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Dissertation

Autor(en): Michael Jähnisch
Titel: Asymptotische Aequivalenz fuer ein Modell unabhaengiger nicht identisch verteilter Daten
Erscheinungsdatum: 1999
Volltext: ps (urn:nbn:de:kobv:11-1009112)
Fachgebiet(e): Mathematik
Schlagwörter (ger): Defizienz Abstand, Nichtparametrische Dichteschaetzung, Allgemeines Regressionsmodell, Ungarische Konstruktion
Schlagwörter (eng): Deficiency Distance, Nonparametric Density Estimation, General Regression Model, Hungarian Construction
Einrichtung: Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II
Zitationshinweis: Jähnisch, Michael: Asymptotische Aequivalenz fuer ein Modell unabhaengiger nicht identisch verteilter Daten; Dissertation, Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II , publiziert am 1999,
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Abstract (ger):
Die Dissertation ``Asymptotische \Äquivalenz f\ür ein Modell unabh\ängiger nicht identisch verteilter Daten'' besch\äftigt sich mit der Le Camschen Theorie der Experimente. Le Cam hat den sogenannten $\Delta$-Abstand zwischen statistischen Experimenten definiert; ist dieser Abstand f\ür zwei Modelle klein, so sind ihre statistischen Eigenschaften \ähnlich. Zwei Folgen von Experimenten nennt man asymptotisch \äquivalent, falls ihr $\Delta$-Abstand gegen Null konvergiert.\\ In dieser Arbeit beweisen wir asymptotische \Äquivalenz zwischen einem Modell mit unabh\ängigen, nicht identisch verteilten Beobachtungen und einem Gaußschen Shift-Modell. Die i-te Beobachtung des ersten Experimentes ist dabei gem\äß einer Dichte $h(i/n,.)$ verteilt, wobei die Funktion h eine Schar von Dichten bildet. Wir approximieren also ein kompliziertes statistisches Experiment durch ein einfacheres, n\äymlich ein Gaußsches Shift-Modell. Die Dichten h geh\ören einer Menge h\ölderstetiger Funktionen an, so daß wir es mit einem nichtparametrischen Problem zu tun haben. Das von uns bewiesene \Äquivalenzresultat kann auch als eine nichtparametrische Version der ebenfalls von Le Cam eingef\ührten LAN Bedingung aufgefaßt werden. Ein wichtiges Hilfsmittel zum Beweis des oben beschriebenen Resultats ist das sogenannte Coupling von stochastischen Prozessen, d.h. die Konstruktion solcher Prozesse auf einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum, so daß die Prozesse nahe beieinander liegen. Im zweiten Teil der Arbeit beweisen wir eine funktionale Version eines solchen Coupling Resultats f\ür den sequentiellen empirischen Prozeß und den Kiefer-M\üller Prozeß unter Verwendung der sogenannten Ungarischen Konstruktion.
Abstract (eng):
The thesis "Asymptotic Equivalence of Experiments for a Model with Independent and Nonidentically distributed Observations" deals with the theory of experiments that was developped by Le Cam. \\ Le Cam defined the so called $\Delta$-distance between experiments. If this distance is small for two given models it means that their statistical properties are similar. We call two sequences of experiments asymptotic equivalent if their $\Delta$-distance converges to zero.\\ In this thesis we prove asymptotic equivalence between a model with independent and nonidentically distributed observations and a Gaussian shift model. The i-th observation in the first model is distributed according to a density $h(i/n,.)$ where $h$ is a bunch of densities on the unit interval. This means that we approximate a complicated statistical experiment by a simpler one, namely a Gaussian shift model. The densites h belong to a H\"older ball such that we have a nonparametric problem. Our result can also be viewed as a nonparametric version of the LAN property which was also defined by Le Cam. An important tool for proving our result is the coupling of stochastic processes, i.e. the construction of processes on a common probability space such that they are close in a strong sense. In the second part of the thesis we prove a functional version of such a coupling result for the sequential empirical process and the Kiefer-M\"uller process by using the Hungarian construction.
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