Unsicherheitsbetrachtung

Die ISO/IEC 17025 [53] schreibt vor, Analysenergebnisse mit einer Messunsicherheit anzugeben. Ferner wird durch die Definition einer primären Methode ein vollständiges Unsicherheitsbudget zur Angabe der Messunsicherheit gefordert. Es sollen daher die Unsicherheitsbudgets für die vier in den vorangegangenen Kapiteln beschriebenen quantitativen Anwendungsmöglichkeiten der NMR-Spektroskopie dargestellt werden. Zugrunde gelegt werden dazu die Leitfäden von ISO [11], der sogenannte GUM, und EURACHEM [55].

Allgemeines Verfahren zur Berechnung der Messunsicherheit

Die Messunsicherheit eines Verfahrens oder einer Methode setzt sich aus den Standardunsicherheiten der Eingangsgrößen x₁, x₂, ..., x_n zusammen, die in der kombinierten Standardunsicherheit u_c(y) einer Messgröße in Abhängigkeit von den Eingangsgrößen
y(x₁,x₂, ..., x_n) erfasst und schließlich als erweiterte Messunsicherheit U mit dem betrachteten Grad des Vertrauens p und dem Erweiterungsfaktor k angegeben werden.

Bei der Betrachtung der Standardunsicherheiten von Eingangsgrößen unterscheidet GUM nach solchen, deren Werte statistisch ermittelt wurden (Typ A), und solchen, die nicht aus mehrmaligen Beobachtungen gewonnen wurden (Typ B).

Für die Berechnung der Standardunsicherheit u(x_i) nach Typ A gilt, dass sie gleich der Standardabweichung des aus n unabhängigen Werten gebildeten Schätzwertes (arithmetischer Mittelwert) ist. Dabei kennzeichnet die Standardabweichung eines Schätzwertes die Streuung der beobachteten Werte um den Schätzwert:

.

( 4.1)

Die Anzahl der Freiheitsgrade f_i von u(x_i) ist bei n Messungen gleich n-1.

Standardunsicherheiten vom Typ B können z.B. aus den Angaben der Hersteller, Daten von Zertifikaten oder Kalibrierscheinen übernommen werden. Ist diese dabei als ein Vielfaches einer Standardabweichung bzw. als erweiterte Messunsicherheit angeben, so errechnet sich die Standardunsicherheit als Quotient aus dem angegebenen Wert und dem Multiplikationsfaktor.

Die kombinierte Standardunsicherheit u_c(y) einer Messgröße y(x₁,x₂, ..., x_n) in Abhängigkeit von den Eingangsgrößen x_i berechnet sich im Falle unkorrelierter Eingangsgrößenals positive Quadratwurzel aus der Quadratsumme aller Unsicherheitsbeiträge u(y,x_i)=c_i ∙ u(x_i) der n Eingangsgrößen [11]:

.

(4.2)

Dabei beschreiben die c_i , gegeben durch die partiellen Ableitungen ∂y(x₁, x₂, ...,x_n)/ ∂x_i, die Variation des Ausgangsgrößenwertes y bei Veränderung der Werte für die Eingangsgrößen x₁,x₂, ..., x_n und werden als Empfindlichkeitskoeffizienten bezeichnet [11]. Für den Fall, dass die Eingangsgrößen nur als Produkte oder Quotienten in der Messgleichung auftreten (z.B. ), vereinfacht sich Gleichung 4.2 nach GUM [55, Kapitel 8.2.6, Regel 2] zu folgender Form:

,

(4.3)

wobei u(x_i)/x_idie relativen Unsicherheiten der Eingangsgrößen x₁, x₂, ..., x_n beschreiben. Nach der Empfehlung des GUM (genauer: nach der dort zitierten Empfehlung INC-1 (1980), Absatz 5 einer internationalen Arbeitsgruppe zur Angabe von Unsicherheiten) ist die Messunsicherheit mit einem Grad des Vertrauens p anzugeben, der den Bereich um das Messergebnis angibt, mit dem ein p-entsprechender Anteil der Verteilung der Werte umfasst wird, die der gemessenen Größe sinnvollerweise zugeordnet werden können [11]. Dieses zusätzliche Maß der Unsicherheit wird als erweiterte Unsicherheit U bezeichnet. Durch Multiplikation der kombinierten Standardunsicherheit mit einem Erweiterungsfaktor k erhält man die erweiterte Unsicherheit:

.

(4.4)

Als Erweiterungsfaktoren werden Faktoren von k=2 oder k=3 allgemein verwendet, die als Schätzwert ein Konfidenzniveau von p=95% bzw. p=99% angeben. Diese Schätzung gilt jedoch nur für eine große Anzahl von Mehrfachmessungen. Ist diese Anzahl n kleiner als 10 [54], so ist der effektive Freiheitsgrad f_eff einer kombinierten Standardunsicherheit nach der Welch-Satterthwaite-Formel zu berechnen:

.

(4.5)

Der Erweiterungsfaktor k wird dann in Abhängigkeit vom effektiven Freiheitsgrad f_eff und dem beabsichtigten Grad des Vertrauens p (Konfidenzintervall) aus GUM [11, Tabelle G.2] entnommen.

Unsicherheitsbudget für die quantitative NMR-Spektroskopie

Die Vorgehensweise zur Berechnung der Messunsicherheit eines Analysenergebnisses lässt sich in die folgenden vier Schritte aufgliedern [55]:

Spezifikation der Messgröße
Identifizierung der Unsicherheitsquellen
Quantifizierung der Unsicherheitskomponenten
Berechnung der gesamten Unsicherheit.

Der erste Schritt, die Spezifikation der Messgröße in Abhängigkeit der Eingangsgrößen, erfolgte bereits für die vier Anwendungsgebiete der quantitativen NMR im Kapitel 3. Für den zweiten Schritt, der Identifizierung der Unsicherheitsquellen, ist es sinnvoll, in einem Ursachen-Wirkungs-Diagramm die Eingangsgrößen und deren Einflussgrößen gemäß der Gleichung der Messgröße darzustellen. Die Vorgehensweise zum Aufstellen eines solchen Diagramms beschreiben Ellison und Barwick [56] in Übereinstimmung mit der ISO 9004-4 [57]. Für die vier Anwendungen der quantitativen NMR-Spektroskopie erfolgt dies in der Abbildung 4.1.

Abbildung 4.1: Ursachen-Wirkungs-Diagramm nach ISO 9004-4. Für die Analyse von Stoffmengenanteilen und -verhältnissen gelten nur die schwarzen Pfeile, für die Gehalts- und Reinheitsbestimmung die schwarzen und die roten Pfeile.

Die einzelnen Unsicherheitsbeiträge der Eingangsgrößen Intensitätsverhältnis (Integration), Anzahl der zur Resonanzlinie beitragenden Kerne N_i , Molmasse M_i, Einwaage m_i sowie Reinheitsgrad P_Std bzw. -faktor f_Std sollen nun näher betrachtet werden.

Die Schritte 3 (Quantifizierung der Unsicherheitskomponenten) und 4 (Berechnung der gesamten Unsicherheit) werden für die Ermittlung von Stoffmengenverhältnissen und -anteilen im Kapitel 5, für die Reinheitsanalyse im Kapitel 6 und für die Gehaltsbestimmung im Kapitel 7 behandelt.

Intensitätsverhältnis (Integration)

Generell kann aus einem NMR-Spektrum nur die Information über das Intensitätsverhältnis erhalten werden, dessen Präzision nach Typ A durch Mehrfachmessungen zu ermitteln ist. Werden die Messungen direkt nacheinander durchgeführt, so erhält man die Wiederholpräzision. Dagegen spricht man von der Vergleichspräzision, wenn die Messungen z.B. zeitlich versetzt mit jeweiligen Shimmen des Systems ausgeführt werden. Die in dieser Arbeit aufgeführten Standardunsicherheiten der Integration geben die Vergleichspräzision wider (Kriterium: unterschiedliche Shim-Zustände). Die Berechnung der Unsicherheit des Intensitätsverhältnisses erfolgt nach Gleichung (4.1), in der nicht nur die Unsicherheit der Integration, sondern die des gesamten Systems der Spektrenaufnahme (Shimmen, Aufnahme, Prozessierung, Spektrenkorrekturen und Integration) berücksichtigt.

Anzahl der zur Resonanzlinie beitragenden Kerne N

Die Anzahl von Kernen, die zu einer Resonanzlinie beitragen, sind gemäß der Summenformel einer Substanz eine Integergröße, sofern keine Reaktion stattfindet (z.B. Deuterierung von Protonen durch Lösungsmittel in der ¹H-NMR). Generell ist für quantitative Analyse mit der NMR-Spektroskopie die Stabilität der auszuwertenden Signale Voraussetzung und mittels Stabilitätsuntersuchungen zu belegen. Eine Unsicherheit ist daher nicht zu betrachten.

Molmasse

Die Standardunsicherheit der Molmasse u(M_i) wird nach Typ B ermittelt und setzt sich aus den Unsicherheiten der Atommasse gemäß der Summenformel der betrachteten Komponente zusammen. In der Zeitschrift „Pure and Applied Chemistry“ wird von der IUPAC regelmäßig eine Tabelle mit den relativen Atommassen aller Elemente und deren Unsicherheiten veröffentlicht. Da sich die Molmasse als Summe unabhängiger Eingangsgrößen berechnet, wird die Standardunsicherheit der Molmasse nach GUM [55, Kapitel 8.2.6, Regel 1] wie folgt berechnet [58]:

.

(4.6)

Dabei gibt N_j die Anzahl der Atome des Elements j, u(j) die Standardunsicherheit der Atommasse des Elements j und n die Anzahl der vorkommenden verschiedenen Elemente im Molekül wieder. Der Freiheitsgrad wird zu 50 gesetzt.

Einwaage

Die Standardunsicherheit einer Einwaage u(m_i) wird vor allem durch die Unsicherheiten der Wiederholbarkeit u_W(m_i) und die der Nichtlinearität u_{Nichtlinearität}(m_i) ermittelt, die aus den Herstellerangaben der Waage nach Typ B herangezogen werden können.

Die Unsicherheit der Wiederholbarkeit kann direkt aus dem Datenblatt entnommen werden. Darin ist die Unsicherheit der Ablesegenauigkeit enthalten. Will man die Unsicherheit nach Typ A ermitteln, so ist eine Messreihe von n Wägungen durchzuführen und die Wiederholpräzision zu berechnen, die als Standardunsicherheit folgendermaßen angegeben wird:

(4.7)

Die Linearitätsabweichung wird allgemein als maximale Abweichung Δm vom wahren Wert im Datenblatt angegeben. In der Annahme einer gleichmäßigen Verteilung (Rechteckverteilung) wird somit die Unsicherheit der Nichtlinearität wie folgt berechnet:

.

(4.8)

Der Vorgang einer Einwaage besteht aus zwei Wägvorgängen (Tara- und Bruttoeinwaage), wodurch die Nichtlinearität zweimal zu berücksichtigen ist. Da diese beiden Ablesungen voneinander unabhängig sind, geht die Standardunsicherheit der Nichtlinearität zweimal ein. Die kombinierte Unsicherheit berechnet sich daher aufgrund unabhängigen Eingangsgrößen wie folgt:

.

(4.9)

Will man die Unsicherheit der Nichtlinearität nach Typ A bestimmen, so ist die maximale Differenz aller ermittelten Messwerte, das Intervall , zu bestimmen, in dem der wahre, aber unbekannte Wert liegt. Die Unsicherheit berechnet sich dann wie folgt:

.

( 4.10)

Die in dieser Arbeit ausgeführten Wägungen erfolgten mit einer Ablesegenauigkeit von
0,1mg auf einer Sartorius BP 121 S und mit einer Ablesegenauigkeit von 0,01mg auf einer Mettler AT 261 Delta Range. In Tabelle 4.1 sind die Kenndaten, entnommen aus den Herstellerblättern, sowie die daraus nach Typ B berechneten Unsicherheiten aufgeführt.

Sartorius BP 121 S

Mettler AT 261 Delta Range

Ablesegenauigkeit

0,1 mg

0,01 mg

u_W(m)

0,1 mg

Einwaage bis 50 g: 0,015 mg

Δm

0,2 mg

0,03 mg

u(m) (Gleichung (4.9))

0,2 mg

0,03 mg

Tabelle 4.1: Kenndaten aus den Herstellerangaben für die verwendeten Waagen. Ermittlung der Einwaageunsicherheit nach Typ B.

Im Rahmen der routinemäßig durchgeführten Überprüfungen der Waagen wurde durch den DKD eine Kalibrierung der Sartorius BP 121 S vorgenommen. Hierzu wurden mit einem Eichgewicht von 100g sechs Messungen ausgeführt, deren Standardabweichung zu 0,05mg bestimmt wurde. Die maximale Abweichung von 0,1mg () bei der Überprüfung der Nichtlinearität wurde bei vier Tara-Einwaagen (0g, 30g, 60g und 100g) mit einem Eichgewicht von 20g bestimmt. Aus diesen beiden Angaben wurde nach Typ A die Standardunsicherheit einer Einwaage nach Gleichung (4.9) berechnet, wobei die Unsicherheit der Nichtlinearität der Waage nach Gleichung (4.10) ermittelt wurde. Daraus ergab sich eine Standardunsicherheit von 0,08 mg. Diese liegt deutlich unterhalb der aus den Herstellerdaten ermittelten. Der Freiheitsgrad einer Wägung wird zu 1000 gesetzt.

Reinheitsgrad, Reinheitsfaktor

Die Standardunsicherheit des Reinheitsgrades bzw. des Reinheitsfaktors eines Standards kann bei einem ZRM direkt aus dem Zertifizierungsschein nach Typ B übernommen werden. Ist dabei ein Erweiterungsfaktor angegeben worden, so ist die angegebene Unsicherheit durch diesen Faktor zu dividieren. Liegt bei Einsatz eines anderen Standards keine Angabe über die Unsicherheit des Reinheitsgrades vor, so ist die Reinheit experimentell zu ermitteln und mit der Unsicherheit des eingesetzten Verfahrens zu belegen.

Zusammengefasst ergeben sich somit die nach Gleichung (4.3) aufgestellten kombinierten Messunsicherheiten für Stoffmengenverhältnis und -anteil zu

,

(4.11)

für die Reinheitsanalyse zu

(4.12)

und für die Gehaltsanalyse zu

.

(4.13)

Ermittlung der Messunsicherheit von quantitativen NMR-Analyseverfahren mittels Referenzwerten

Die im Kapitel 4.2 beschriebene Messunsicherheit für quantitative NMR-Messungen berücksichtigt nur zufällige Abweichungen der Eingangsgrößen im Unsicherheitsbudget. Um die Messunsicherheit eines Analysenverfahrens vollständig zu beschreiben, ist zusätzlich die Ermittlung systematischer Abweichungen nötig. Hierzu wird ein Soll-Ist-Vergleich des Mittelwertes der Analysenergebnisse mit einem zugehörigen Referenzwert x_Ref± u(x_Ref) durchgeführt. Die Differenz

(4.14)

beschreibt die systematische Abweichung des Analysenwertes vom Referenzwert, deren Standardunsicherheit u(Δ_Anl) wie folgt berechnet wird:

.

(4.15)

Über das Ausmaß der systematischen Abweichung gibt das folgende Kriterium Auskunft [7]:

.

(4.16)

Bei Nichterfüllung dieser Gleichung liegt eine signifikante systematische Abweichung vor, die entweder zu eliminieren (Analysenverfahren verbessern) oder rechnerisch zu korrigieren ist (Korrekturterm). Kann davon ausgegangen werden, dass diese systematische Abweichung nicht konstant auftritt, so ist sie als Unsicherheitsbeitrag direkt im Unsicherheitsbudget zu berücksichtigen. Allgemein wird bei Erfüllung dieses Kriteriums (Gleichung 4.16) die systematische Abweichung als nicht signifikant eingestuft und daher vernachlässigt [7]. Diese Vorgehensweise hat zur Folge, dass zwar für Δ_Anl ≤ u(Δ_Anl) (Fall 1) der Analysenwert einschließlich der kombinierten Unsicherheit in der erweiterten Messunsicherheit des Verfahrens vollständig erfasst wird, bei u(Δ_Anl)<Δ_Anl ≤ 2u(Δ_Anl) (Fall 2) jedoch nicht (Abbildung 4.2, schwarze Linien).

Abbildung 4.2: Schematische Darstellung bei der Betrachtung der Messunsicherheit eines Analysenverfahrens bei unterschiedlichen Handhabung von systematischen Abweichungen. Schwarz: Geringfügige Abweichungen werden vernachlässigt; Fall 1 wird mit der Messunsicherheit des Verfahrens vollständig beschrieben, nicht aber Fall 2. Rot: Geringfügige Abweichungen werden berücksichtigt; beide Fälle liegen innerhalb der Messunsicherheit des Verfahrens.

In der vorliegenden Arbeit soll die Messunsicherheit eines Analysenverfahrens entsprechend der Anlage 1 zum QMH-I-5 der BAM, dem Konzept zur Ermittlung und Angabe von Messunsicherheiten der Abteilung I [59], berechnet werden. Hiernach werden auch geringfügige Abweichungen, die obiges Kriterium erfüllen (Gleichung 4.16), im Unsicherheitsbudget eingerechnet. Die im Kapitel 4.2 aufgestellten Unsicherheitsbudgets für die vier Anwendungsgebiete (Gleichungen 4.11, 4.12 und 4.13), hier als u_c(x_Anl) bezeichnet, müssen zur Betrachtung der Messunsicherheit des Analysenverfahrens um die Beiträge der systematischen Abweichung Δ_Anl und der Unsicherheit des Referenzwertes u(x_Ref) erweitert werden. Man erhält somit für die Messunsicherheit eines Analysenverfahrens die folgende kombinierte Unsicherheit:

.

(4.17)

Hierbei wird auch der Fall 2 der Abbildung 4.2 mit der so berechneten Messunsicherheit des Verfahrens (rote Linie) vollständig miterfasst.