Unbehaun, Axel: » Die vegetative Kontrolle der Herzfrequenz und ihre Koordination mit dem respiratorischen System untersucht im Schlafen und Wachen innerhalb der Pubertät: Eine zeitreihenanalytische Studie «

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Kapitel 4. Zeitreihenanalytische Verfahren zur Charakterisierung des dynamischen Verhaltens der instantanen Herzfrequenz und angewandte Statistik

4.1. Lineare Methoden: Berechnung und Eigenschaften von Parametern zur Beschreibung der instantanen Herzfrequenz im Zeit- und Frequenzbereich

4.1.1. Der Mittelwert der instantanen Herzfrequenz und das Problem der Stationarität

Die hier verwendeten Verfahren setzen voraus, daß die untersuchten Zeitreihen schwach stationär sind. Ein Prozeß ist stationär zu nennen, wenn Mittelwert und Kovarianz unabhängig vom gewählten Zeitpunkt t konstant sind. Der Mittelwert der IHR -Zeitreihe wird über das arithmetische Mittel bestimmt:

Die Autokovarianz einer Zeitreihe ist wie folgt definiert:

Autokovarianzstationär ist die Zeitreihe dann, wenn die Kovarianzfunktion nur vom Zeitabstand tau abhängt.

Hieraus wird deutlich: Je stärker man sich an das Stationaritätskriterium hält, um so zutreffender wird die Allgemeingültigkeit der Interpretation der Daten sein, jedoch wird dabei auch die Anzahl der Meßabschnitte, die in die Betrachtung eingehen können, vermindert. Damit wird auch der relativ hohe Anteil nicht ausgewerteter Abschnitte im Schlaf erklärbar. All jene Zeitreihen, die sichtbare Trends oder Seufzer enthielten, waren von der weiteren Auswertung abgeschlossen.


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4.1.2. Die Berechnung der Leistungsspektren für Respirogramm und Zeitreihe der instantanen Herzfrequenz

Gegenstand der Spektralanalyse ist die Suche nach zyklischen Komponenten innerhalb eines Prozesses y(t). Zyklische Schwankungen um das arithmetische Mittel µ lassen sich durch Superposition harmonischer Sinus- und Kosinusschwingungen verschiedener Amplitude alpha, beta und Frequenz f modellieren:

Sollen Periodizitäten einer Zeitreihe beurteilt werden, ist es notwendig, diese aus dem Zeitbereich in den Frequenzbereich zu überführen. Das geeignete Werkzeug hierfür ist die Fourier-Transformation. Die Fourier-Transformierte einer Zeitreihe ist wie folgt definiert:

für die Frequenz f isin R, unter der Voraussetzung, daß die zeitabhängige Funktion yt eine absolut summierbare Folge ist.

Der Ausdruck

beschreibt die komplexwertige Eulersche Formel, die den kosinusförmigen Bestandteil einer harmonischen Welle als Realteil und den sinusförmigen Teil als Imaginärteil eines komplexen Ausdrucks enthält.

Da die Fourier-Transformierte genausoviel Informationen enthält wie die Zeitreihe, genügt eine Berechnung der Fourier-Transformierten an endlich vielen Frequenzpunkten, den Fourier-Frequenzen. Die Fourier-Transformierten zeichnen sich durch die an ihnen geltenden Orthogonalitätsrelationen für Sinus und Kosinus aus, was eine vereinfachte Berechnung der Fourier-Transformierten ermöglicht [ 90 ].

Um den Rechenaufwand zu verringern, wird gewöhnlich für die Transformation endlicher Reihen die schnelle Fourier-Transformation (FFT) verwendet. Sie beruht auf dem Prinzip einer Zerlegung der Gesamtreihe in Teilreihen. Je kleiner die Teilreihen der Gesamtreihe werden, um so weniger Operationen sind bei der FFT durchzuführen. Der angewandten Spektralanalyse lag eine “mixed radix“-FFT zugrunde, deren Vorteil darin gelegen ist, daß die Anzahl der Werte nicht einer Potenz von 2 entsprechen muß [ 98 ].


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Die Spektraldichtefunktion, Spektrum genannt, wird als Fourier-Transformierte der theoretischen Autokovarianzfunktion eines schwach stationären Prozesses yt definiert. Für die Analyse biologischer Zeitreihen werden auch für das empirische Äquivalent, also die Fourier-Transformierte I(f) der empirischen Kovarianzfunktion ctau dem eigentlichen Periodogramm

die Begriffe Leistungsspektrum, Leistungsdichtespektrum oder Powerspektrum verwendet. Wie aus dieser Definition hervorgeht, läßt sich das Spektrum als eine Zerlegung der Gesamtvarianz des Prozesses auf harmonische Schwingungen verschiedener Frequenzen interpretieren. Es ist wenig sinnvoll, über die absolute Höhe der Leistung an einem Frequenzpunkt Aussagen zu formulieren, da das Periodogramm als inkonsistenter Schätzer anzusehen ist. Anders verhält es sich, wenn die Leistung über einem Frequenzband beurteilt wird. Das Periodogramm erweist sich in diesem Fall als einfache und zulässige Schätzung. Das Spektrum als Schätzer für die theoretische Spektralverteilungsfunktion ist somit konsistent [ 90 ].

Der quadrierte Absolutbetrag des komplexen Ausdrucks I(f), bestehend aus Real- und Imaginärteil, ergibt die Leistung. Begrenzt wird das Spektrum durch die Aussage des Nyquist-Kriteriums. Der Abstand zwischen den Datenpunkten beträgt 100 ms für die IHR -Zeitreihe und 10 ms für das Respirogramm, daraus ergibt sich nach dem Nyquist Kriterium:

Für die genannten Zeitreihen ist jedoch zum einen nur der Frequenzbereich unterhalb von 1.5 Hz biologisch interessant und andererseits die Leistung darüber vernachlässigbar klein. Die untere Grenze des Spektrums ist bestimmt durch die Länge der Meßabschnitte von 300 s. Nach dem angeführten Kriterium lassen sich lediglich solche Frequenzen beurteilen, deren Periodendauer maximal halb so groß wie die Länge der Zeitreihe ist:

Da aber auch geringfügige Trends in der Zeitreihe die Leistung an der unteren Grenze des Spektrums beeinflussen, wird festgelegt, nur die Leistung für Frequenzen größer als 0.02 Hz im Sinne eines “high-pass“-Filters zu betrachten.


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Aus diesen Überlegungen ergibt sich, daß die Varianz der Zeitreihe innerhalb des Intervalls

0.02Hz < f < 1.50Hz

berechnet wird, was vollauf den geforderten Kriterien entspricht.

Die Festlegung der unteren Grenzfrequenz und der Ausschluß derjenigen Zeitreihen mit deutlichem Trend gestatteten es, ohne Trendkorrektur oder Filter auszukommen. Eine Glättung der Spektren wurde nur für einzelne graphische Darstellungen vorgenommen.

4.1.3. Die Bestimmung des Kohärenzspektrums von Atmungsspektrum und Spektrum der Zeitreihe der instantanen Herzfrequenz

Wird anhand der Spektren von IHR und Respirogramm nach quantitativen Aussagen über die Ähnlichkeit beider Prozesse gesucht, so muß von einem bivariaten Ansatz ausgegangen werden. Grundlage ist hierbei das Kreuzspektrum Axy(f) eines diskreten bivariaten Prozesses als die Fouriertransformierte der Kreuzkovarianzfunktion axy(t):

Aus dem Kreuzspektrum läßt sich das Spektrum der quadratischen Kohärenz, kurz Kohärenzspektrum ableiten:

Dabei symbolisieren X(f) und Y(f) die Leistungsspektren der einzelnen Prozesse xt und yt (also im angewandten Sinne der Atmung und der IHR) und es gilt:

0 le C(f) le 1

Die Kohärenz mißt die lineare Korrelation zwischen den beiden Komponenten des bivariaten Prozesse bei der Frequenz f.

Eine Annäherung von C(f) an eins, entspricht einer zunehmend festeren Beziehung zwischen den beiden Prozessen xt und yt bei der Frequenz f [ 81 , 87 ].


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Abb. 4.1.3: Graphische Darstellung der Methode der Kohärenz. Die Kohärenz beschreibt jenen Anteil der Funktion y(t), der sich allein durch lineare Transformation von x(t) erklärt - bei einer bestimmten Frequenz. Die Funktion z(t) beschreibt dabei jenen Anteil in der Funktion y(t), der nicht mit der linearen Transformation der Funktion x(t) beschrieben werden kann. Es wird deutlich, daß die Kohärenz die lineare Intensität in der Beziehung von x(t) und y(t) quantitativ charakterisiert. Voraussetzungen sind lineare Eigenschaften der Transferfunktion und eine Unabhängigkeit derselben von der Zeit.

Bleibt die Kohärenz unter dem Wert eins, so kann dies folgende Gründe haben:
( Abb. 4.1.3 )

Der Vergleich der Leistungsspektren einer IHR -Zeitreihe und des dazugehörigen Respirogramms mit dem Kohärenzspektrum (vgl. Abb. 4.1.4B ), verdeutlicht, wie mit der Kohärenz die skalierte Ähnlichkeit eines Verlaufes charakterisiert wird. Bei der Berechnung wird so verfahren, daß geringe Unschärfen im Sinne von Verschiebung zwischen beiden Spektren erzeugt werden, um die Ähnlichkeit ihres Verlaufes beschreiben zu können. Für die Datenanalyse wurde diese Unschärfe bei ± 5 Spektraltermen angesetzt. Damit ergibt sich ein geglätteter Verlauf der Kohärenz im Kohärenzspektrum. Seitens der Atmung ging dabei das Leistungsspektrum des thorakalen Respirogramms in die bivariate Analyse ein.

4.1.4. Die physiologische Relevanz von Parametern, abgeleitet aus den Leistungsspektren der Herzfrequenzzeitreihe und des Respirogramms sowie aus ihrem Kohärenzspektrum

Aus den vorangegangenen formalen Betrachtungen wurde deutlich, daß das Leistungsspektrum ein geeignetes Mittel ist, rhythmisches Verhalten von IHR und Atmung quantitativ zu beschreiben. Nieder- und hochfrequente Oszillationen der Herzfrequenz bilden sich an verschiedenen Orten im Spektrum ab.


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Die Gesamtvarianz der IHR -Zeitreihe ergibt sich, wenn die Spektralterme aller Frequenzorte (0.02 Hz < f < 1.50 Hz) aufsummiert werden. Sie wird als Gesamtleistung oder in Anlehnung an die englische Terminologie mit TP (total power) bezeichnet. Ebenso können die Varianz nieder- und hochfrequenter Oszillationen getrennt bestimmt werden, wobei die Grenze zwischen beiden bei f=0.20 Hz festgelegt wurde. Die Leistung im niederfrequenten Bereich (0.02 Hz < f < 0.20 Hz) wird mit LF abgekürzt, jene im hochfrequenten Anteil (0.20 Hz le f < 1.50 Hz) mit HF . Es gilt:

LF + HF = TP

Es läßt sich des weiteren der Anteil der beiden Frequenzbänder an der Gesamtvariabilität bestimmen ( Abb. 4.1.4A ):

relLF = LF TP -1 bzw. relHF = HF TP -1

Da hochfrequente IHR -Fluktuationen vagal vermittelt werden, während niederfrequente Oszillationen sowohl sympathisch als auch parasympathisch bestimmt sind (vgl. 1.1 Die Oszillationen der Herzfrequenz sind Ausdruck vegetativer Regulation und systemischer Interaktionen ) sehen einige Autoren in der Beziehung

q = LF HF -1

einen Ausdruck für die “sympathovagale Balance“ in der vegetativen Ansteuerung des Herzens [ 55 ]. Dabei sollte aber bedacht werden, daß eine Veränderung der LF -Leistung sowohl sympathisch als auch parasympathisch oder durch beide Anteile vermittelt werden kann.

Abb. 4.1.4A: Beispiel für das Leistungsspektrum einer IHR-Zeitreihe (links), aufgenommen im nonREM-Schlaf. Es können ein niederfrequenter und ein hochfrequenter Anteil abgegrenzt werden: (0.02 Hz < fLF < 0.20 Hz; 0.20 Hz le fHF < 1.50 Hz). Die Gesamtvarianz beträgt: TP = 8.36 10-4 Hz2. Die Leistung innerhalb des LF-Bereiches ist: LF = 3.15 10-4 Hz2, innerhalb des HF-Anteils: HF = 5.21 10-4 Hz2. Die relativen Anteile von LF- und HF-Bereich werden durch das Kreisdiagramm (rechts) quantitativ dargestellt [Kreisdiagramm nach 52 ].


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Aus dem Spektrum des thorakalen Respirogramms läßt sich der Frequenzort des Maximums bestimmen, welcher der Atmungsfrequenz fresp entspricht. Der Wert ist signifikant (alpha < 0.05) korreliert mit der Atmungsfrequenz, die sich nach Auszählung der Atemzüge aus der Zeitreihe ergibt (Korrelationskoeffizient = 0.98).

Aus dem Kohärenzspektrum kann das Maximum Cmax im Bereich der Atmungsfrequenz bestimmt werden, um aus dessen Wert Auskunft über die lineare Intensität der kardiorespiratorischen Beziehung zu erhalten (vgl. Abb. 4.1.4B ).

Abb. 4.1.4B: Der Weg von den Zeitreihen der IHR und des Respirogramms zum Kohärenzspektrum. Ausgangspunkt der Analyse bilden die Zeitreihen von Respirogramm und IHR-Zeitreihe. Unter Anwendung einer schnellen Fourier Transformation vom “mixed radix“-Typ werden die Leistungsspektren der Zeitreihen berechnet. Die Fluktuationen in den Zeitreihen bilden sich dabei als Leistungswert bei der ihnen eigenen Schwingungsfrequenz ab. So führt der Rhythmus des Wechsels von Inspiration und Exspiration im Respirogramm zu einem Gipfel im Atmungsspektrum, dessen Frequenz der Atmungsfrequenz, fresp, entspricht (links). Die langsameren Schwingungen der Herzfrequenz führen zu Leistungsgipfeln im niederfrequenten Abschnitts des Spektrums (LF), während die schnelleren Fluktuation sich im hochfrequenten Bereich (HF) abbilden (rechts). Durch Zugrundelegen eines bivariaten Ansatzes ergibt sich das kardiorespiratorische Kohärenzspektrum (unten). Hierin wird die ähnliche Ausprägung von Leistungsgipfeln in beiden Spektren deutlich.


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4.1.5. Graphische Darstellung der vegetativen Ansteuerung des Herzens: Das Tonusdiagramm

Bislang wenig Beachtung fand eine graphische Darstellung der IHR -Zeitreihe zur Beurteilung der vegetativen Ansteuerung des Herzens: das Tonusdiagramm [ 16 , 17 ]. Diesem Verfahren liegt zugrunde, daß das Mittel der Differenzen aufeinanderfolgender R-Zacken-Abstände als Ausdruck hochfrequenter Fluktuationen der Herzfrequenz in Abhängigkeit von der Herzfrequenz selbst abgetragen wird:

Liegt der entstandene Punkt im oberen linken Teil des Koordinatensystems, so weist dies auf eine stärkere parasympathische Kontrolle des Herzens hin - aufgrund niedrigerer Herzfrequenz und stärker ausgeprägter RSA . Im Gegensatz dazu kommt eine Bewegung in den unteren rechten Abschnitt des Diagramms einer verstärkten sympathischen Einflußnahme gleich [ 16 ], vgl. Abb. 4.1.5 :

Abb. 4.1.5: Schematische Darstellung des Tonusdiagramms. Der Übergang vom Zustand I zum Zustand II vollzieht sich mit einer Aktivierung sympathischer Einflußnahme und einer Abnahme parasympathischer Kontrolle der Herzfrequenz.


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Diese Aussage beruht darauf, daß eine Zunahme der Herzfrequenz und eine Abnahme ihrer hochfrequenten Fluktuationen mit einem verstärkten sympathischen “Tonus“ und in umgekehrter Richtung mit einem erhöhten parasympathischen “Tonus“ einhergeht. Dabei belegt der Begriff der tonischen Ansteuerung des Herzens eine althergebrachte Vorstellung, welche die Übertragung rhythmischer Fluktuationen aufgrund vegetativer Ansteuerung unberücksichtigt läßt.

Schubert et al. bildeten im Tonusdiagramm zusätzlich die IHR -Gesamtvariabilität TP als Ordinatenwert in dem kartesischem Koordinatensystem ab [ 92 ]:

Obgleich die Darstellung der Variabilität in Abhängigkeit von der Herzfrequenz nahezu unbekannt blieb, gewährt sie dennoch übersichtliche Einblicke in die vegetative Ansteuerung des Herzens und soll deshalb in dieser Studie hilfreich sein, die Dominanz eines der beiden Zweige des autonomen Nervensystems innerhalb verschiedener Vigilanzstadien zu offenbaren.


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4.2. Methoden der nichtlinearer Dynamik: Dimensionalität und Prädiktabilität der Herzfrequenz

4.2.1. Rekonstruktion der instantanen Herzfrequenz im Phasenraum: Die Dynamik des Systems

Um die Gesamtdynamik der IHR beurteilen zu können, ist es von Vorteil, nicht nur eine Dimension dieses Systems zu betrachten, wie sie mit der Zeitreihe darstellt wird. Hierfür ist es notwendig, das System in einem Phasenraum zu rekonstruieren. Das Aufspannen als Phasenraumfigur ermöglicht es, chaotisches Verhalten von periodischen und stochastischen Prozessen abzugrenzen. Der Zustand eines Systems läßt sich als Punkt innerhalb des Phasenraumes definieren, dessen Achsen jeweils den voneinander unabhängigen Variablen entsprechen, die notwendig sind um das System vollständig zu beschreiben. Für die IHR sind jedoch die zugrundeliegenden Gleichungen, also die Funktionsparameter der voneinander unabhängigen Regulationsmechanismen nicht zugänglich. Hier ist es sinnvoll, die IHR wie folgt im Phasenraum abzutragen (vgl. Abb. 4.2.1 ):

Dabei entspricht N der Dimension des Phasenraumes und tau einem zeitlich begrenzten Zeitverzug [ 27 ]. Für die Rekonstruktion der IHR im Phasenraum wird für tau der erste Nulldurchgang der Autokorrelationsfunktion gewählt. Der Zustand des Systems zum Zeitpunkt i wird also durch den gemessenen IHR -Wert und die nach einem Vielfachen i+(N-1)tau des Zeitintervalls tau bestimmten IHR -Werte repräsentiert. Wiederholt man dies für alle IHR Werte der Zeitreihe und verbindet sie entsprechend ihrer zeitlichen Abfolge, so ergeben sich die Bahnen des Systems, welche Trajektorien genannt werden. Würde man ein stochastisch bestimmtes System derart abbilden, so würden die Trajektorien den gesamten Phasenraum ausfüllen und kein geometrisch begrenztes Gebilde ergeben. Deterministische Systeme lassen begrenzte Gebilde innerhalb des Phasenraumes entstehen. Da hierbei der Anschein entsteht, die Trajektorien werden zu diesem Gebilde hin angezogen, nennt man dies Anziehung, das Gebilde, zu dem die Trajektorien angezogen werden, Attraktor. Anhand der Phasenraumfigur läßt sich der Attraktor und damit die Eigendynamik des Systems beurteilen. Fallen die Systembahnen in einem Punkt zusammen, so ist das System durch einen Punktattraktor bestimmt, der Prozeß strebt ein homöostatisches Gleichgewicht an. Ein periodischer Attraktor erzeugt ein zyklisches Gebilde. In diesem Fall konvergieren die Trajektorien zu einer geschlossenen Schleife. Dagegen können nichtlineare Systeme einem seltsamen oder chaotischen Attraktor folgen: Die Dynamik des


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Systems konvergiert nicht zu einem Punkt oder einem begrenzten Zyklus. Die Phasenraumfigur bildet ein komplexes, hochorganisiertes Muster, welches im Gegensatz zu stochastischen Prozessen den Phasenraum nicht gleichmäßig ausfüllt [ 28 ]. Deterministisch-chaotische Systeme sind in dieser Hinsicht durch ein hohes Maß an Ordnung charakterisiert. Anhand des Phasenraumgebildes können also aus den gebildeten Mustern Grundeigenschaften des Systems beurteilt werden. Für die Abbildung der IHR im Phasenraum bedeutet dies: Die Dynamik des gesamten Systems und damit auch die Eigenschaften der zugrundeliegenden Steuermechanismen werden sichtbar, deren Kenntnis physiologisch relevant ist.

Die Methodik zur Konstruktion der IHR im Phasenraum läßt es zu, daß für die Dimension des Raumes durchaus ein Wert größer als drei angenommen werden kann. Erhöht man die Phasenraumdimension, so fällt aber auf, daß ab einer bestimmten Zahl das Gebilde seine Ausbreitung, also seine Form nicht ändert; das System besitzt somit eine endliche Dimension, die unabhängig von der Phasenraumdarstellung selbst ist. Angenommen, die Trajektorien des Gebildes würden eine Fläche bilden, die aufgrund ihrer Faltung einen dreidimensionalen Raum ausfüllt (vergleichbar einem zusammengeknüllten Blatt Papiers), so bleibt dessen Dimension zwar kleiner als die eines sphärischen Gebildes (z. B. einer Kugel) und ist dennoch größer als die einer ebenen Fläche. Die Dimension liegt also zwischen zwei und drei - damit wird ersichtlich, daß fraktale Strukturen die Dimension einer rationalen, nichtnatürlichen Zahl haben.

Zusammenfassend kann gesagt werden, daß die Form, welche ein System wie die Herzfrequenz innerhalb des Phasenraumes einnehmen wird, durch zwei Eigenschaften bestimmt ist: Die Dimension des Gesamtprozesses bedingt die Organisation des Phasenraumgebildes und kann anschaulich mit dem Begriff “Komplexität“ umschrieben werden. Die Ausbreitung des Gebildes innerhalb des Phasenraumes wird geprägt durch den Verlauf der Trajektorien, divergieren diese voneinander, so wird dies mit einer fortschreitenden Ausbreitung des Gebildes in der betrachteten Richtung einhergehen. Wie im folgenden zu zeigen sein wird, besitzen die beiden Eigenschaften Komplexität und Verhalten der Trajektorien zueinander eine physiologische Bedeutung für die Herzfrequenz.


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Abb. 4.2.1: Rekonstruktion einer IHR-Zeitreihe im Phasenraum. Um anschaulich bleiben zu können, wurde ein dreidimensionaler Raum für die Darstellung gewählt. Die obere Phasenraumfigur (a) ergab sich nach Spline-Interpolation der Originalzeitreihe. Der Zeitverzug tau betrug eine Sekunde. Die beiden unteren Darstellungen betrachten dieselbe Zeitreihe. Die Trajektorien (b) sind abgerundeter als in der oberen Abbildung (a). Die Ursache hierfür ist, daß der Phasenraum an das Phasenraumgebilde, also dessen Vektoren angepaßt wurde, was eine Entknäulung der Figur bewirkt. Dieses Vorgehen wird Singularwertzerlegung genannt [ 57 ]. Man stelle sich nun eine Drehung der Figur (b) um die y-Achse vor, so daß die Blickrichtung mit der z-Achse übereinstimmt. Damit wird die Figur von der Seite gesehen (c).

(a)

(b)

(c)


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4.2.2. Die Korrelationsdimension der Herzfrequenz - Maß der Komplexität

Die Kontrolle der Herzfrequenz unterliegt einem komplex organisierten System, in dem eine Vielzahl an Einflüssen integriert wird. Das Wirken der Regulationsmechanismen kann ohne operative Eröffnung der Medulla oblongata nicht analysiert werden und ist damit einer Untersuchung unter physiologischen Bedingungen a priori nicht zugänglich. Dennoch besteht eine Möglichkeit, die Zahl der voneinander unabhängigen Einflüsse abzuschätzen. Die Methode der Wahl hierfür ist die Bestimmung der Korrelationsdimension der Herzfrequenz ( D2R-R ) [ 68 ].

Bei der Rekonstruktion der Herzfrequenz im Phasenraum ergeben sich die Koordinaten der Punkte, die miteinander verbunden die Trajektorien bilden, aus der Zeitreihe, indem der zu einem bestimmten Zeitpunkt gemessene Wert IHRi in Bezug zu zeitlich späteren IHR -Werten IHRi+(N-1)tau gesetzt wird. Da diese Punkte alle auf dem Attraktor liegen, zu dem die Trajektorien angezogen werden, besteht eine räumliche Korrelation zwischen den Punkten. Diese räumliche Beziehung kann mit dem Korrelationsintegral C(l) gemessen werden [ 28 ]. Für die Berechnung von D2R-R wird danach die Originalzeitreihe der zeitlichen Distanzen aufeinanderfolgender R-Zacken (R-R)i=IHRi-1 in einem siebendimensionalen Phasenraum rekonstruiert (N=7). Die Lage der Punkte ist eindeutig durch den siebendimensionalen Vektor xii bestimmt:

Nach dem von Grassberger und Procaccia vorgeschlagenen Algorithmus ist das Korrelationsintegral wie folgt definiert [ 28 ]:

Die Heaviside Funktion theta wird hierbei genutzt, um die nächstgelegenen Nachbarpunkte eines Punktes innerhalb des Radius l zu zählen [ 75 ]. Erwartungsgemäß wächst die Zahl gefundener Nachbarpunkte bei Zunahme des Radius l. Dieser Zusammenhang wird doppellogarithmisch dargestellt ( Abb. 4.2.2 ). Wie stark die Zahl der Punkte bei zunehmenden Radius ansteigt, hängt von der Dimension des Phasenraumgebildes ab. Folglich kann D2R-R aus dem Anstieg des Graphen in der Darstellung log C(l)=f(log l) bestimmt werden. Würde man ein sphärisches Gebilde (etwa eine Kugel) in den Phasenraum legen, so nimmt der Anstieg den Wert drei an und entspricht damit der


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Dimension des Gebildes, dagegen würde er bei einer ebenen Fläche den Wert zwei annehmen. Die Dimension gibt damit die Antwort auf die Frage, wie komplex das Phasenraumgebilde ist.

Theiler und Lookman schlugen die Berechnung des Anstiegs innerhalb eines definierten Intervalls, genannt “rule of five“, vor, um Einflüsse, die den Algorithmus stören können, klein zu halten [ 109 ]. Diese Empfehlung wurde bei der Bestimmung von D2R-R berücksichtigt.

Abb. 4.2.2: Bestimmung von D2R-R. In logarithmischer Darstellung aufgetragen: das Korrelationsintegral C(l) als Funktion des Radius l. Das grau unterlegte Intervall bezeichnet jenen Abschnitt der Funktion (“rule of five“), aus dessen Anstieg D2R-R bestimmt wurde.

Einerseits ist es anzustreben, möglichst lange Datenabschnitte für die Analyse zu verwenden, andererseits nehmen mit fortschreitender Zeit störende stochastische Ereignisse zu. Es wurde deshalb darauf geachtet, daß die Zahl der Werte z der folgenden Beziehung entsprach [ 15 ]:


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Die Korrelationsdimension beschreibt eine Eigenschaft, die durch die Dynamik des Systems begründet ist. Es gilt zwangsläufig, daß die gemessene Dimension der Zahl an unabhängigen Variablen entspricht, die notwendig sind, einen Punkt auf dem Attraktor vollständig zu beschreiben. Übertragen auf die Herzfrequenz bedeutet dies, daß mit D2R-R die Zahl voneinander unabhängiger Steuermechanismen geschätzt werden kann [ 68 ]. Eine Abnahme von D2R-R ist demzufolge so zu interpretieren, daß weniger Regulationsmechanismen an der Herzfrequenzsteuerung teilnehmen, oder aber, einzelne Vorgänge werden aneinander gekoppelt und agieren somit nicht mehr unabhängig voneinander.

4.2.3. Der größte Lyapunov-Exponent - Kennzeichen der Prädiktabilität

Die Dimension des Phasenraumgebildes charakterisiert die räumliche Korrelation der Stützpunkte der Phasenraumfigur zueinander und zeigt hieraus die Komplexität des Gebildes auf. Die komplexe Struktur der Phasenraumfigur ist bedingt durch die Anziehung der Trajektorien zum Attraktor, was mit einer Faltung der Trajektorien einhergeht. Allerdings wird dabei nichts über das dissipative Verhalten der Trajektorien ausgesagt [ 28 ]. Der Attraktor selbst bestimmt den Verlauf benachbarter Bahnen zueinander. Deshalb kann anhand der Konvergenz oder Divergenz der Trajektorien differenziert werden, ob es sich um einen Punkt- oder chaotischen Attraktor handelt.

Nahe beieinanderliegende Bahnen entsprechen nahezu identischen Zuständen des Systems. Liegt ein divergentes Verhalten vor und können, wie für die Herzfrequenz charakteristisch, die Ausgangsbedingungen des Systems nicht exakt bestimmt werden, so läßt sich keine Aussage darüber treffen, welcher Bahn das System folgen wird. Das zukünftige Verhalten läßt sich nicht voraussagen; die Prädiktabilität geht rasch verloren [ 123 ]. Aussagen über das zukünftige Verhalten eines deterministisch-chaotischen System sind demzufolge wenig sinnvoll, denn eine nicht auflösbare Variation in den Ausgangsbedingungen läßt das System einen deutlich unterschiedlichen Zustand einnehmen. Demgegenüber bedeutet Konvergenz der eng benachbarter Bahnen, daß nahezu identische Zustände weiter aufeinander zustreben. Die Prädiktabilität ist hoch, denn, gleich welcher Bahn das System folgt, es erreicht einen homöostatischen Gleichgewichtszustand. Im Gegensatz zum chaotischen Attraktor, liegt hier eine Punktattraktion vor [ 25 ].

Innerhalb eines höherdimensionalen Phasenraums bestehen definitionsgemäß eine größere Anzahl von Ausbreitungsrichtungen für das System. Während in einer Richtung insgesamt eine Konvergenz der Bahnen vorliegt, kann in anderen eine Divergenz der Bahnen zu finden sein. Ein System ist dann chaotisch zu nennen, wenn wenigstens in einer der


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Richtungen insgesamt eine Bahnendivergenz nachweisbar ist [ 123 ]. Faltungsprozesse des Phasenraumgebildes können dazu führen, daß trotz Divergenz in einer Richtung die Figur begrenzt bleibt.

Obwohl das zukünftige Verhalten eines chaotischen Prozesses nicht bestimmt werden kann, besteht die Möglichkeit, jene Zeitspanne zu ermitteln, nach der die Prädiktabilität verloren geht. Die “Geschwindigkeit“ mit der die Prädiktabilität verloren geht, wird durch den größten Lyapunov Exponenten ( LLE ) gekennzeichnet. Zur Berechnung des LLE wurde der von Wolf et al. publizierte Algorithmus angewendet [ 123 ]. Um den Einfluß von Resonanzphänomenen zu minimieren, wurden die von Fell und Beckmann vorgeschlagenen Modifikationen vorgenommen [ 18 ]. Analog zur Berechnung der Korrelationsdimension, wurde die Originalzeitreihe der zeitlichen Abstände aufeinanderfolgender R-Zacken in einem siebendimensionalen Phasenraum (N=7) rekonstruiert. Die Ausdehnung des Phasenraumgebildes in jede der sieben Richtungen zum Zeitpunkt t ist durch die Länge der Hauptachsen pi(t) gegeben. Es gilt dann:

Nach dem Lyapunov-Exponenten lambdai der Ausbreitungsrichtung i umgestellt, ergibt sich folgende Gleichung:

Man erhält die Lyapunov-Exponenten nach ihrer Größe geordnet vom größten ( LLE ) zum kleinsten. Der LLE erhält die Einheit [bits/s]. Da der Exponent angibt, in welchem Maße das System Informationen bildet oder zerstört, bedeutet z. B. ein Wert von 2.16 bits/s folgendes: Wurden die Ausgangsbedingungen mit einer Genauigkeit von 1 zu einer Million (20 bits) bestimmt, so kann das zukünftige Verhalten nach einer Zeit von

t = 20bits (2.16bits/s)-1 \|[ap ]\| 9s

nicht mehr vorausgesagt werden.


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Zusammenfassend sind folgende Aussagen möglich (vgl. Abb. 4.2.3 ):

Die Bahnen des Systems konvergieren im Mittel. Das System wird durch einen Punktattraktor bestimmt und strebt einen stabilen Zustand an. Die Prädiktabilität ist hoch.

Es handelt sich um einen periodischen Prozeß. Das zukünftige Verhalten kann vorausgesagt werden.

In mindestens einer der Dimensionen des Phasenraumes besteht insgesamt eine Divergenz der Bahnen. Der Dynamik des Systems liegt ein chaotischer Attraktor zugrunde. Das zukünftige Verhalten läßt sich nicht voraussagen.

Der Prozeß ist stochastischer Natur. Eine Ordnung in der Struktur des Phasenraumgebildes besteht nicht. Das Gebilde ist nicht begrenzt.

Abb. 4.2.3: Der LLE beschreibt das Verhalten benachbarter Bahnen innerhalb des Phasenraums zueinander. Divergieren diese, so ergibt sich ein positiver Wert (links). Das ist gleichbedeutend mit einer niedrigen Prädiktabilität - Kennzeichen chaotischen Verhaltens. Konvergenz erzeugt einen negativen LLE (rechts), das System strebt - voraussagbar - ein Gleichgewichtszustand an.


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4.2.4. Die Korrelationsdimension der Atmung - Ausdruck der Regulation des Atmungszyklus

Die Rhythmogenese des Atmungszyklus findet innerhalb des zentralen kardiorespiratorischen Netzwerkes statt, dem auch die Steuerung der Herzfrequenz unterliegt (vgl. 1.2 Die zentrale kardiorespiratorische Koordination ). Neben der IHR -Zeitreihe besteht mit dem Respirogramm die Möglichkeit, aus dem respiratorischen Zweig Informationen über Prozesse im neuronalen Netzwerk zu erhalten. Die vergleichende Betrachtung von kardialem und respiratorischem System wird Aussagen ermöglichen, wie synchron beide Einheiten, die von einem strukturell einheitlichen übergeordneten Netzwerk kontrolliert werden, innerhalb verschiedener Vigilanzstadien funktionell agieren.

Mit der Korrelationsdimension der Herzfrequenz D2R-R wird die Komplexität des Systems geschätzt, aus deren Kenntnis auf die Zahl voneinander unabhängig operierender Regulationsvorgänge geschlossen werden kann [ 68 ]. Analog ist die Analyse des Respirogramms möglich, um die Korrelationsdimension des respiratorischen Signals ( D2resp ) zu ermitteln. Die Gegenüberstellung beider Parameter, D2R-R und D2resp , gestattet es, zu verfolgen, ob eine Änderung der Komplexität des einen Systems nach Wechsel des Vigilanzstadiums mit einem parallelen oder entgegengesetzten Verhalten des anderen Systems einhergeht. Neben der kardiorespiratorischen Kohärenz, die von der Annahme linearer Eigenschaften in der Koordination ausgeht, ist somit eine zweite Methode verfügbar, die eine Auftrennung oder aber eine festere “Kopplung“ in der Kontrolle von Herzfrequenz und Atmung aufzeigen kann. Bei der Berechnung der Korrelationsdimension sind zudem keine Annahmen hinsichtlich linearer oder nichtlinearer Systemeigenschaften notwendig.

Vor der Berechnung von D2resp wurde die Zeitreihe des thorakalen Respirogramms im Phasenraum rekonstruiert, indem die einzelnen Daten in Abhängig von zeitlich späteren Werten innerhalb des Phasenraumes plaziert wurden. Analog dem mathematischen Vorgehen zur Bestimmung von D2R-R ließ sich die räumliche Korrelation der Datenpunkte mit dem Korrelationsintegral C(l) berechnen (vgl. 4.2.2 Die Korrelationsdimension der Herzfrequenz - Maß der Komplexität ). D2resp ergab sich aus dem Anstieg des Graphen log C(l) = f (log l) innerhalb des von Theiler und Lookman vorgeschlagenen Intervalls [ 109 ].


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4.2.5. Die Methode der Surrogate-Daten: Statistische Absicherung der nichtlinearen Parameter

Die Anwendung nichtlinearer Analyseverfahren zur Bestimmung von Korrelationsdimension und Prädiktabilität gestatten es, Eigenschaften der dem System zugrundeliegenden Dynamik zu erkennen, welche a priori nicht zugänglich sind.

Einerseits erfordern dabei die mathematischen Algorithmen möglichst lange Zeitreihen, andererseits nehmen mit fortschreitender Zeit naturgemäß stochastische Ereignisse in den Daten zu. Die nichtlinearen Methoden reagieren empfindlich auf solche Anteile im Datenmaterial, was die Aussagekraft dieser Verfahren erheblich mindert. Deshalb ist es sinnvoll zu überprüfen, ob wirklich ein nichtlinearer Prozeß vorliegt, oder aber von stochastischen Elementen in der Zeitreihe vorgetäuscht wird. Theiler et al. publizierten ein statistisches Verfahren, mit dem es möglich ist, gefundene Hinweise auf die nichtlineare Dynamik des Systems abzusichern, und die getroffenen Aussagen hinsichtlich Korrelationsdimension und größten Lyapunov-Exponenten ( LLE ) zu bestätigen [ 108 ].

Das Prinzip dieser Methode besteht darin, daß ausgehend von den Originalzeitreihen sogenannte Surrogate-Daten erschaffen werden. Diese unterscheiden sich nicht in ihren linearen Eigenschaften von den Originalzeitreihen, haben also das gleiche arithmetische Mittel sowie eine übereinstimmende Standardabweichung und zeigen ein identisches Leistungsspektrum. Dabei wird so verfahren, daß die Originalzeitreihe einer Fourier Transformation unterzogen wird (vgl. 4.1.2 Die Berechnung der Leistungsspektren für Respirogramm und Zeitreihe der instantanen Herzfrequenz ). Als Resultat erhält man zu den Frequenzorten einen Amplitudenwert, der einer komplexen Zahl entspricht, die neben der Amplitude auch die Phase charakterisiert. Um die Phasen zu randomisieren, wird jeder komplexe Amplitudenwert mit folgendem Term multipliziert:

Dabei ist der Faktor phis unabhängig für jede Frequenz aus dem Intervall [0, 2pi] auszuwählen. Letztlich ergibt sich nach Rückführung in den Zeitbereich eine Zeitreihe an Surrogate-Daten.

Jede Originalzeitreihe der Herzfrequenz und des thorakalen Respirogramms wurde zehn mal diesem Prozeß unterworfen, so daß zehn Surrogate-Zeitreihen entstanden. Von diesen konstruierten Zeitreihen wurde anschließend LLE und D2R-R bzw. D2resp berechnet. Nach Theiler et al. gelten die berechneten Werte der Korrelationsdimension wie auch des LLE als bestätigt, falls ein statistisch signifikanter Unterschied zwischen Original- und Surrogate-Daten besteht [ 108 ]. Hierfür wurde ein t-Test angewendet.


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4.3. Methoden zur statistischen Absicherung

Da für jeden Probanden mehrere Zeitreihen sowohl für den Wachzustand als auch für den REM- und nonREM-Schlaf vorliegen, wurden von jeder Zeitreihe die angeführten linearen wie nichtlinearen Parameter berechnet und anschließend das arithmetische Mittel für jedes der drei Vigilanzstadien eines jeden Probanden bestimmt. Folglich gehen in die statistischen Testverfahren die im Wachzustand, nonREM- und REM-Schlaf gefundenen Mittelwerte eines jeden der 42 Probanden ein.

Grundlage der im folgenden angeführten Statistik sind nichtparametrische Tests, deren Vorteil darin gelegen ist, daß sie keine Normalverteilung der Daten voraussetzen [ 8 ]. Die Verteilung der gewonnenen Parameter wird durch Box-Whiskers-Diagramme angegeben. Die Box verjüngt sich zum Medianwert hin. Die Verjüngung selbst kennzeichnet das untere und obere Quartil. Begrenzt wird die Box von dem 10 Prozent Quantil unten und dem 90 Prozent Quantil oben. Die von der Box abgehenden senkrechten Linien stellen 5 und 95 Prozent Quantil dar. Für jedes Vigilanzstadium wurde das arithmetische Mittel und die Standardabweichung errechnet.

Ob eine Abhängigkeit eines Parameters vom Vigilanzstadium besteht, wurde mit der Varianzanalyse (ANOVA) nach Friedman für verbundene Stichproben überprüft [ 114 ]. Ergab dies eine signifikante Abhängigkeit des Parameters von der Vigilanz, wurde mittels Rangsummentest nach Wilcoxon für zwei verbundene Stichproben getestet, zwischen welchen Stadien die Unterschiede bestehen. Die Nullhypothese wurde abgelehnt, wenn der ermittelte p-Wert unter 0.05 lag. Somit beträgt die Irrtumswahrscheinlichkeit alpha weniger als fünf Prozent.

Mittels der angeführten statistischen Test können die drei betrachteten Vigilanzstadien hinsichtlich bestimmter Parameter gegeneinander abgegrenzt werden. Damit bleibt allerdings offen, ob aus einer Kombination an Parametern auf das Vigilanzstadium rückgeschlossen werden kann. Mit der Diskriminanzanalyse steht ein Verfahren zur Verfügung, welches überprüft, wie gut ein Stadium durch eine gegebene Kombination charakterisiert ist. Die Grundlage hierfür bilden Kovarianzmatrizen innerhalb der Stadien, aufgrund deren kanonische Diskriminanzfunktionen berechnet werden [ 120 ]. Dabei kann weiterhin quantifiziert werden, wie stark einzelne Parameter innerhalb der Kombination den Verlauf der kanonischen Diskriminanzfunktionen bestimmen. Um eine Redundanz in der Parameterkombination zu vermeiden, wurden nur diejenigen Parameter berücksichtigt, welche nicht voneinander ableitbar sind: IHR , LF , HF , Cmax , D2R-R , LLE , fresp und D2resp .

Desweiteren ist bekannt, daß zahlreiche kardiovasculäre Parameter neben einer circadianen auch einer ultradianen Rhythmik folgen [ 32 ]. Deshalb wurde überprüft, für wie hoch die


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Stabilität der bestimmten Parameter innerhalb eines der drei Vigilanzstadien anzusehen ist. Für jedes Vigilanzstadium wurden drei Zeitintervalle festgelegt ( Tab. 4.3 ), innerhalb derer das für jeden Probanden berechnete arithmetische Mittel in die Analyse einging. Aufgrund der individuell unterschiedlichen Einschlaf- und Erwachenszeit wurden die Intervalle so festgelegt, daß Beginn der Schlaf- und Ende der Wachphase ausgeschlossen wurden.

Tab. 4.3: Angabe der Zeitintervalle für jedes Vigilanzstadium aus deren Vergleich die Parameterstabilität beurteilt wurde. Beginn und Ende der Wach- und Schlafphase wurden ausgeschlossen. Ursache dafür sind die interindividuellen Differenzen im Beginn des Schlafes und in der Erwachenszeit.

Stadium \ Intervall

I

II

III

Wach

09.30 - 12.30 Uhr

12.30 - 16.30 Uhr

16.30 - 19.30 Uhr

NonREM

21.30 - 00.30 Uhr

00.30 - 03.30 Uhr

03.30 - 06.30 Uhr

REM

21.30 - 00.30 Uhr

00.30 - 03.30 Uhr

03.30 - 06.30 Uhr

Der Überprüfung der Parameterstabilität wurde folgendes Vorgehen zugrundegelegt: Mit der Friedman-ANOVA wurde getestet, ob eine signifikante Abhängigkeit eines Parameters von der Tageszeit innerhalb des analysierten Vigilanzstadiums bestand. Der Wilcoxon-Test wurde angewandt, um zu zeigen, ob zwischen dem Zeitintervall I und II oder II und III ein Unterschied liegt.

Für die Untersuchung, ob einzelne Parameter eine Altersabhängigkeit zeigen, wurde der Korrelationskoeffizient bestimmt.


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Wed Jun 23 13:36:42 1999