Suchen wir den Wert von p, finden wir 200 ungefähre Werte, aus denen wir das arithmetische Mittel bestimmen. Und zwar zerlegen wir die vollständige Folge von 20.000 Buchstaben in 200 einzelne Folgen, jede 100 Buchstaben, und zählen, wieviele Vokale in jedem Hundert enthalten sind. Wir erhalten 200 Zahlen, die durch 100 geteilt schließlich 200 ungefähre Werte von p ergeben.

Wenn wir die Anzahl der Vokale bestimmen, möchten wir die Möglichkeit bewahren, andere Verbindungen von 100 Buchstaben zu bilden: Wir schreiben jedes Hundert in aufsteigender Folge in ein Rechteck von zehn Zeilen und zehn Spalten:

Wir zählen nun, wieviele Vokale es in jeder einzelnen Spalte gibt und verbinden die Zahlen in Paaren:

die 1. und 6., 2. und 7., 3. und 8., 4. und 9., 5. und 10.

Für jedes Hundert Buchstaben erhalten wir so fünf Zahlen, die wir durch folgende Symbole bezeichnen

(1,6),(2,7),(3,8),(4,9),(5,10);

und folgende Summe

(1,6) + (2,7) + (3,8) + (4,9) + (5,10)

ist gleich der Anzahl von Vokalen in diesem Hundert.

Wenn wir 500 Buchstaben verbinden, können wir fünf neue Gruppen von je 100 Buchstaben bilden. Die erste aus der ersten und sechsten Spalte, die zweite aus der zweiten und der siebten, usw.

Die Anzahl von Vokalen in diesen neuen Hundertergruppen ergibt sich offensichtlich aus folgenden Summen

die aus den entsprechenden fünf Summanden bestehen.

Die Ergebnisse unserer Zählungen sind in 40 kleinen Tabellen zusammengestellt, von denen jede folgendes enthält: in der ersten Zeile 5 Zahlen (1,6) und ihre Summe – in der zweiten Zeile 5 Zahlen (2,7) und ihre Summe, usw. In der letzten Zeile befindet sich die Anzahl von Vokalen im ersten Hundert, zweiten Hundert, usw. und schließlich die Anzahl von Vokalen in allen 5 Hunderten, um Platz zu sparen verringert um 200.

Wir beschäftigen uns zunächst mit der Zahlengruppe

die sich in der letzten Zeile unserer 40 kleinen Tabellen findet und die Anzahl von Vokalen in aufeinanderfolgenden Hunderten des Textes zeigt, zum Beispiel in:

usw.

Dies ist der Beginn von Puschkins Text.

Indem wir zählen, wie oft jede der Zahlen in dieser Gruppe auftritt, legen wir eine neue Tabelle an

In der ersten Zeile finden sich alle Zahlen, die in der Gruppe vorkommen, und in der zweiten darunter, wie oft sie vorhanden sind.

Mit Hilfe dieser Tabelle ist das arithmetische Mittel leicht zu finden

und daraus folgt, daß

Jetzt berechnen wir die Summe der Quadrate ihrer Abweichnung von 43,2; sie ist gleich

1022,8,

geteilt durch 200 erhalten wir

5,114,

und diese Zahl kann als ungefähre Größe der mathematischen Erwartung des Quadrates der Abweichung jeder unserer 200 Zahlen von ihrer gemeinsamen mathematischen Erwartung gelten, die 43,2 beträgt. Schließlich stellt die Zahl

die ungefähre Größe der mathematischen Erwartung des Fehlerquadrates bei der Bestimmung von 100 p durch die Gleichung

dar.

Eine solche Folgerung ist mit der üblichen Voraussetzung der Methode der kleinsten Quadrate verbunden, nämlich daß wir es mit unabhängigen Größen zu tun haben. Diese Annahme ist in diesem Fall ist nicht weniger begründet als in vielen anderen, weil die Verbindung zwischen den Zahlen aufgrund der Art, in der sie gefunden wurden, ziemlich schwach ist.

Man kann auch eine gewisse Übereinstimmung unserer Ergebnisse mit dem bekannten Gesetz der Fehlerhäufigkeit bemerken, das mit den Namen Gauß und Laplace verbunden ist; zum Beispiel beträgt die Größe, die als wahrscheinlicher Fehler bezeichnet wird, in unserem Fall ungefähr

und dementsprechend liegen zwischen

43,2 - 1,5 = 41,7 und 43,2 + 1,5 = 44,7

103 Zahlen, daß heißt ungefähr die Hälfte [der Gesamtheit]: 31 Mal die Zahl 42, 43 Mal die Zahl 43 und 29 Mal die Zahl 44.

Der Unabhängigkeit der Größen entspricht die Tatsache, daß wir, verbinden wir sie zu zweien, zu vieren oder zu fünft und berechnen wir für diese 100, 50 und 40 Kombinationen die Summen der Quadrate ihrer Abweichungen von

86,4,172,8und 216,

die Zahlen

827,6975,2,1004,

erhalten, die sich nicht sehr von der früher gefundenen Zahl

1022,8.

unterscheiden.

Gehen wir nun von Proben von Hunderten über zu einzelnen, stellen wir fest, daß sich die Zahl

stark von

0,432 x 0,568 = 0,245376

unterscheidet: Der Dispersionskoeffizient (wir weichen hier leicht vom üblichen Wortgebrauch ab, demzufolge wir die Wurzel aus der von uns als Dispersionskoeffizient bezeichneten Zahl gezogen haben sollten) beträgt

d. h. etwa , was sich gut durch die Verbundenheit unserer Proben erklärt.

Zur Klärung dieser Verbundenheit, wenn auch keiner vollständigen, kann uns die Berechnung der zuvor erwähnten Wahrscheinlichkeiten p₁ and p₀ dienen.

Indem wir den ganzen Text von 20.000 Buchstaben untersuchen, zählen wir die Häufigkeit der Folge

Vokal, Vokal;

und erhalten die Zahl 1104, die nach ihrer Teilung durch die Gesamtmenge der Vokale im Text die folgende Näherungsgröße für p₁ ergibt:

In derselben Weise hätten wir einen Näherungswert für q₀ herausfinden können, indem wir die Häufigkeit der Folge

Konsonant, Konsonant

zählen und sie durch 11362 teilen, es gilt dann p₀ = 1 - q₀. Wir können aber die ermüdende direkte Berechnung auch durch folgendes ersetzen. Ziehen wir 1104 von 8638 ab, ergibt sich die Anzahl der Konsonanten

7534,

denen ein Vokal folgt, und, da alle Konsonanten außer dem ersten entweder einem Vokal oder einem Konsonant folgen müssen, wird die Häufigkeit der Folge

Konsonant, Konsonant

durch die Differenz

11361 - 7534 = 3827

bestimmt.

Also erhalten wir unmittelbar folgende Näherungsgröße für p₀

Wir sehen, daß sich die Wahrscheinlichkeit eines Buchstaben, ein Vokal zu sein, abhängig davon, welcher Buchstabe – Vokal oder Konsonant – vor ihm steht, wesentlich verändert. Die Differenz p₁ - p₀, die wir mit dem Buchstaben δ bezeichnen, ist gleich

0,128 - 0,663 = - 0,535.

Wenn wir nun annehmen, daß die Folge von 20.000 Buchstaben eine einfache Kette bildet, dann kann für

δ = - 0,535

entsprechend der Untersuchung eines bemerkenswerten Falls abhängiger Proben die Zahl

als theoretischer Dispersionskoeffizient gelten.

Natürlich stimmt diese Zahl nicht völlig mit der vorher gefundenen

0,208

überein, aber sie ist ihr näher als der Einheit, was dem Fall von unabhängigen Proben entspricht.

Betrachten wir die Folge als komplexe Kette und wenden die Ergebnisse der Untersuchung Über einen Fall von Proben, die in komplexer Kette verbunden sind an, können wir den theoretischen Dispersionskoeffizienten noch besser mit dem experimentellen in Deckung bringen.

Dazu zählen wir die Häufigkeit der Kombinationen

Vokal, Vokal, Vokal

und

Konsonant, Konsonant, Konsonant

in unserer Folge. Meiner Zählung zufolge beträgt die Anzahl der ersten Kombination 115, die der zweiten – 505. Wenn wir diese Zahlen durch die früher gefundenen

1104 und 3827

teilen, erhalten wir die Näherungsgleichungen

Mit dem Ziel, die Ergebnisse des zuvor genannten Artikels auf unseren Fall anzuwenden, nehmen wir an, daß

und aus diesen Zahlen ergibt sich

Dann wenden wir uns dem Ausdruck des Dispersionskoeffizienten zu

der den Bedingungen des Artikels entspricht und dort abgeleitet wurde. Wenn wir hier die von uns gefundenen Werte

p, q, δ, ε, η

einsetzen und das Ergebnis berechnen, erhalten wir

0,195

als Dispersionskoeffizient, der so weit mit der Zahl

0,208,

die allgemeinen Regeln folgend und unabhängig von unseren besonderen Voraussetzungen gefunden wurde, übereinstimmt, daß man kaum nähere Entsprechung fordern kann.

Natürlich können wir nicht behaupten, daß unser Beispiel alle theoretischen Voraussetzungen voll erfüllt, aber auf der anderen Seite können wir kaum bezweifeln, daß die von uns festgestellte Übereinstimmung der Zahlen kein purer Zufall ist, sondern mit einer gewissen Entsprechung der theoretischen Annahmen und den Bedingungen des Beispiels zusammenhängt.

Nun wenden wir uns der anderen Anordnung der 20.000 Buchstaben in Hunderte zu, die wir vorgenommen haben. Wir stellen eine Tabelle der Wiederholungen der einzelnen Zahlen auf, ähnlich der vorigen.

Der arithmetische Durchschnitt dieser neuen 200 Zahlen ist gleich dem vorigen

43,19.

Aber die Summe der Quadrate ihrer Abweichungen von 43,2 ist wesentlich höher als vorher. Sie ist nämlich gleich

5788,8.

Hier ist es notwendig, auf die Voraussetzung der Unabhängigkeit der Größen zu achten, die normalerweise mit der Methode der kleinsten Quadrate verbunden wird (vgl. Kapitel 7 meines Buches Wahrscheinlichkeitsrechnung

Markov, Andrej A.: Wahrscheinlichkeitsrechnung. Petersburg, 1900. Weitere Auflagen 1908, 1913 und 1924. Auf Russisch. Deutsche Übersetzung v. H. Liebmann. Leipzig & Berlin: Teubner, 1912. Kapitel 7 hier S. 201-246. Die benutzte Formel findet sich auf S. 209.