Nachfolgend wird stichpunktartig die geschichtliche Entwicklung von standardisierten Schülerleistungstests in den USA (dem „Mutterland“ standardisierter Tests) und in Deutschland nachgezeichnet. Dabei wird auch auf internationale Vergleichsstudien von Schülerleistungen eingegangen.

Entwicklungen in den USA. In den USA war ein erster Meilenstein in der Entwicklung standardisierter Schülerleistungstests die Einführung schriftlicher Examen an Schulen in Boston im Jahr 1845, die nach einheitlichen Korrekturanweisungen bewertet wurden (siehe z.B. Anastasi, 1968). Testtheoretische Grundlagen waren zu diesem Zeitpunkt allerdings noch nicht weit ausgereift. Erst 49 Jahre später im Jahr 1904 gab Edward L. Thorndike mit Herausgabe seines Buches An Introduction to the Theory of Mental and Social Measurements entscheidende methodische und statistische Impulse. Durch sein weiteres Wirken inspirierte er auch viele andere Forscher bei der Entwicklung standardisierter Tests. So konstruierte im Jahr 1908 Stone, ein Schüler Thorndikes, einen der ersten standardisierten Arithmetiktests (Ingenkamp, 1962), dem bald Tests für andere Fächer folgten (Anastasi, 1968).

Die Testentwicklung wurde in großem Maße durch die so genannte survey-movement motiviert. Ausgehend von Untersuchungen in der Stadt Pittsburgh im Jahr 1907 folgten immer mehr Studien, die Schulen derselben Stadt oder desselben Bundesstaates anhand von Testnormen verglichen, um so die Wirkung der öffentlichen Schularbeit zu untersuchen. Auch den diagnostisch tätigen Psychologen ermöglichten die Normdaten eine objektivierte Beurteilung einer Schülerleistung, denn ohne die Testnormen stand ihnen nur ihr eigener Erfahrungshintergrund zur Leistungseinschätzung zur Verfügung (Cronbach, 1984). Die survey-movement wurde dabei begleitet von der Einrichtung von pädagogischen Forschungsämtern, die ihrerseits die Entwicklung von Schülerleistungstests weiter vorantrieben (Ingenkamp, 1962). Zentrales Merkmal dieser Zeit war nach Cronbach (1984) die Dezentralisierung der Testentwicklung und Testanwendung. Jede Institution (Schulen, Universitäten usw.) entwickelte und administrierte eigene Tests oder konnte frei unter den verfügbaren Tests auswählen.

Jedoch zeichnete sich parallel auch eine langsame Entwicklung hin zu einer Zentralisierung der Testentwicklung und Testadministration ab (Cronbach, 1984). Im Jahr 1899 entstand das College Board (das damals noch College Entrance Examination Board hieß) als ein Zusammenschluss mehrerer Schulen (so genannter Preparatory Schools), die für das College vorbereiten. Das College Board wurde hauptsächlich deshalb gegründet, um auf mangelnde Übereinstimmung hinsichtlich der fachspezifischen Vorbereitung und unterschiedliche Bewertungsstandards zu reagieren. Auf Initiative des College Boards wurden im Jahr 1926 erstmals mathematische und verbale Aufgaben des SAT

SAT stand ehemals für Scholastic Assessment Test und später für Scholastic Aptitude Test. Mittlerweile ist die Abkürzung zum Eigennamen geworden und hat keine Bedeutung mehr (Sternberg, 2003).

Standardisierte, zentral administrierte Schülerleistungstests haben in den USA also eine über 100-jährige Tradition und entscheidende Bedeutung für jeden Einzelnen, aber auch für die gesellschaftliche Entwicklung: Der SAT nimmt jedes Jahr maßgeblichen Einfluss auf die Bildungsbiografie und berufliche Karriere von Tausenden von Schülern, da das SAT-Ergebnis wichtig für die Zulassung zum College ist (Sternberg, 2003). Large-Scale Assessment-Programme, wie das vom US-Kongress initiierte National Assessment of Educational Progress (NAEP, ), informieren seit 1969 jährlich auf Grundlage repräsentativer Stichproben über den Bildungsstand der Schüler in verschiedenen Domänen (Lesen, Schreiben, Mathematik, Naturwissenschaften, Geschichte, Geografie) unterschiedlicher Jahrgangsstufen (4., 8. und 12. Klasse). Ergebnisse in solchen ), informieren seit 1969 jährlich auf Grundlage repräsentativer Stichproben über den Bildungsstand der Schüler in verschiedenen Domänen (Lesen, Schreiben, Mathematik, Naturwissenschaften, Geschichte, Geografie) unterschiedlicher Jahrgangsstufen (4., 8. und 12. Klasse). Ergebnisse in solchen Large-Scale Assessment-Programmen dienen als Grundlage für bildungspolitische Entscheidungen.

Entwicklungen in Deutschland. Im Gegensatz zu den USA wurde standardisierten Schülerleistungstests in Deutschland zu Beginn des 20. Jahrhunderts nur wenig Aufmerksamkeit gewidmet (Ingenkamp, 1962). Zu den ersten deutschsprachigen Autoren, die Schülerleistungstests entwickelten, gehören Hylla und Bobertag (), die zum Beispiel mit ihren Tests T17 und T18 sprachliche und mathematische Schülerleistungen erfassten (), die zum Beispiel mit ihren Tests T17 und T18 sprachliche und mathematische Schülerleistungen erfassten (Ingenkamp, 1962; Süllwold, 1983).

Einen ersten Aufschwung erfuhren Schülerleistungstests ab 1945 mit Ende des Zweiten Weltkriegs. Insbesondere die US-amerikanische Militärregierung unterstützte die Entwicklung und Anwendung von Schülerleistungstests: Es wurden Forschungsgelder bereitgestellt, Kontakte zwischen deutschen Forschungsinstituten und amerikanischen Experten im Rahmen eines „Sachverständigenprogramms“ hergestellt und die „Pädagogisch-psychologische Forschungsstelle Berlin“ errichtet. Daneben entstanden in München das „Testinstitut des Schulreferates der Stadt München“ und das „Deutsche Institut für Internationale Pädagogische Forschung“ (DIPF, ehemals „Hochschule für Internationale Pädagogische Forschung“) in Frankfurt am Main. In dieser Zeit wurden mehrere neue Schülerleistungstests entwickelt, amerikanische Verfahren ins Deutsche adaptiert oder bestehende Tests überarbeitet (z.B. die beiden oben genannten Tests T17 und T18). Mit Abbau der Dienststellen der US-Militärregierung wurden allerdings die Fonds aufgelöst, mit denen die Testentwicklung finanziert wurde. Dies führte zu einer Stagnation der Forschungsbemühungen fast aller Arbeitsgruppen. Ingenkamp zieht daher das Fazit, dass im Jahre 1962 nur noch an der Frankfurter Hochschule gute institutionelle Voraussetzungen für die Entwicklung von standardisierten Schülerleistungstests gegeben waren (Ingenkamp, 1962). Weitere Gründe für diese Stagnation waren methodische Mängel der Tests, aber vor allem die Testskepsis von Lehrern, die Hand in Hand ging mit der fehlenden Vertrautheit von Lehrern im Umgang mit standardisierten Tests (Ingenkamp, 1968).

Gegen Ende der 1960er Jahre war die pädagogische Diagnostik jedoch wieder im Aufwind. Studien, die die Zuverlässigkeit des Lehrerurteils bei Übergangsentscheidungen in Frage stellten, zeigten den Nutzen von Schülerleistungstests für diese diagnostischen Entscheidungen auf. Auch durch die Einführung der Gesamtschule entstand vermehrter Bedarf nach begleitender Evaluation mit standardisierten Testverfahren (Ingenkamp, 1968).

In der ehemaligen Deutschen Demokratischen Republik wurden bereits seit 1965 regelmäßig repräsentative Schülerleistungsmessungen und zahlreiche Einzelstudien mit standardisierten Testverfahren zu vielfältigen Fragen der Unterrichtsforschung durchgeführt (Döbert & Geißler, 2000).

Mittlerweile werden Schülerleistungstests in der pädagogischen Diagnostik verstärkt eingesetzt (z.B. zur Hilfe bei Schullaufbahnentscheidungen oder zur Lernstandsdiagnose), und es existieren mehrere veröffentlichte, standardisierte Testverfahren zur Messung mathematischer Schülerleistung (Süllwold, 1983). In der aktuellen Ausgabe des Standardwerks „Brickenkamp Handbuch psychologischer und pädagogischer Tests“ (Brähler, Holling, Leutner & Petermann, 2002) werden sechs Mehrfächertests und neun genuine Mathematik- und Rechentests aufgelistet.

Allerdings muss man dabei bedenken, dass standardisierte Schülerleistungstests bei we i tem nicht in dem Maße eingesetzt werden, wie das in den USA der Fall ist. So ist zum Beispiel die Notwendigkeit einer Evaluation des deutschen Bildungswesens, die durch die Verwendung standardisierter Schülerleistungstests empirisch fundiert ist, sehr spät erkannt worden (Kahl & Spiewak, 2005). Zu großen Teilen machte erst das als schwach wahrgenommene Abschneiden der deutschen Schüler bei der Third International Mathematics and Science Study (TIMSS, z.B. Baumert, Bos & Lehmann, 2000) und vor allem beim Programme for International Student Asses s ment (PISA, z.B. Baumert, 2001) auf den Zustand des deutschen Bildungswesens aufmerksam. Eine Reaktion darauf war die Einführung von einheitlichen Bildungsstandards in Deutschland, die vom Institut zur Qualitätsen t wicklung im Bildungswesen (IQB) wissenschaftlich begleitet wird (Ahnen, 2004).

Internat i onale Vergleichsstudien von Schülerleistungen. Die ersten Impulse für internationale Schülerleistungsvergleiche wurden in den 1950er Jahren des 20. Jahrhunderts gegeben. Organisationen wie die UNESCO oder die OECD analysierten Merkmale der Bildungssysteme (z.B. Curricula, Lehr-Lern-Methoden) unterschiedlicher Länder und verglichen als Indikator der Produktivität der Bildungssysteme den Anteil verschiedener Bildungsabschlüsse. Jedoch ließen diese Vergleiche nur bedingt Schlüsse über die Produktivität der Systeme zu, da mit gleichen Abschlüssen sehr unterschiedliche Leistungsstände der Schüler verbunden sein konnten. Daher trafen sich im Jahr 1958 mehrere Bildungsforscher, um die Möglichkeiten kulturübergreifender Schülerleistungsvergleiche mit standardisierten Testverfahren zu diskutieren: In der so genannten pilot-study wurde die positive Erfahrung gemacht, dass eine standardisierte Erhebung methodisch und organisatorisch möglich ist und dass die Ergebnisse fruchtbar für die Bildungspolitik sein können (Bos & Postlethwaite, 2001). Im Jahr 1964 wurde die erste internationale Vergleichsstudie, die First International Mathematics Study (FIMS), unter der Leitung der International Ass o ciat i on for the Evaluation of Educational Achievement (IEA) in zwölf Staaten durchgeführt (Baumert, 2001; Bos & Postlethwaite, 2001). Dieser Studie folgten unter Leitung der IEA eine Reihe weiterer internationaler Vergleichsstudien, die Schülerleistungen in den Fächern Mathematik und Naturwissenschaften fokussierten. Zu den Studien, die mathematische Schülerleistungen untersuchten (für eine Übersicht siehe z.B. Stanat & Lüdtke, in Druck), gehören die , gehören die Second International Mathem a tics Study (SIMS, z.B. Robitaille & Garden, 1989), die , die Classroom Environment Study (z.B. Helmke, Schneider & Weinert, 1986) sowie TIMSS (z.B. sowie TIMSS (z.B. Baumert, Bos u.a., 2000; Kunter, 2005) mit ihren Erweiterungen (TIMSS-Video, siehe z.B. mit ihren Erweiterungen (TIMSS-Video, siehe z.B. Klieme, Schümer & Knoll, 2001) und Nachfolgestudien (TIMSS-Repeat im Jahr 1999 und TIMSS 2003).

Parallel und in Konkurrenz zu den Vergleichsstudien der IEA hat die OECD mit PISA ein eigenes Forschungsprogramm initiiert (Baumert, 2001). In dreijährigen Zyklen mit wechselnden Schwerpunkten werden die Bereiche Lesen, Naturwissenschaften und Mathematik untersucht: An der ersten Erhebung im Jahr 2000 (PISA 2000) mit dem Schwerpunkt Lesen nahmen etwa 180.000 Schüler aus 32 Staaten teil (Baumert, Stanat & Demmrich, 2001). An PISA 2003 mit dem Schwerpunkt Mathematik beteiligten sich etwa 250.000 Schüler aus 41 Staaten (Prenzel, Drechsel, Carstensen & Ramm, 2004). Die internationale Vergleichsstudie wurde in Deutschland bei beiden Erhebungszyklen durch einen Bundesländervergleich ergänzt (Baumert, Artelt, Carstensen, Sibberns & Stanat, 2002; Prenzel u.a., 2004).

Ein wichtiger Gesichtspunkt bei der Messung von Schülerleistungen ist die Definition der zu erfassenden Gegenstandsbereiche (Stanat & Lüdtke, in Druck): Hier verläuft eine Trennlinie zwischen grundbildungsorientierten Tests und Tests, die sich an curricularer Validität orientieren.

In den meisten IEA-Studien wird versucht, Testaufgaben zu konstruieren, die ein staatenübergreifendes Kerncurriculum erfassen (transnationale curriculare Validität, Baumert, 2001; Baumert, Köller, Lehrke & Brockmann, 2000; Bos & Postlethwaite, 2001; Schmidt, McKnight, Valverde, Houang & Wiley, 1996): Zentrales Ziel bei der Testkonstruktion ist daher, die Übereinstimmung zwischen dem internationalen Kerncurriculum und den für die Testaufgaben notwendigen Stoff, bzw. den notwendigen kognitiven Anforderungen zu maximieren. Ausgangspunkt hierfür ist die Beobachtung bei internationalen Curriculumvergleichen im Rahmen der SIMS- und TIMS-Studien, dass die Auswahl und Sequenzierung von Stoffen von der Grundschule bis zur Sekundarstufe I in hohem Maße universell standardisiert ist (Baumert, 2001; Bos & Postlethwaite, 2001; Schmidt u.a., 1996).

Ein weiteres Ziel bei der Konstruktion des TIMSS-Tests ist, Gedanken einer Grundbildungskonzeption mit einzubeziehen. Mit dem Begriff Grundbildung werden Basiskompetenzen adressiert, die die Lebensbewältigung im jungen Erwachsenalter, kontinuierliches Weiterlernen in der Lebensspanne und das Lösen von Problemen in authentischen Anwendungssituationen ermöglichen sollen (Baumert u.a., 2001). Der TIMSS-Mathematiktest stellt daher einen „Kompromiss zwischen Anwendungsorientierung und curricularer Anbindung“ dar (vgl. Baumert u.a., 2001, S. 19).

Während bei den IEA-Studien curriculare Validität zumindest teilweise angestrebt wurde und wird, ist die Leitidee bei der Konzeption und Konstruktion von den PISA-Tests ausschließlich die Erfassung der Grundbildung von Schülern in den Bereichen Lesen, Mathematik und Naturwissenschaften. Die Frage, ob die in PISA eingesetzten Testaufgaben transnational curricular valide sind, ist damit sekundär: Die Erfassung der Basiskompetenzen und damit auch die Testkonstruktion folgt normativ einem bildungstheoretischen und didaktischen Konzept (Baumert u.a., 2001).

Allerdings macht es weder konzeptionell noch empirisch Sinn, Tests in disjunkte Kategorien „curricular valide“ oder „grundbildungsorientiert“ einzuteilen. Konzeptionell deshalb, weil natürlich auch Lehrpläne auf Vorstellungen basieren, welches Wissen und welche Fähigkeiten notwendig sind, um Jugendlichen am Ende ihrer Schullaufbahn die Teilhabe am beruflichen und gesellschaftlichen Leben zu ermöglichen (Stanat & Lüdtke, in Druck). Empirisch deshalb, weil einige Studien zeigen, dass es keinen bedeutsamen Unterschied macht, ob mathematische Schülerleistungen auf curricular verankerten Tests basieren oder ob ein Grundbildungskonzept der Testkonstruktion zu Grunde liegt (zusammenfassend z.B. Stanat & Lüdtke, in Druck):

• · Artelt und Kollegen (Artelt, Brunner, Schneider, Prenzel & Neubrand, 2003) reanalysierten die PISA-2000-Daten zum Bundesländervergleich. Hierzu berechneten sie die Testleistung in Lesen, Mathematik und Naturwissenschaften der Schüler nur auf Grundlage der Items, die von Lehrplanexperten des jeweiligen Bundeslandes als curricular valide eingeschätzt wurden. Die auf Bundesländerebene aggregierten Testleistungen verglichen sie mit den ursprünglichen Testleistungen in der PISA-Untersuchung. Weder für Mathematik noch Naturwissenschaften noch Lesen resultierten statistisch signifikante Unterschiede.

• · Die mathematischen Schülerleistungen beim nationalen PISA-Mathematiktest, der stärker am deutschen Mathematikcurriculum orientiert ist, korrelierten mit den Mathematikleistungen beim grundbildungsorientierten internationalen Test (für eine nähere Beschreibung siehe Abschnitt 3.3) mit .91 (Klieme, Neubrand & Lüdtke, 2001). Dieses Ergebnis werten Klieme u.a. als Hinweis darauf, dass internationaler und nationaler Mathematiktest die gleiche Fähigkeitsdimension erfassen.

• · Stanat und Lüdtke berichten, dass sich die auf Staatenebene aggregierten Mittelwerte im internationalen Vergleich von PISA 2000 nicht ändern, wenn nur die jeweils lehrplankonformen Items eines Staates zur Mittelwertberechnung herangezogen werden.

• · Bei einer methodisch ähnlichen Untersuchung mit Daten aus der TIMS-Studie änderten sich die auf Staatenebene aggregierten Leistungsmittelwerte ebenfalls nur marginal (z.B. Mullis u.a., 1998).

Zusammenfassend kann damit festgehalten werden, dass bei der Testkonstruktion mathematische Schülerleistung zwei Konzeptualisierungen existieren: curriculare Validität und die Grundbildung der Schüler. Mehrere Untersuchungen zeigen aber, dass die tatsächlich erzielten mathematischen Schülerleistungen weitestgehend unabhängig von diesem konzeptionellen Aspekt sind. Dies bedeutet, dass eine Einteilung von Tests in disjunkte Kategorien „curricular valide“ oder „grundbildungsorientiert“ empirisch gesehen nicht haltbar ist.

Bei der Diskussion curricularer Validität versus Grundbildung wurde bisher die Frage ausgeklammert, was es konkret bedeutet, wenn mathematische Schülerleistungen aus didaktischer Perspektive spezifiziert werden (vgl. Köller & Baumert, 2002). Wie sieht so ein mathematischer Schülerleistungstest aus? Zur Beantwortung dieser Fragen wird im nächsten Abschnitt beispielhaft der PISA-Mathematiktest vorgestellt.

Der Mathematiktest der Jahre 2000 und 2003 der PISA-Untersuchungen in Deutschland besteht aus einem internationalen Test und einem speziell für Deutschland entwickelten nationalen Test.

Internationaler Test. Mathematische Grundbildung wird im internationalen PISA-Rahmenkonzept definiert als die

(…) Fähigkeit einer Person, die Rolle zu erkennen und zu verstehen, die Mathematik in der Welt spielt, fundierte mathematische Urteile abzugeben und sich auf eine Weise mit der Mathematik zu befassen, die den Anforderungen des gegenwärtigen und künftigen Lebens dieser Person als konstruktivem, engagiertem und reflektierendem Bürger entspricht (Deutsches PISA-Konsortium, 2000, S. 47).

Mit der Wahl des Begriffs mathematische Grundbildung wird betont, dass es nicht so sehr um die Erfassung von mathematischen Kenntnissen und Fähigkeiten geht, wie sie schulische Curricula vermitteln. Mathematische Grundbildung zielt vielmehr auf Fähigkeiten ab, die die funktionale Anwendung von mathematischen Kenntnissen in unterschiedlichen Kontexten sowie Reflexion und Einsicht erfordern. Damit einher geht insbesondere die Fähigkeit, mathematische Probleme zu stellen, zu formulieren und zu lösen.

Insbesondere für mathematische Problemlöseprozesse betrachtet die OECD motivationale und affektive Aspekte der Mathematik, wie mathematisches Selbstkonzept oder Interesse, als wichtige und hilfreiche Voraussetzung. Allerdings gehören diese Aspekte nicht zum festen Bestandteil der Grundbildungsdefinition (Deutsches PISA-Konsortium, 2000).

Diese Konzeption mathematischer Grundbildung geht auf den niederländisch-deutschen Mathematikdidaktiker Hans Freudenthal zurück (Blum u.a., 2004; Klieme, Neubrand u.a., 2001): Freudenthal (1977) betont, dass mathematische Begriffe und Strukturen entstanden sind, um als Werkzeuge Ordnung in die Welt realer Phänomene zu bringen. Der Begriff „Welt“ umfasst die natürliche, technische, soziale und kulturelle Umwelt, aber auch die Welt der Mathematik selbst (Blum u.a., 2004).

Mathematische Grundbildung und darauf abzielende Testaufgaben werden anhand von zwei Hauptaspekten beschrieben (Blum u.a., 2004; Deutsches PISA-Konsortium, 2000). Der erste zentrale Aspekt sind allgemeine mathematische Leitideen, die die phänomenologischen Wurzeln der Mathematik abbilden (Blum u.a., 2004). Zu den Leitideen gehören Quantität, Veränderung und Beziehungen, Raum und Form und Unsicherheit. Diese vier Leitideen sind nicht identisch mit den mathematischen Stoffgebieten (Arithmetik, Algebra, Geometrie und Stochastik), aber damit verwandt. Als zweiter Aspekt betreffen m athematische Kompetenzen die Fähigkeiten, die in der Grundbildungskonzeption angesprochen werden. Hierzu zählen die Fähigkeiten, mit mathematischen Begriffen zu denken und zu argumentieren, mathematisches Modellieren, Probleme zu stellen und zu lösen, die Nutzung mathematischer Darstellungen und Hilfsmittel und die Kommunikation mathematischer Sachverhalte.

Bei der Operationalisierung der für den internationalen Vergleich eingesetzten PISA-Mathematikitems werden die einzelnen mathematischen Kompetenzen nicht getrennt erfasst, sondern sie sind im Verbund lösungsrelevant. Es können jedoch drei Kompetenzcluster gebildet werden, die sich danach unterscheiden, auf welchem Anspruchsniveau die jeweiligen Kompetenzen benötigt werden (Blum u.a., 2004). Aufgaben des Kompetenzclusters 1 (Reproduktion) fokussieren auf die Wiedergabe von Definitionen oder Faktenwissen und technische Fertigkeiten wie Berechnungen, die Anwendung von Standardalgorithmen oder Formeln. Kompetenzen werden hierbei auf niedrigem Niveau benötigt; es handelt sich um mathematische Standardtätigkeiten. Zur Lösung von Aufgaben der Kompetenzklasse 2 (Verbi n dungen) müssen Aufgabenelemente zueinander in Beziehung gesetzt und Informationen verknüpft werden. Einige Kompetenzen werden auf mittlerem Niveau lösungsrelevant. Aufgaben der Kompetenzklasse 3 (Reflexion) erfordern teilweise (hoch) anspruchsvolle komplexe Tätigkeiten, Verallgemeinerungen und Reflexion.

Nationaler Test. Mathematische Leitideen und Kompetenzen sind die dominierenden Beschreibungsmerkmale für die Mathematikaufgaben, die im internationalen Test eingesetzt wurden. Bei den meisten Aufgaben des internationalen Testteils stehen außermathematische Anwendungssituationen im Vordergrund. Insbesondere Letztere werden im deutschen Mathematikunterricht eher nicht fokussiert. Deshalb wurden bei PISA 2000 und PISA 2003 Spezifika des deutschen Mathematikunterrichts wie dessen curriculare Struktur und vor allem die Betonung von kalkülorientierten Aufgaben im nationalen Testteil berücksichtigt, um ein umfassenderes Bild über den Leistungsstand der deutschen Schüler zu gewinnen (Neubrand u.a., 2001).

Von zentraler Bedeutung für den Aufbau und die Beschreibung des nationalen PISA-Mathematiktests ist die Unterscheidung von drei Aufgabenarten (Arten mathematischen Arbe i tens), wie sie die deutsche PISA-Expertengruppe Mathematik eingeführt hat (Neubrand u.a., 2001). Technische Aufgaben (Abb. 2) erfordern Fertigkeiten und sind daher so konzipiert, dass die Ansätze vorgegeben sind und dass sie mittels bekannter Prozeduren (z.B. Rechnen oder geometrisches Konstruieren) bearbeitet werden können. Die Schwierigkeit technischer Aufgaben kann dabei variieren, da diese ein Spektrum algebraischer Verfahren bis hin zum Auflösen eines Gleichungssystems abdecken (Blum u.a., 2004; Klieme, Neubrand u.a., 2001).

Abbildung 2: Beispiel für eine technische Aufgabe

Von technischen Aufgaben deutlich abzugrenzen sind rechnerische und begriffliche Modellierungsaufgaben. Rechnerische Modellierungsaufgaben (Abb. 3) sind Aufgaben, bei denen eine Mathematisierung notwendig ist. Hierzu müssen mathematische Lösungsansätze erstellt werden, die rechnerisch-prozedural aufzulösen sind. Beispiele hierfür sind Textaufgaben, deren Spektrum von eingekleideten Aufgaben bis zu komplexen Anwendungsproblemen reichen kann.

Begriffliche Modellierungsaufgaben (Abb. 4) benötigen für die Lösung das Herstellen von Zusammenhängen zwischen mathematischen Konzepten. Beim Verarbeitungsprozess dominieren qualitatives Denken und Schlussfolgern und nicht das Abarbeiten von Prozeduren (Klieme, Neubrand u.a., 2001, S. 146).

Abbildung 3: Beispiel für eine rechnerische Modellierungsaufgabe

Abbildung 4: Beispiel für eine begriffliche Modellierungsaufgabe

Zur curricularen Strukturierung können die Mathematikaufgaben des nationalen und internationalen Testteils den Stoffgebieten der Sekundarstufe I zugewiesen werden. Im Einzelnen sind das Arithmetik, Algebra, Geometrie und Stochastik (Blum u.a., 2004; Jordan u.a., 2006; Klieme, Neubrand u.a., 2001).

Alle Aufgaben lassen sich zusätzlich auch nach der zur Lösung erforderlichen curricularen Wissen s stufe beschreiben. Unter Grundkenntnissen verstehen Neubrand, Klieme und Lüdtke (2002) Grundrechenarten, einfachste geometrische Grundkenntnisse, die bereits in der Grundschule vermittelt werden oder aus dem Alltag bekannt sind. Einfaches Wissen der Sekunda r stufe I umfasstBegriffe der Sekundarstufe I (z.B. der Bruchzahlbegriff), die in jeder Schulform zum Basiscurriculum gehören. Zum anspruchsvollen Wissen der Sekundarstufe I zählen fortgeschrittene Verfahren und Begriffe (im PISA-Mathematiktest waren das z.B. quadratische Gleichungen in der Algebra).

Zusammenfassend kann festgehalten werden, dass die internationale Rahmenkonzeption des PISA-Mathematiktests auf Fähigkeiten fokussiert, die die funktionale Anwendung von mathematischen Kenntnissen in unterschiedlichen Kontexten sowie Reflexion und Einsicht erfordern. Auch das nationale PISA-Mathematikrahmenkonzept zielt (mit Ausnahme der technischen Aufgaben) auf Problemlösefähigkeiten ab. Schwerpunkt des nationalen und internationalen PISA-Mathematiktests ist also nicht die Erfassung von im Curriculum vermittelten mathematischen Kenntnissen und Fähigkeiten, sondern die funktionale Anwendung (deklarativen und prozeduralen) Mathematikwissens zum Problemlösen.