Im Zentrum dieser Arbeit steht ein Forschungsansatz im Sinne des coordinate measur e ment (Messick, 1984) von Maßen kognitiver Fähigkeiten und Maßen mathematischer Schülerleistung. Im Rahmen dieses integrativen Ansatzes werden drei Forschungsfragen untersucht, vor deren Hintergrund nachfolgend die Theorien und Befunde der vorangegangenen Kapitel nochmals knapp zusammengefasst werden. Konkrete Hypothesen werden in den Kapiteln zu den Forschungsfragen des empirischen Teils abgeleitet und soweit es möglich ist durch die Referenz empirischer Befunde gestützt.

Forschungsfrage 1: Struktur mathematischer Schülerleistung. Eine Interpretation des coo r dinate measurement ist, Maße mathematischer Schülerleistung und kognitive Fähigkeiten in einem gemeinsamen Strukturmodell zu analysieren. Mögliche Strukturmodelle wurden im Rahmen von Abschnitt 4.2 erörtert. Ein zentrales Merkmal dieser Modelle ist der hierarchische Aufbau der Fähigkeitskonstrukte, von dem alle moderneren Strukturmodelle ausgehen. Dies impliziert, dass eine globalere mathematische Fähigkeit spezifischeren mathematischen Fähigkeiten hierarchisch übergeordnet ist.

Aber einige Fragen zur Struktur sind offen, wie die diskutierten Unterschiede zwischen den Modellen zeigten (siehe auch Tab. 2). Im Einzelnen sind das die Annahme einer allgemeinen kognitiven Fähigkeit (Gf-Gc-Theorie vs. Vernon, Carroll, BIS-Modell), die Annahme multipler Bedingtheit der Aufgaben (Gf-Gc-Theorie vs. Vernon, Carroll, BIS-Modell) und die Konzeption mathematischer Fähigkeit (operativ vs. inhaltlich).

Eine genaue Explikation dieser drei Unterschiede erfolgt in den Abschnitt 7.1 und 7.2. Dabei wird die zugehörige empirische Befundlage dargestellt, und es werden Hypothesen abgeleitet, die in Form von Strukturmodellen geprüft werden.

Die Ergebnisse dieser Modellprüfungen fokussieren auf das erste Hauptziel der Arbeit: eine Anbindung mathematischer Schülerleistung an differenzialpsychologische kognitive Fähigkeitskonstrukte (vgl. Köller & Baumert, 2002). Mit dieser Anbindung werden die Quellen interindividueller Unterschiede mathematischer Schülerleistung in Termini psychologischer Fähigkeitskonstrukte spezifiziert. Die nächsten beiden Forschungsfragen setzen an diesem Punkt an und untersuchen Schulformunterschiede und die externe Validität der kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung.

Forschungsfrage 2: Schulformunterschiede. Die zweite Forschungsfrage kann in zwei Teilaspekte untergliedert werden. Der erste Teilaspekt konzentriert sich auf Schulformunterschiede hinsichtlich des Niveaus der kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung. Zur Beantwortung der Frage nach Niveauunterschieden sind vor allem zwei Überlegungen relevant:

• · Der gegliederte Aufbau des deutschen Schulsystems strebt eine Leistungsdifferenzierung der Schülerschaft zwischen den Schulformen an. Personen mit höherem Niveau kognitiver Fähigkeiten besuchen in der Regel auch höhere Schulformen. So sprechen beispielsweise Baumert, Trautwein und Artelt (2003, S. 283) von allgemeiner kognitiver Fähigkeit (sie bezeichnen diese als kognitive Grundfähigkeiten) als zentrales Merkmal der „Übergangsauslese“: Das Niveau allgemeiner kognitiver Fähigkeit bestimmt somit den Übergang in höhere Schulformen maßgeblich mit.

• · In höheren Schulformen sind tendenziell lernförderliche Aspekte des Mathematikunterrichts (z.B. „Störungsprävention“ und „kognitive Herausforderung“) auf höherem Niveau ausgeprägt (Abschnitt 5.4).

Nimmt man diese beiden Befunde zusammen, dann sind für Schüler unterschiedlicher Schulformen Niveauunterschiede der kognitiven Fähigkeiten zu erwarten, die mathematischer Schülerleistung zu Grunde liegen. Die Frage nach Niveauunterschieden zwischen den Schulformen ist natürlich nicht neu (Blum u.a., 2004; Klieme, Neubrand & Lüdtke, 2001; Köller & Baumert, 2002; Kunter, 2005). Dennoch ist sie interessant, weil in bisherigen Studien zu schulformspezifischen Niveauunterschieden zwei zentrale Aspekte nicht beachtet wurden:

• · erstens die Berücksichtigung rivalisierender Strukturmodelle der kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung (vgl. Abschnitt 4.2 und Forschungsfrage 1),

• · zweitens die Prüfung der zentralen Voraussetzung, ob die verwendeten Modelle überhaupt geeignet sind, schulformübergreifend die Struktur mathematischer Schülerleistung zu beschreiben.

Die Teilstudie zu schulformspezifischen Niveauunterschieden wird versuchen, diese beiden Forschungslücken zu schließen.

Der zweite Teilaspekt der zweiten Forschungsfragefokussiert auf die Heterogenität der kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung. Hierzu sind drei Befunde und Überlegungen zur Differenzierung kognitiver Fähigkeiten relevant:

• · Unterschiede in der Lernumwelt „Mathematikunterricht“ können zur Differenzierung kognitiver Fähigkeiten führen (vgl. Abschnitt 4.3.1). Hierbei sind insbesondere schulformspezifische Unterschiede des Mathematikunterrichts relevant (vgl. Abschnitt 5.4).

• · Personen mit höherem Niveau allgemeiner kognitiver Fähigkeit weisen eine differenziertere Struktur kognitiver Fähigkeiten auf als Personen mit niedrigerem Fähigkeitsniveau (Abschnitt 4.3.2). So legen die Ergebnisse der meisten referierten Studien nahe, dass mathematische Fähigkeiten mit zunehmender allgemeiner kognitiver Fähigkeit differenzieren.

• · Abad, Colom, Juan-Espinosa und Garcia (2003) erklären die Differenzierung mit zunehmendem Niveau allgemeiner kognitiver Fähigkeit (unter anderem) dadurch, dass Personen mit höherem Fähigkeitsniveau Zugang zu besseren Bildungsmöglichkeiten (z.B. höheren Schulformen) haben und somit sensu Jensen (1998) bessere Investitionsmöglichkeiten für ihre allgemeine kognitive Fähigkeit vorfinden.

Vor dem Hintergrund dieser Befunde und Überlegungen ist es interessant zu fragen, ob die Differenzierung der kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung von der Schulform abhängig ist. Diese Hypothese wurde in früheren Studien zur Differenzierung kognitiver Fähigkeiten bisher noch nicht geprüft.

Zusammenfassend kann festgehalten werden, dass die Analysen zu schulformspezifischen Unterschieden im Niveau und in der Heterogenität der kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung dabei helfen, einen sehr detaillierten und methodisch fundierten Einblick in Schulformunterschiede zu erhalten.

Forschungsfrage 3: Validität. Zusätzlich zu Schulformunterschieden ist es wichtig, den Zusammenhang zwischen den kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung und mehreren Außenkriterien zu untersuchen, um diese Fähigkeiten inhaltlich weiter zu unterfüttern. Die entsprechenden Analysen werden im Rahmen der dritten Forschungsfrage durchgeführt. Die vorliegende Arbeit ist natürlich nicht die erste, die Fragen zur (externen) Validität mathematischer Schülerleistung untersucht. Zum Beispiel ist es ein vielfach replizierter Befund, dass mathematische Schülerleistung und mathematikspezifische Lernmotivation (z.B. mathematisches Selbstkonzept oder mathematisches Interesse) positiv kovariieren (Abschnitt 5.2.2).

Allerdings muss man bei diesen Befunden beachten, dass bei nahezu allen Analysen alternative Konzeptualisierungen kognitiver Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung nicht in Betracht gezogen wurden (für einige Ausnahmen siehe Gustafsson & Snow, 1997). Dies erstaunt, da – wie bei der ersten Forschungsfrage erläutert wurde – einige Fragen zur strukturellen Repräsentation dieser Fähigkeiten offen sind.

In den bisherigen Analysen wurde ein Standardmodell verwendet, das mehr oder weniger explizit auf den Annahmen des Gf-Gc-Modells (Horn & Noll, 1997) aufbaute. In den Validitätsanalysen wurde dann in der Regel ein (manifester, messfehlerbehafteter) globaler Testscore mathematischer Schülerleistung (Gustafsson & Snow, 1997, S. 127) als Maß für eine generelle mathematische Fähigkeit (M, Abb. 13a) mit verschiedenen (meist ebenfalls messfehlerbehafteten) Schülermerkmalen interkorreliert (Reeve, 2004, S. 624–625).

Dieses methodische Vorgehen kann aber problematisch sein, wie Reeve deutlich macht:

By ignoring the fact that most test subscales confound sources of variance due to multiple specific and general abilities, many prior studies have failed to obtain reliable and construct-valid assessments of narrow abilities. Indeed, studies of the validities of narrow abilities often estimate these factors with the variance due to g included. Thus, the correlations with outcomes reflect both the variance due to g as well as the unique variance due to the specific factor (…) The failure to parse the variance in observed tests into meaningful sources, based on a validated model of the structure of abilities, raises questions about the validity of the operationalization of narrow abilities in some of the past research. (Reeve, 2004, S. 625)

Was bedeutet das für den zu erwartenden Zusammenhang von mathematischer Schülerleistung und Schülermerkmalen? Folgt man dem Argument von Reeve (siehe auch Gustafsson & Balke, 1993; Gustafsson & Snow, 1997), dann können sich die Korrelationen mathematischer Schülerleistung mit Außenkriterien in Abhängigkeit des gewählten Strukturmodells mathematischer Schülerleistung unterscheiden. Hierbei ist insbesondere der Vergleich für zwei unterschiedliche Konzeptualisierungen der kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung interessant.

Das erste Modell ist das Standardmodell, in dem eine generelle mathematische Fähigkeit (M) die interindividuellen Unterschiede in den Maßen mathematischer Schülerleistung erklärt. Im Gegensatz hierzu erklären im zweiten Modell (Abb. 13b), einem so genannten Nested-Faktormodell (Gustafsson & Balke, 1993), die allgemeine kognitive Fähigkeit (g) und eine mathematikspezifische Fähigkeit (M´) interindividuelle Unterschiede bei Maßen mathematischer Schülerleistung (vgl. die Annahmen von Vernon, von Carrolls Drei-Stratum-Theorie, und des BIS-Modells von Jäger u.a.). Damit ist es möglich, die korrelativen Beziehungen der allgemeinen kognitiven Fähigkeit und der mathematikspezifischen Fähigkeit (z.B. zu Maßen des familiären Hintergrunds: „SES“ in Abb. 13) getrennt voneinander zu untersuchen. Dies ist insbesondere dann von Interesse, wenn die allgemeine kognitive Fähigkeit andere korrelative Beziehungen zu den Außenkriterien aufweist als die mathematikspezifische Fähigkeit (konkrete Hypothesen hierzu werden in Kap. 9 formuliert). In diesen Fällen ist davon auszugehen, dass sich die Korrelationen mit Außenkriterien zwischen M und M´ unterscheiden. Der Grund hierfür ist, dass in der Varianz der generellen mathematischen Fähigkeit Varianzanteile der allgemeinen kognitiven Fähigkeit und der mathematikspezifischen Fähigkeit gemischt (confounded sensu Reeve, 2004) enthalten sind.

Abbildung 13: Analyse der differenziellen Validität der kognitiven Fähigkeiten mathematischer
Schülerleistung

Die Analysen im Rahmen der dritten Forschungsfrage erlauben es, zwei Ziele zu verfolgen:

• · Durch die Verwendung des Standardmodells wird versucht, die Befunde zur externen Validität mathematischer Schülerleistung aus bisherigen Studien zu replizieren.

• · Bei Konzeptualisierung der kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung in Form des Nested-Faktormodells kann (möglicherweise) ein – im Vergleich zum bisherigen Vorgehen – genaueres Bild der Zusammenhänge zwischen den kognitiven Fähigkeiten mathematischer Schülerleistung und soziodemografischen und motivationalen Schülermerkmalen sowie Schulnoten gezeichnet werden.

In den nachfolgenden Kapiteln werden nun drei Teilstudien vorgestellt, die empirische Antworten auf die drei Forschungsfragen der vorliegenden Arbeit geben.