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Dissertation

Autor(en): Mira Schedensack
Titel: A class of mixed finite element methods based on the Helmholtz decomposition in computational mechanics
Gutachter: Carsten Carstensen; Daniele Boffi; Daya Reddy
Erscheinungsdatum: 26.06.2015
Volltext: pdf (urn:nbn:de:kobv:11-100231322)
Fachgebiet(e): Mathematik
Schlagwörter (ger): nicht-konforme Finite-Elemente-Methoden, numerische Mechanik, Helmholtz-Zerlegung, adaptive Finite-Elemente-Methoden
Schlagwörter (eng): non-conforming finite element methods, computational mechanics, Helmholtz decomposition, adaptive finite element methods
Einrichtung: Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät
Lizenz: Namensnennung - Keine kommerzielle Nutzung - Keine Bearbeitung (CC BY NC ND)
Zitationshinweis: Schedensack, Mira: A class of mixed finite element methods based on the Helmholtz decomposition in computational mechanics; Dissertation, Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät , publiziert am 26.06.2015, urn:nbn:de:kobv:11-100231322
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Abstract (ger):
Diese Dissertation verallgemeinert die nichtkonformen Finite-Elemente-Methoden (FEMn) nach Morley und Crouzeix und Raviart durch neue gemischte Formulierungen für das Poisson-Problem, die Stokes-Gleichungen, die Navier-Lamé-Gleichungen der linearen Elastizität und m-Laplace-Gleichungen der Form $(-1)^m\Delta^m u=f$ für beliebiges m=1,2,3,... Diese Formulierungen beruhen auf Helmholtz-Zerlegungen. Die neuen Formulierungen gestatten die Verwendung von Ansatzräumen beliebigen Polynomgrades und ihre Diskretisierungen stimmen für den niedrigsten Polynomgrad mit den genannten nicht-konformen FEMn überein. Auch für höhere Polynomgrade ergeben sich robuste Diskretisierungen für fast-inkompressible Materialien und Approximationen für die Lösungen der Stokes-Gleichungen, die punktweise die Masse erhalten. Dieser Ansatz erlaubt außerdem eine Verallgemeinerung der nichtkonformen FEMn von der Poisson- und der biharmonischen Gleichung auf m-Laplace-Gleichungen für beliebiges m>2. Ermöglicht wird dies durch eine neue Helmholtz-Zerlegung für tensorwertige Funktionen. Die neuen Diskretisierungen lassen sich nicht nur für beliebiges m einheitlich implementieren, sondern sie erlauben auch Ansatzräume niedrigster Ordnung, z.B. stückweise affine Polynome für beliebiges m. Hat eine Lösung der betrachteten Probleme Singularitäten, so beeinträchtigt dies in der Regel die Konvergenz so stark, dass höhere Polynomgrade in den Ansatzräumen auf uniformen Gittern dieselbe Konvergenzrate zeigen wie niedrigere Polynomgrade. Deshalb sind gerade für höhere Polynomgrade in den Ansatzräumen adaptiv generierte Gitter unabdingbar. Neben der A-priori- und der A-posteriori-Analysis werden in dieser Dissertation optimale Konvergenzraten für adaptive Algorithmen für die neuen Diskretisierungen des Poisson-Problems, der Stokes-Gleichungen und der m-Laplace-Gleichung bewiesen. Diese werden auch in den numerischen Beispielen dieser Dissertation empirisch nachgewiesen.
Abstract (eng):
This thesis generalizes the non-conforming finite element methods (FEMs) of Morley and Crouzeix and Raviart by novel mixed formulations for the Poisson problem, the Stokes equations, the Navier-Lamé equations of linear elasticity, and mth-Laplace equations of the form $(-1)^m\Delta^m u=f$ for arbitrary m=1,2,3,... These formulations are based on Helmholtz decompositions. The new formulations allow for ansatz spaces of arbitrary polynomial degree and its discretizations coincide with the mentioned non-conforming FEMs for the lowest polynomial degree. Also for higher polynomial degrees, this results in robust discretizations for almost incompressible materials and approximations of the solution of the Stokes equations with pointwise mass conservation. Furthermore this approach also allows for a generalization of the non-conforming FEMs for the Poisson problem and the biharmonic equation to mth-Laplace equations for arbitrary m>2. A new Helmholtz decomposition for tensor-valued functions enables this. The new discretizations allow not only for a uniform implementation for arbitrary m, but they also allow for lowest-order ansatz spaces, e.g., piecewise affine polynomials for arbitrary m. The presence of singularities usually affects the convergence such that higher polynomial degrees in the ansatz spaces show the same convergence rate on uniform meshes as lower polynomial degrees. Therefore adaptive mesh-generation is indispensable especially for ansatz spaces of higher polynomial degree. Besides the a priori and a posteriori analysis, this thesis proves optimal convergence rates for adaptive algorithms for the new discretizations of the Poisson problem, the Stokes equations, and mth-Laplace equations. This is also demonstrated in the numerical experiments of this thesis.
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