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Band einer Schriftenreihe

Autor(en): Joachim Naumann
Titel: Transformation of Lebesgue Measure and Integral by Lipschitz Mappings
Erscheinungsjahr: 2005
Erschienen in: Preprints aus dem Institut für Mathematik  8 (Mathematik-Preprints)
ISSN: 0863-0976
Volltext: pdf (urn:nbn:de:kobv:11-10051810)
Fachgebiet(e): Mathematik
Schlagwörter (eng): Implicit function theorems, Jacobians, transformations with several variables, None of the above, but in this section
Herausgeber: Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II, Institut für Mathematik
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Abstract (eng):
We first show that {\sc Lipschitz} mappings transform measurable sets into measurable sets. Then we prove the following theorem:\par {\it Let $E\subseteq \mathbb{R}^n$ be open, and let $\phi: E\to\mathbb{R}^n$ be continuous. If $\phi$ is differentiable at $x_0\in E$, then} \[ \lim\limits_{r\to 0} \dfrac{\lambda_n(\phi(B_r(x_0)))}{\lambda_n(B_r)} = \Big| \det\phi'(x_0)\Big|. \] From this result the change of variables formula for injective and locally {\sc Lipschitz} mappings is easily derived by using the {\sc Radon-Nikodym} theorem. We finally discuss the transformation of $L^p$ functions by {\sc Lipschitz} mappings.
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Generiert am 18.05.2013, 16:01:24