangsstufe 114 Treffer. Diese Zahl verwundert jedoch auf den zweiten Blick nicht weiter, wenn man bedenkt, dass für jede Schulform in jedem Bundesland ein eigener Lehrplan entwickelt wird. Die Tatsache, dass 114 verschiedene Lehrpläne in der 9. Jahrgangsstufe existieren, lässt vermuten, dass es „die“ mathematische Schülerleistung nicht gibt: Was als mathematische Schülerleistung in Schulform X in Bundesland Y verstanden wird, könnte etwas völlig anderes sein, als in Schulform X in Bundesland Z.

Doch ist das wirklich so? Eine Lehrplananalyse von Kunter (2005, Abb. 1.1) zeigte, dass mathematisches Verständnis und mathematische Problemlösefähigkeit in Deutschland länder- und schulformübergreifend als Ziele in den Lehrplänen und Rahmenrichtlinien der 8. Jahrgangsstufe genannt werden. Generell stehen neben diesen kognitiv anspruchsvollen Tätigkeiten in den deutschen Lehrplänen auch Ziele, wie das Üben und Vertiefen der (Grund-)Rechenkenntnisse und das Üben und Sichern mathematischer Verfahren (Kunter, 2005). Ein weiteres gemeinsames zentrales Merkmal ist, dass diese operativen Fähigkeiten im Rahmen eines Lehrplans unterrichtet werden, der sich sehr stark an den mathematischen Stoffgebieten ausrichtet (Neubrand u.a., 2001). Die mathematischen Stoffgebiete können auf einer ersten Beschreibungsebene in die Domänen Arithmetik, Algebra, Geometrie und Stochastik eingeteilt werden (Jordan u.a., 2006). Die Vermittlung von mathematischem Verständnis und Problemlösefähigkeiten sowie mathematischer Verfahren in einem nach Stoffgebieten gegliederten Lehrplan scheint also ein allgemeines Beschreibungsmerkmal deutscher Mathematikcurricula zu sein.

Wie internationale Curriculumvergleiche im Rahmen der SIMS- und TIMS-Studien zeigen, ist diese Beschreibung von Mathematiklehrplänen keineswegs auf Deutschland beschränkt: Auswahl und Sequenzierung von Stoffen von der Grundschule bis zur Sekundarstufe I sind staatenübergreifend in hohem Maße universell standardisiert (Baumert, 2001; Baumert, Köller, Lehrke & Brockmann, 2000; Bos & Postlethwaite, 2001; Schmidt, McKnight, Valverde, Houang & Wiley, 1996). Die Vermittlung von mathematischem Verständnis und Problemlösefähigkeiten scheint (in westlichen Industrienationen) dabei eines der primären Anliegen des Mathematikunterrichts zu sein (Hiebert & Carpenter, 1992; Schoenfeld, 1992). Zudem erfolgt die Gliederung der Lerninhalte auch in anderen Nationen entlang mathematischer Stoffgebiete (z.B. National Council of Teachers of Mathematics, 2000).

Zusammenfassend kann man festhalten, dass aus didaktischer Perspektive mathematisches Verständnis und Problemlösefähigkeiten bundesländer- und nationenübergreifend weitestgehend übereinstimmend zur mathematischen Schülerleistung gezählt werden. Verständnis und Problemlösefähigkeiten basieren dabei auf Wissensinhalten, die im Rahmen eines nach mathematischen Stoffgebieten gegliederten Curriculums gelernt werden.

In den didaktischen Arbeiten zu mathematischer Schülerleistung werden häufig die Begriffe Fähigkeit und Wissen gebraucht. Diese Begriffe nehmen auch eine zentrale Stellung im Rahmen psychologischer Forschung ein. Der nächste Abschnitt hat daher das Ziel, Arbeitsdefinitionen dieser Begriffe aus einer psychologischen Perspektive zu geben.

Was versteht man unter Fähigkeit, Wissen und Lernen?

Eine differenzierte Auseinandersetzung mit dem Fähigkeitsbegriff findet sich in der Zusammenfassung zweier Symposien von Du Bois (1969) und Green (1974). Der Begriff „Wissen“ wird in den Arbeiten von Dochy und Alexander (1995) sowie von Süß (1996) und der Begriff „Lernen“ in der Arbeit von Greeno, Collins und Resnick (1996) ausführlich erörtert.

Kognitive Fähigkeiten beziehen sich nach Carroll auf Aufgaben, für deren Lösung (mentale) Informationsverarbeitungsprozesse erfolgreich ausgeführt werden müssen. Zentrale Merkmale kognitiver Fähigkeiten sind die zeitliche Stabilität, der Grad der Generalität und der Grad der Universalität (Jäger, Süß & Beauducel, 1997): Zeitliche Stabilität bezieht sich darauf, inwiefern sich die Fähigkeit nicht über die Zeit verändert. Generalität ist ein Maß dafür, wie unterschiedlich die Aufgabenanforderungen sein können, für die eine Fähigkeit das Potenzial für eine erfolgreiche Bearbeitung hat. Universalität betrifft, ob eine Fähigkeit für alle Personen oder nur eine Teilmenge von Personen zur erfolgreichen Bearbeitung beiträgt.

Die wohl bekannteste Differenzierung von Wissen ist die Unterscheidung von prozeduralem Wissen und deklarativem Wissen (z.B. Anderson, 2001). Prozedurales Wissen ist das Wissen über die Art und Weise, wie man kognitive Aktivitäten und Operationen (z.B. Addieren, Multiplizieren, Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks mit dem Thaleskreis) tatsächlich ausführt. Deklaratives Wissen umfasst das Wissen von Fakten und Dingen (Anderson, 2001): Im Fach Mathematik wäre das zum Beispiel das Wissen, wie der Satz von Pythagoras (a² + b² = c²) formuliert ist. Darüber hinaus hat sich in der pädagogischen Psychologie inzwischen der Begriff des konzeptuellen Wissens etabliert (Rittle-Johnson & Alibali, 1999; Rittle-Johnson, Siegler & Alibali, 2001): Konze p tuelles Wissen zeichnet sich durch eine große Anzahl an Wissenselementen, die reiche Vernetzung der Wissenselemente und Verständnis dafür aus, weshalb die Wissenselemente miteinander verbunden sind. Konzeptuelles Wissen ist flexibel nutzbar, wohlorganisiert, generalisier- und transferierbar. Ein Beispiel hierfür wäre das Wissen darüber, dass der Satz von Pythagoras mit dem Thaleskreis zusammenhängt und warum das so ist.

Lernen kann als aktiver Konstruktionsprozess angesehen werden, bei dem Wissensstrukturen verändert, erweitert, vernetzt, hierarchisch geordnet oder neu generiert werden. Entscheidend für den Lernerfolg ist, dass der Lernende die Lerninhalte aktiv mental verarbeitet. Hierbei sprechen Greeno, Collins und Resnick (1996) von „conceptual learning“, Weinert (1996) sowie Baumert und Kollegen (Baumert & Köller, 2000; Baumert u.a., 2004) verwenden den Begriff „verständnisvolles Lernen“. Lernen von Mathematik bedeutet also, dass Schüler prozedurales und deklaratives mathematisches Wissen erwerben und dieses Wissen (idealerweise) in einer geordneten Struktur vernetzen (vgl. konzeptuelles Wissen).

Wie kann man das Verhältnis von Wissen, Fähigkeit und Lernen beschreiben? Forscher aus der Kognitions- und Lernpsychologie betrachten den prozeduralen Aspekt des Wissens weitestgehend synonym zum Begriff Fähigkeit: So sprechen Greeno, Smith und Moore (1993, S. 99) von „knowing“ als „ability to interact with things and other people in various ways“. In einer anderen vielzitierten Arbeit sehen Greeno, Collins und Resnick (1996) Wissen (im Sinne der Verfügbarkeit von Strukturen und Prozessen zur Informationsverarbeitung im Rahmen einer kognitivorientierten Lernforschung) als Grundlage dafür an, dass generelle Fähigkeiten wie Schlussfolgern, Problemlösen oder sprachliches Verständnis gezeigt werden können. Umgekehrt geht auch Carroll (1993, S. 510), als ein Vertreter des Fähigkeitskonzepts, davon aus, dass interindividuelle Unterschiede in Denkleistungen und beim Problemlösen (zumindest teilweise) abhängig sind von interindividuellen Unterschieden in der Verfügbarkeit und der Anwendung einer deklarativen und prozeduralen Wissensbasis der jeweiligen Inhaltsdomäne. Folgt man dem Argument einer synonymen Verwendung der Begriffe prozedurales Wissen und Fähigkeit, dann ermöglicht das Lernen von prozeduralem Wissen das Lernen von Fähigkeiten: „learning is improvement in that ability [to interact with things and other people in a situation]” (Greeno u.a., 1993, S. 100). Auf Mathematik übertragen führt also Lernen zu einer Verbesserung der mathematischen Fähigkeit(en).

Mit Blick auf das Thema dieser Arbeit stellt sich nun die Frage, welche mathematischen Fähigkeiten und welches mathematische Wissen Schüler in der Schule lernen?

Zur Beschreibung, welches mathematische Wissen und welche mathematischen Fähigkeiten in der Schule erworben werden, ist die Unterscheidung von Geary (1995, 1996, 2000) hilfreich: Geary unterscheidet (biologisch) primäre mathematische Fähigkeiten, die vornehmlich genetisch prädisponiert sind, und (biologisch) sekundäre mathematische Fähigkeiten, die in der Schule vermittelt und gelernt werden. Zur Beschreibung der Entwicklung mathematischer Schülerleistung können so im Wesentlichen zwei Zeitabschnitte unterschieden werden: vorschulische Entwicklung und die Entwicklung in der Grundschule und Sekundarschule.

Vorschulische Entwicklung. Zu den primären mathematischen Fähigkeiten (siehe auch Resnick, 1989) zählt Geary die Fähigkeit zur genauen Abschätzung von kleinen Mengen, ohne die Elemente zählen zu müssen ( numerosity). Diese Fähigkeit ist Babys wohl angeboren, da sie bereits in der ersten Lebenswoche zwischen „Mengen“ mit einem oder mehreren (bis zu vier) Elementen unterscheiden können. Bereits im Alter von fünf Monaten sind einige Kleinkinder sensitiv für Mengenzuwachs (Addition) und Mengenabnahme (Subtraktion) bei kleinen Mengen (mit bis zu drei oder vier Elementen). Geary bezeichnet dies als die primäre Fähigkeit zu simple arithmetic. Im Alter von ungefähr 18 Monaten können Kleinkinder ordinale Beziehungen ( ordinality ) verstehen, das heißt, sie haben Verständnis für Größer-kleiner-Relationen (für Quantitäten mit bis zu fünf Elementen) entwickelt. In diesem Alter sind Kinder auch in der Lage, drei bis vier Objekte zu zählen ( cou n ting ), ohne dass sie sprechen können müssen.

Die primären mathematischen Fähigkeiten tragen im weiteren Entwicklungsverlauf zum Erwerb komplexerer Fertigkeiten im Bereich des Zählens, der Arithmetik und für den Aufbau des Zahlenverständnisses im Vorschulalter bei, sofern die Kinder die notwendigen Lernerfahrungen machen können. Wichtig ist hierbei, dass das zunächst sprachfreie Zahlensystem in die sich entwickelnde Sprachkompetenz integriert wird. Bereits vor Schuleintritt verfügen nach Geary (2000) Kinder über ein gutes Verständnis für das Zählen, für Ordinalität und für Kardinalität (das ist das Wissen, dass die letzte Zahl beim Abzählen von Objekten der Anzahl an Objekten in einer Menge entspricht).

Geary geht davon aus, dass die primären mathematischen Fähigkeiten biologisch-genetisch prädisponiert sind, auf hoch spezialisierten neurokognitiven Systemen (vgl. Gelman, 1990) basieren und das Ergebnis universeller, kulturübergreifender, evolutionärer Prozesse sind. Durch die Verarbeitung von quantitativen Informationen entwickeln sich die primären mathematischen Fähigkeiten. Viele dieser Informationsverarbeitungsprozesse sind spielerisch oder „passieren“ beim Spielen, machen Freude und motivieren die Kinder somit zur weiteren „Informationsverarbeitung“ (Geary, 1995).

Entwicklung in der Grundschule und in der Sekundarstufe. Die bis zum Schuleintritt entwickelten primären mathematischen Fähigkeiten können das Erlernen der sekundären mathematischen Fähigkeiten (hierzu gehören z.B. das Lösen von Problemen aus der Arithmetik, der Algebra oder der Geometrie) unterstützen (Geary, 1996). Zwei wesentliche Merkmale unterscheiden jedoch primäre von sekundären mathematischen Fähigkeiten (Geary, 1995). Einerseits vollzieht sich der Erwerb primärer mathematischer Fähigkeiten im Spiel und macht Spaß, wohingehend der Erwerb sekundärer mathematischer Fähigkeiten meist mit Anstrengung verbunden ist. Andererseits werden sekundäre mathematische Fähigkeiten (nahezu ausschließlich) durch schulische Lehr-Lern-Prozesse erworben, während die Entwicklung der primären mathematischen Fähigkeiten biologisch determiniert ist und kulturübergreifend gleichförmig verläuft (siehe auch Geary, 2000; Köller & Baumert, 2002).

Interessant ist die Frage, wie man diese in der Schule erworbenen sekundären mathematischen Fähigkeiten beschreiben kann (vgl. Mayer, 2004). Mit dieser Frage beschäftigt sich der nächste Abschnitt.

Zur Beschreibung sekundärer mathematischer Fähigkeiten kann das Modell mathematischen Problemlösens von Mayer (1985, 1992, 1994; Mayer & Hegarty, 1996) herangezogen werden. Für das erfolgreiche Lösen eines mathematischen Problems sind nach Mayer einerseits verschiedene Wissensarten und andererseits mehrere kognitive Informationsverarbeitungsprozesse notwendig. Die problemorientierte Anwendung der Wissensarten sowie die (erfolgreiche Ausführung der) Informationsverarbeitungsprozesse konstituieren die sekundären mathematischen Fähigkeiten sensu Geary.

Zu den Wissensarten gehört nach Mayer linguistisches Wissen, semantisches Wissen (das ist Alltagswissen), schematisches Wissen (als Wissen über mathematische Problemtypen, z.B. Flächenprobleme, siehe auch Mayer (1981), zu einer Abschätzung der Anzahl von Problemtypen), strat e gisches Wissen (als Techniken, die zum Planen und Überwachen des Lösungsprozesses eingesetzt werden, z.B. das Setzen von Zwischenzielen) und prozedurales Wissen (zum Ausführen mathematischer Operationen).

Für das Lösen eines mathematischen Problems sind zwei kognitive Prozesse zentral: Problemrepräsentation und Problemlösung (Abb. 1).

Abbildung 1: Prozessschritte beim mathematischen Problemlösen (nach Mayer, 1992)

Zur Problemrepräsentation muss man den Problemtext und gegebenenfalls vorhandene Abbildungen und Grafiken in eine mentale Repräsentation übersetzen. Der Aufbau der Problemrepräsentation vollzieht sich in zwei Teilschritten: Bei der Problemübersetzung konstruiert man mittels linguistischen und semantischen Wissens eine mentale Repräsentation. Bei der Problemintegra tion werden relevante Informationen aus der mentalen Repräsentation entnommen und mithilfe des schematischen Mathematikwissens und gegebenenfalls notwendiger zusätzlicher Schlussfolgerungen zu einer kohärenten mentalen Struktur organisiert. Bei der Problemlösung kommt man ausgehend von der Problemrepräsentation zur endgültigen Antwort. Zur Problemlösung sind zwei (zum Teil gleichzeitig ablaufende) Teilprozesse mit jeweils unterschiedlichen Wissensanforderungen notwendig. Beim Planen der Lösungund Überwachen der Planausführunggreift man auf das strategische Wissen zurück und wendet dieses auf das konkrete Problem an: Es werden Problemlöseprozeduren ausgewählt und zusammengesetzt sowie mentale Ressourcen zugewiesen. Weiterhin wird die eigene Problemlösetätigkeit überwacht und bewertet (siehe auch Mayer & Wittrock, 1996). Bei der Ausführung des Plans ist prozedurales Wissen in Form von mathematischen Algorithmen und Lösungsprozeduren notwendig.

Andere Modelle mathematischen Problemlösens unterscheiden sich in Detailfragen, stimmen aber in wesentlichen Bestimmungsstücken mit dem Modell von Mayer überein. So wird auch bei den Modellen von Kintsch und Kollegen (Kintsch, 1994, 1998; Kintsch & Greeno, 1985; Nathan, Kintsch & Young, 1992) die besondere Rolle des Textverstehens und des Aufbaus eines mathematischen Problemmodells auf der Grundlage von schematischem mathematischem Wissen betont. Auch im modifizierten Modell „Mathematischen Modellierens“ von Schupp (1988), das die Autoren des PISA-Mathematiktests favorisieren (Blum u.a., 2004; Klieme, Neubrand & Lüdtke, 2001), wird dem Aufbau eines mathematischen Problemmodells besondere Bedeutung zugemessen. Darüber hinaus wird in diesem Modell wie auch im Modell von Mayer davon ausgegangen, dass die Anwendung von prozeduralem (und/oder konzeptuellem) Mathematikwissen und die Interpretation und Überprüfung der erarbeiteten Ergebnisse (dies korrespondiert mit den Überwachungsfunktionen) zentrale Prozessschritte beim mathematischen Problemlösen sind.

Während die Problemlöseforschung an den kognitiven Informationsverarbeitungsprozessen und dem hierfür notwendigen Wissen interessiert ist, fokussiert auf die Strukturforschung kognitiver Fähigkeiten die Produkte der Informationsverarbeitungsprozesse (vgl. z.B. Li & Schmiedek, 2001): zum Beispiel richtig oder falsch gelöste Mathematikaufgaben. Interindividuelle Unterschiede in der Problemlöseperformanz werden dadurch erklärt, dass sich Personen in einer oder mehreren kognitiven Fähigkeiten unterscheiden. Ein zentrales Kennzeichen dieser Forschung ist die Verwendung exploratorischer und konfirmatorischer Faktorenanalysen zur Ableitung und Prüfung von Strukturmodellen und der Konzeptualisierung kognitiver Fähigkeiten. In den korrespondierenden Modellen werden die kognitiven Fähigkeiten durch Faktoren (bzw. latente Variablen) repräsentiert (Carroll, 1993; Gustafsson & Undheim, 1996; Jensen, 1998).

Mit Blick auf Mathematikaufgaben geht zum Beispiel Carroll (1996) davon aus, dass je nach den Anforderungen einer Aufgabe unter anderem die Fähigkeiten Rechenfertigkeit oder quantitatives Reasoning lösungsrelevant sein können (siehe Tab. 1 für eine Beschreibung dieser Fähigkeiten): Entsprechend dieser Annahme erklären interindividuelle Unterschiede in diesen Fähigkeiten die beobachteten interindividuellen Unterschiede bei einer bestimmten Klasse von Mathematikaufgaben.

Fähigkeit

Beschreibung

Rechenfertigkeit

Fähigkeit im Umgang mit Zahlen. Hierzu gehört das Zählen von Objekten oder Erkennen von Zahlen, wie auch fortgeschrittene arithmetische Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Division, Multiplikation) mit einfachen Zahlen, Bruchzahlen oder Dezimalzahlen. Entscheidend bei diesen in der Regel eher einfachen Aufgaben sind Geschwindigkeit und Genauigkeit.

Quantitatives
Reasoning

Schlussfolgerndes Denken mit Quantitäten oder mathematisch beschreibbaren Beziehungen. Notwendig ist hierfür die Anwendung von Konzepten aus der Algebra, Arithmetik oder Geometrie.

Tabelle 1:Beschreibung kognitiver Fähigkeiten nach Carroll (1993)

Diese Arbeit setzt sich mit mathematischer Schülerleistung aus der Perspektive kognitiver Fähigkeiten auseinander. Entsprechende Theorien werden deshalb ausführlich in Abschnitt 5.2 dargestellt. An dieser Stelle bleibt es zunächst bei der illustrativen Ausführung von Carroll.

In den vorangegangenen Abschnitten sind didaktische Aspekte mathematischer Schülerleistung skizziert, psychologische Begriffe definiert und drei psychologische Zugänge zu mathematischer Schülerleistung dargestellt worden. Nachfolgend werden die wesentlichen Unterschiede zwischen diesen drei Zugängen charakterisiert, um so ihre Tragfähigkeit zur Beantwortung der ersten Forschungsfrage in der vorliegenden Arbeit zu bewerten. Abschließend wird eine Arbeitsdefinition mathematischer Schülerleistung gegeben.

In entwicklungspsychologischen Untersuchungen mathematischer Schülerleistung sind Veränderungen über die Zeit der primäre Untersuchungsgegenstand. Von Interesse sind dabei Veränderungen mathematikspezifischer Informationsverarbeitungsprozesse, Veränderungen des mathematikspezifischen (deklarativen, prozeduralen, konzeptuellen) Wissens und natürlich auch Veränderungen der interindividuellen Unterschiede in der mathematischen Problemlöseleistung.

Im Unterschied hierzu spielen Veränderungen über die Zeit bei der Problemlöseforschung und der Strukturforschung kognitiver Fähigkeiten eine untergeordnete Rolle. Im Rahmen beider Forschungszugänge wird das Verhalten von Personen beim Lösen von Problemen und Aufgaben aus der Mathematik zu einem bestimmten Zeitpunkt untersucht, jedoch aus unterschiedlichen Blickwinkeln: Studien zum mathematischen Problemlösen adressieren mathematikspezifische Informationsverarbeitungsprozesse und Wissensarten (Mayer, 1985). Interindividuelle Unterschiede spielen eine untergeordnete Rolle. Wenn sie untersucht werden, werden sie durch interindividuelle Unterschiede in den postulierten Informationsverarbeitungsprozessen und Wissensarten erklärt (Mayer, 1985).

Im Rahmen der Strukturforschung kognitiver Fähigkeiten (z.B. Carroll, 1993) sind die beobachteten interindividuellen Unterschiede in der mathematischen Problemlöseleistung zentral und werden durch kognitive Fähigkeiten erklärt.

Ein mögliches Problem der Strukturforschung kognitiver Fähigkeiten beschreibt Mayer folgendermaßen:

The psychometric approach (…) defines mathematical ability as “what a math test measures” however, the psychometric definition is circular. It provides an excellent means for measuring mathematical ability, but it fails to provide an independent description of what is being measured. In contrast, the information-processing approach is based on task analysis. Any type of mathematics problem can be broken down into information-processing components (…) that are required for problem solution. (Mayer, 1985, S. 128)

Zwei Aspekte dieses Zitats von Mayer können jedoch kritisch betrachtet werden: Erstens erklären nicht alle postulierten Modelle der Strukturforschung kognitiver Fähigkeiten interindividuelle Unterschiede in der mathematischen Problemlöseleistung nur durch eine mathematische Fähigkeit (siehe hierzu Abschnitt 4.2).

Zweitens ist es notwendig, Informationsverarbeitungsprozesse und Wissensarten reliabel zu operationalisieren, um sie so einer Messung zugänglich zu machen. Nur so können interindividuelle Unterschiede in der mathematischen Problemlöseleistung durch interindividuelle Unterschiede in diesen Informationsverarbeitungsprozessen und Wissensarten erklärt werden. Allerdings steht hier die Problemlöseforschung selbst vor zwei – meiner Meinung nach – nicht gelösten Problemen. Diese werden nachfolgend stellvertretend am Modell von Mayer erörtert.

Es existiert eine Vielzahl von Wissensbegriffen, die mehr oder weniger geordnet und eher weniger aufeinander bezogen sind (für Übersichten siehe z.B. Dochy & Alexander, 1995; Süß, 1996): Gemeinhin werden die Begriffe deklaratives und prozedurales Wissen verwendet. In der pädagogisch-psychologischen Forschung kommt noch der Begriff des konzeptuellen Wissens hinzu (Rittle-Johnson & Alibali, 1999; Rittle-Johnson u.a., 2001). Eine empirisch validierte taxonomische Ordnung der Begriffe – wie sie im Rahmen der Strukturforschung kognitiver Fähigkeiten für eine Vielzahl von Fähigkeiten weitestgehend erreicht ist (Carroll, 1993; Flanagan, McGrew & Ortiz, 2000) – existiert in dieser Form im Bereich der Wissenspsychologie nicht. So differenziert zum Beispiel Mayer (1985) im Rahmen seines Modells mathematikunspezifische Wissensformen (linguistisches Wissen und semantisches Wissen)von mathematikspezifischen Wissensformen (schematisches, strategisches Wissen und prozedurales Wissen). Jedoch ordnet Mayer seine Wissensbegriffe nicht in die Kategorien deklaratives Wissen oder prozedurales Wissen ein.

Unabhängig davon ist es noch eine offene Frage, ob es gelingt, mit interindividuellen Unterschieden in Informationsverarbeitungsprozessen interindivuelle Unterschiede beim mathematischen Problemlösen zu erklären (Geary, 1994). Einerseits deshalb, weil es schwierig ist, Informationsverarbeitungsprozesse isoliert zu erfassen (siehe hierzu Lohman, 1994). Andererseits, weil es bisher noch sehr wenige Studien gibt, die explizit dieses versuchten (Geary, 1994). So ist mir keine Studie von Mayer bekannt, in der er die vier unterschiedenen Informationsverarbeitungsprozesse oder die fünf von ihm unterschiedenen Wissensarten reliabel und eindeutig erfasste und mit interindividuellen Unterschieden der mathematischen Problemlöseleistung in Beziehung setzte. Eine eindeutige Erfassung bedeutet hierbei auch, dass die verwendeten Maße von Maßen aus der Forschung kognitiver Fähigkeiten zu unterscheiden sind (siehe hierzu Abschnitt 4.1 und 10.3.1), denn dies ist der von Mayer formulierte Anspruch.

Mit Blick auf die Erklärung interindividueller Unterschiede der mathematischen Problemlöseleistung sind bisher also die empirischen Befunde hinter den theoretischen Erwartungen von Mayer zurückgeblieben. Der große Wert des Modells von Mayer für die vorliegende Arbeit liegt jedoch darin, dass es als heuristisches Modell gut geeignet ist, mathematisches Problemlösen zu beschreiben.

Zur empirischen Erklärung interindividueller Unterschiede der mathematischen Problemlöseleistung sind aber kognitive Fähigkeiten und Modelle aus der Strukturforschung kognitiver Fähigkeiten besser geeignet: Diese Modelle wurden auf Grundlage interindividueller Leistungsunterschiede bei kognitiven Aufgaben abgeleitet. Ihr Erklärungsabstand zur ersten Forschungsfrage dieser Arbeit ist also wesentlich kürzer als der von Modellen mathematischen Problemlösens. Die empirische Tragfähigkeit der spezifizierten Strukturmodelle zur Konzeptionalisierung der kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung wird in dieser Arbeit im Rahmen von allen drei Forschungsfragen geprüft.

Vor dem Hintergrund der gewählten Forschungsperspektive soll nun abschließend eine Arbeits definition mathematischer Schülerleistung gegeben werden. Unter mathematischer Sch ü lerleistung werden in dieser Arbeit die interindividuellen Unterschiede bei Aufgaben zur Messung mathematischer Schülerleistung verstanden. Die interindividuellen Unterschiede werden durch kognitive Fähigkeiten erklärt, wie sie in Strukturmodellen kognitiver Fähigkeiten konzeptualisiert werden. Da rivalisierende Strukturmodelle unterschiedliche Fähigkeiten zur Erklärung anbieten (vgl. Abschnitt 4.2), werden an dieser Stelle diese kognitiven Fähigkeiten zunächst nicht weiter spezifiziert.