| Autor(en): |
Michael Herrmann |
Titel: |
Ein Mikro-Makro-Übergang für die nichtlineare atomare Kette mit Temperatur |
| Erscheinungsdatum: |
19.10.2005 |
| Volltext: |
pdf
(urn:nbn:de:kobv:11-10053448)
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| Fachgebiet(e): |
Mathematik |
| Schlagwörter (ger): |
atomare Kette, thermodynamischer Limes, Traveling Waves, Modulationsgleichungen |
| Schlagwörter (eng): |
atomic chain, thermodynamic limit, traveling waves, modulation equations |
| Einrichtung: |
Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II |
| Zitationshinweis: |
Herrmann, Michael:
Ein Mikro-Makro-Übergang für die nichtlineare atomare Kette mit Temperatur;
Dissertation,
Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II , publiziert am 19.10.2005, urn:nbn:de:kobv:11-10053448
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| Abstract (ger): |
| Diese Arbeit betrachtet einen Mikro-Makro-Übergang für die
atomare Kette mit Wechselwirkungen zwischen nächsten
Nachbarn, deren Dynamik durch ein nichtlineares aber konvexes
Wechselwirkungspotential und durch die Newtonschen Bewegungsgleichungen
bestimmt ist. Um einen Mikro-Makro-Übergang zu etablieren, wählen wir
eine geeignete Skalierung und lassen die Zahl der Teilchen gegen
Unendlich laufen. Dabei steht der Fall mit Temperatur im Vordergrund,
so dass auf der makroskopischen Skala mikroskopische Oszillationen
beschrieben werden müssen. Nach einer Einführung werden im zweiten
Kapitel die Grundlagen der atomaren Kette zusammengefasst, und die
wesentlichen Probleme beim Mikro-Makro-Übergang mit Temperatur
diskutiert. Dabei wird besonders auf die Skalierung, die mikroskopischen
Anfangsdaten und die Beschreibung der mikroskopischen Oszillationen
eingegangen. Im dritten Kapitel werden so genannte Traveling-Waves
betrachtet: Das sind exakte, hochgradig symmetrische Lösungen der
atomaren Kette, die generisch von vier Parametern abhängen, und die
als Lösungen von Differenzen-Differentialgleichungen bestimmt werden.
Im Einzelnen werden die Existenz von Traveling-Waves, ihre
thermodynamischen Eigenschaften und ihre Approximierbarkeit untersucht.
Im vierten Kapitel werden modulierte Traveling-Waves betrachtet,
mit deren Hilfe dann makroskopische Modulationsgleichungen abgeleitet
werden. Diese lassen sich als die Erhaltungssätze für Masse, Impuls,
Wellenzahl und Entropie interpretieren. Anschließend wird das
Rechtfertigungsproblem diskutiert und für einen Spezialfall auch
gelöst. Im fünften Kapitel werden numerische Simulationen von
Anfangswertproblemen, unter anderem Riemann--Probleme, ausführlich
untersucht, wobei die Strukturuntersuchung der auftretenden
mikroskopischen Oszillationen im Vordergrund steht.
Es zeigt sich, dass die mikroskopischen Oszillationen in vielen
Fällen durch modulierte Traveling-Waves beschrieben werden können.
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| Abstract (eng): |
| The subject matter of this thesis is a micro-macro transition for the
atomic chain with nearest neighbor interaction. The interaction
potential is assumed to be nonlinear but convex, and the dynamics of
the chain is governed by Newton''s law of motion. To establish the
micro-macro transition we choose an appropriate scaling, and let the
number of particles tend to infinity. We mainly concentrate on the
case with temperature, and therefore we have to describe microscopic
oscillations on the macroscopic scale. We start with an introduction
in the first chapter. Afterwards in the second chapter we summarize
the basics of the atomic chain, and discuss the most important
problems concerning a micro-macro transition with temperature. In
particular we emphasize the scaling, the microscopic initial data,
and the description of the microscopic oscillations. In the third
chapter we consider traveling waves: These are highly symmetric
solutions of the atomic chain depending on four parameters, and they
result as solutions of difference-differential equations. We study
the existence of traveling waves, their thermodynamic properties,
and we derive schemes for their approximation. The fourth chapter
is devoted to modulated traveling waves, because they allow to
derive macroscopic modulation equations. These modulation equations
can be interpreted as the macroscopic conservations laws for mass,
momentum, wave number and entropy. Afterwards we discuss the
justification problem, which is moreover solved for a special
example. Within the fifth chapter we investigate several numerical
simulations of initial value problems for the atomic chain including
some Riemann problems. We mainly focus on the structure of the
resulting microscopic oscillations, and we will identify many
situations in which the microscopic oscillations can be described in
terms of modulated traveling waves.
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