| Autor(en): |
Andrej Ponomarenko |
Titel: |
Lösungsmethoden für Variationsungleichungen |
| Gutachter: |
B. Kummer; C. Großmann; D. Klatte |
| Erscheinungsdatum: |
31.01.2003 |
| Volltext: |
pdf
(urn:nbn:de:kobv:11-10018737)
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| Fachgebiet(e): |
Mathematik |
| Schlagwörter (ger): |
Kojima-Funktion, NCP-Funktion, Barrieremethode, Strafmethode, veralgemeinerte Newton-Verfahren, nichtglatte Analysis, Stationaere Loesungen, Regularitaet, Variationsungleichungen, Komplementaritaetsproblem, Stoerung |
| Schlagwörter (eng): |
regularity, Kojima-function, NCP-function, barrier-method, penalty-method, generalized Newton method, nonsmooth equations, stationary points, variational inequalities, complementarity problem, perturbation. |
| Einrichtung: |
Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II |
| Zitationshinweis: |
Ponomarenko, Andrej:
Lösungsmethoden für Variationsungleichungen;
Dissertation,
Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II , publiziert am 31.01.2003, urn:nbn:de:kobv:11-10018737
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| Abstract (ger): |
| Zusammenfassung
Diese Arbeit ist ein Versuch, verschiedene klassische und neuere Methodender glatten bzw. nichtglatten Optimierung zu verallgemeinern und in ihrem Zusammenhang darzustellen. Als Hauptinstrument erweist sich dabei die sogenannte verallgemeinerte Kojima-Funktion. Neben reichlichen Beispielen setzen wir einen besonderen Akzent auf die Betrachtung von Variationsungleichungen, Komplementaritaetsaufgaben und der Standartaufgabeder mathematischen Programmierung.
Unter natuerlichen Voraussetzungen an diese Probleme kann man u.a. Barriere-, Straf- und SQP-Typ-Methoden, die auf Newton-Verfahrenbasieren, aber auch Modelle, die sogenannte NCP-Funktionen benutzen, mittelsspezieller Stoerungen der Kojima-Funktion exakt modellieren. Daneben werdendurch explizite und natuerliche Wahl der Stoerungsparameter auch neue Methoden dieser Arten vorgeschlagen. Die Vorteile solcher Modellierungsind ueberzeugend vor allem wegen der direkt moeglichen (auf Stabilitaetseigenschaften der Kojima-Gleichung beruhendenden)Loesungsabschaetzungen und weil die entsprechenden Nullstellen ziemlich einfach als Loesungen bekannter Ersatzprobleme interpretiert werden koennen.
Ein weiterer Aspekt der Arbeit besteht in der genaueren Untersuchungder "nichtglatten Faelle". Hier wird die Theorie von verschiedenen verallgemeinerten Ableitungen und dadurch entstehenden verallgemeinerten Newton-Verfahren, die im Buch "Nonsmooth Equations in Optimization" von B. Kummer und D. Klatte vorgeschlagen und untersucht wurde, intensiv benutzt. Entscheidend ist dabei, dass die benutzten verallgemeinerten Ableitungen auch praktisch angewandt werden koennen, da man sie exakt ausrechnen kann. |
| Abstract (eng): |
| This work attempts to generalize various classical and new methods of smooth or nonsmooth optimization and to show them in their interrelation. The main tool for doing this is the so-called generalized Kojima-function. In addition to numerous examples we specialy emphasize the consideration of variational inequalities, complementarity problems and the standard problem of mathematical programming.
Under natural assumptions on these problems we can model e.g. barrier-, penalty-, and SQP-Type-methods basing on Newton methods, and also methods using the so-called NCP-function exactly by means of special perturbations of the Kojima-function. Furthermore, by the explicit and natural choice of the perturbation parameters new methods of these kinds are introduced. The benefit of such a modelling is obvious, first of all due to the direct solution estimation (basing on stability properties of the Kojima-equation) and because the corresponding zeros can easily be interpreted as solutions of known subproblems.
A further aspect considered in this paper is the detailed investigation of "nonsmooth cases". The theory of various generalized derivatives and resulting generalized Newton methods, which is introduced and investigated in the book "Nonsmooth Equations in Optimization" of B. Kummer and D. Klatte, is intensely used here. The crucial point is the applicability of the used generalized derivatives in practice, since they can be calculated exactly. |
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