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Dissertation

Autor(en): Walter Gómez-Bofill
Titel: Über einparametrische Optimierungsprobleme (spezielle Einbettungen) und einparametrische Variationsgleichungen
Gutachter: D. Pallaschke; H. T. Jongen; J. Guddat
Erscheinungsdatum: 28.01.1999
Volltext: pdf (urn:nbn:de:kobv:11-1009011)
ps (urn:nbn:de:kobv:11-1009022)
Fachgebiet(e): Mathematik
Einrichtung: Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II
Zitationshinweis: Gómez-Bofill, Walter: Über einparametrische Optimierungsprobleme (spezielle Einbettungen) und einparametrische Variationsgleichungen; Dissertation, Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II , publiziert am 28.01.1999, urn:nbn:de:kobv:11-1009022
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Abstract (ger):
In dieser Arbeit werden zwei parametrische Aufgaben untersucht, Optimierungsprobleme und Variationsungleichungen. Beide Probleme werden unter der urspruenglich fuer einparametrische Optimierungsprobleme definierten Regularitaet im Sinne von Jongen, Jonker und Twilt betrachtet. Unter der oben genannten Regularitaet bezueglich Optimierungsproblemen werden zwei spezielle Einbettungen studiert. Ausgehend von der Kenntnis eines inneren Punktes des zulaessigen Bereiches eines Optimierungsproblems P wird eine Einbettung definiert, deren parametrische zulaessige Menge fuer t<1 in Inneren von P ist. Fuer t=0 ist die Loesung trivial und fuer t=1 wird das Problem P erzeugt. Die Erreichbarkeit des Parameterwertes t=1 bei der Benutzung von Kurvenverfolgungsverfahren mit Spruengen wird eroertert. Durch die Unterscheidung der verschiedenen Richtungen in t, in denen ein Rueckkehrpunkt auftreten kann, wird bewiesen, dass die genannte Methode erfolgreich ist (bei erfolgreichen Spruengen). Fuer diese Einbettung wird die Voraussetzung der Regularitaet untersucht und ein Rechtfertigungssatz bewiesen. Durchgefuehrt wird ein kurzer Vergleich mit einer aehnlichen Homotopie in der Literatur. Fuer die zweite untersuchte Einbettung (eine Penalty-Einbettung aus der Literatur) wird ein Satz zur Rechtfertigung der Regularitaetsvoraussetzung bewiesen. Die Regularitaet im Sinne von Jongen, Jonker und Twilt wird fuer den Fall von Variationsungleichungen definiert und die 5 Typen neu beschrieben. Die Unterschiede zu den Typen bei Optimierungsproblemen ergeben sich aus der Tatsache, dass die Symmetrie der Hessematrix der Lagrangefunktion bezueglich x verloren geht. Das erfordert die sorfaeltige Umformulierung einiger Bedingungen. Auss erdem musste bei den Beweisen der lokalen Eigenschaften (geometrische Struktur, Aenderung der charakteristischen Groessen) diese neue Situation beruecksichtigt werden. Ebenfalls wird der generische Charakter dieser Regularitaet nachgewiesen. Aussagen ueber die Existenz verbindender Kurven zwischen t=0 und t=1 unter der Voraussetzung der Regularitaet werden angefuehrt. Die gesamte Betrachtung der genannten Regularitaet fuer einparametrische Variationsungleichungen und die daraus resultierenden Schluss folgerungen liefern einen nuetzlichen Beitrag zur Untersuchung von Variationsungleichungen.
Abstract (eng):
We consider two types of one-parametric problems: optimization problems and variational inequalities. Both are studied in relationship with the regularity approach due to Jongen, Jonker and Twilt (JJT-regularity), which was defined initially only for one-parametric optimization problems. The properties of two special embeddings are analysed under the assumption of JJT-regularity. Given an optimization problem P, the first embedding analysed is defined with use of an interior point of the feasible set. It holds for this embedding, that the parametric feasible set for t<1 is inside the interior feasible set of P. For t=0 is the solution of the problem trivial and for t=1 is P obtained. The possibility to arrive t=1 with use of pathfollowing procedures with jumps is also studied. The classification of the feasible position of turning points in t allows us to show, that such procedures are always succesfull (for succesfully jumping). The assumption of JJT-regularity is basic for this result and is studied, and justified with a result about its genericity. Another Homotopy with similar definition as our embedding is analysed and conditions for convergence are compared. The second embedding analysed is from a penalty approach. The assumption of regularity is in this case also justified with a genericity result. For the case of variational inequalities we extend the JJT-regularity. The five types (nondegeneracy and 4 singularities) are defined in this new context. The main diferences are given by the lack of symmetry for the Hessian (with respect to x) of the Lagrangian function. This difficulty must be carefully attended in the definition of the conditions for singularities and in the proof of the fundamental local properties of critical sets around singularities (geometric structure, changes of characteristic numbers). The generic character of this new regularity is proved in a local->global approach. Statements concerning the existence of solution curves connecting problems (for instance t=0 and t=1) under the defined regularity are studied in the last section. The consideration of JJT-regularity for the case of variational inequalities is a new and usefull aspect for the study of this problem.
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Generiert am 30.07.2014, 03:00:01