| Autor(en): |
Paulo Mbunga |
Titel: |
Ein einparametrischer Zugang zur Lösung von Vektoroptimierungsproblemen in halbgeordneten endlichdimensionalen Räumen |
| Gutachter: |
Christian Tammer; Jan-J. Rückmann; Jürgen Guddat |
| Erscheinungsdatum: |
13.07.2007 |
| Volltext: |
pdf
(urn:nbn:de:kobv:11-10078870)
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| Fachgebiet(e): |
Mathematik |
| Schlagwörter (ger): |
Vektoroptimierung, Parametrische Optimierung, Kurvenverfolgungsmethoden, streng monoton wachsend skalarisierende Funktion, strukturelle Stabilität |
| Schlagwörter (eng): |
Multiobjective optimization, parametric optimization, pathfollowing methods, strongly monotonically increasing function, structural stability |
| Einrichtung: |
Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II |
| Zitationshinweis: |
Mbunga, Paulo:
Ein einparametrischer Zugang zur Lösung von Vektoroptimierungsproblemen in halbgeordneten endlichdimensionalen Räumen;
Dissertation,
Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II , publiziert am 13.07.2007, urn:nbn:de:kobv:11-10078870
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| Abstract (ger): |
| Im Mittelpunkt unserer Untersuchungen steht das mehrkriterielle Optimierungsproblem,
in einer beliebigen nichtleeren Menge eines halbgeordneten endlich dimensionalen
Raumes. Zu dessen Lösung betrachten wir ein Dialogverfahren, in dem der
Entscheidungsträger in jedem Schritt seine Wünsche äußert. Bei der Bestimmung einer
Lösung, die den Entscheidungsträger zufriedenstellt, müssen wir ein im Allgemeinen
nichtkonvexes und nicht triviales skalares Optimierungsproblem lösen. Zur Lösung
dieses Problems haben wir zwei Klassen einparametrischer Optimierungsprobleme
(Einbettungen) konstruiert. Mit Hilfe der Projektion auf den konvexen Ordungskegel
haben wir gezeigt, dass diese Einbettungen wohldefiniert sind. Im Gegensatz zu der
in der Literatur untersuchten Standardeinbettung, sind die in dieser Arbeit
betrachteten Einbettungen durch die Skalarisierungen der Vektoroptimierungsprobleme
mittels streng monotoner skalarisierender Funktionen motiviert. Diese Untersuchung
wird unter dem Gesichtspunkt der Theorie der einparametrischen Optimierungsprobleme
für den Fall eines beliebigen spitzen polyedrischen Ordnungskegels durchgeführt.
Sie umfasst z.B. Fragestellungen nach der Art der Singularitäten, die für die
verschiedenen Einbettungen auftreten können, nach den Bedingungen, unter denen eine
Zusammenhangskomponente in der Menge stationärer oder verallgemeinerter kritischer
Punkte mit Hilfe von Kurvenverfolgungsmethoden numerisch beschrieben werden kann
und nach den hinreichenden Bedingungen für die Existenz einer Lösungskurve.
Anschließend haben wir das von Guddat und Jongen eingeführte Konzept der
strukturellen Stabilität eines skalaren Optimierungsproblems in der Vektoroptimierung
verallgemeinert und einen Zusammenhang zur strukturellen Stabilität eines
Minimaxproblems erstellt. Dieses Minimaxproblem steht in starker Beziehung zur
Skalarisierungsmethode der Vektoroptimierungsprobleme.
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| Abstract (eng): |
| In this work we consider the multiobjective optimization in a subset of a partially
orded finite dimensional space. In order to solve this problem we use a dialogue
procedure in which the decision maker has to determine in each step the aspiration
and reservation level expressing his wishes (goals). This leads to an optimization
problem which is not easy to solve in the nonconvex case. We solve it proposing two
classes of one-parametric optimization problems (embeddings). Using the projection
in the ordering cone, we show that these embeddings are well defined, i.e. the
corresponding constraint sets depending on real-valued parameters are not empty.
Contrary to the very known standard embedding the proposed embeddings are motivated
by the use of strongly monotonically increasing functions, which play an important
role by the scalarization of multiobjective optimization problems. The two classes
of embeddings are investigated from the point of view of parametric optimization
considering a pointed polyhedral cone. This investigation includes the determination
of the kind of singularities which can appear, the conditions under which a connected
component in the set of stationary or generalized critical point can be numerically
described using pathfollowing methods and a solution curve may exist. Finally, we
extend the concept of structural stability by Guddat and Jongen to the multiobjective
optimization problems and establish a connection to the problem of Minimax type,
which is related to the scalarization of multiobjective optimization problems.
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