| Autor(en): |
Dierk Peithmann |
Titel: |
Large deviations and exit time asymptotics for diffusions and stochastic resonance |
| Gutachter: |
Peter Imkeller; Ludwig Arnold; Michael Scheutzow |
| Erscheinungsdatum: |
10.12.2007 |
| Volltext: |
pdf
(urn:nbn:de:kobv:11-10083968)
|
| Fachgebiet(e): |
Mathematik |
| Schlagwörter (ger): |
grosse Abweichungen, stochastische Resonanz, Austrittszeiten, selbststabilisierende Diffusionen |
| Schlagwörter (eng): |
large deviations, stochastic resonance, exit times, self-stabilizing diffusions |
| Einrichtung: |
Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II |
| Zitationshinweis: |
Peithmann, Dierk:
Large deviations and exit time asymptotics for diffusions and stochastic resonance;
Dissertation,
Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II , publiziert am 10.12.2007, urn:nbn:de:kobv:11-10083968
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| Abstract (ger): |
| Diese Arbeit behandelt die Asymptotik von Austritts- und Übergangszeiten für
gewisse schwach zeitinhomogene Diffusionsprozesse. Darauf basierend wird ein
probabilistischer Begriff der stochastischen Resonanz (SR) studiert. Techniken
der großen Abweichungen spielen eine zentrale Rolle.
Im ersten Teil der Arbeit (Kapitel 1-3) werden Resultate aus der Theorie der
großen Abweichungen für zeithomogene Diffusionen rekapituliert. Es werden die
klassischen Resultate von Freidlin und Wentzell und Erweiterungen dieser
Theorie präsentiert, und es wird an das Kramers''sche Austrittszeitengesetz
erinnert.
Teil II befasst sich mit dem Phänomen der SR, d.h. mit
Periodizitätseigenschaften von Diffusionen. In Kapitel 4 werden physikalische
Maße zur Messung der Periodizität diskutiert. Deren Nachteile legen es nahe,
einem alternativen, probabilistischen Ansatz zu folgen, der hier behandelt
wird. Das 5. Kapitel dient der Herleitung eines gleichmäßigen Prinzips der
großen Abweichungen für Diffusionen mit schwach zeitabhängigem, periodischem
Drift. Die Gleichmäßigkeit des Prinzips ermöglicht die exakte Bestimmung
exponentieller Übergangsraten in Kapitel 6, das die zentralen Ergebnisse des 2.
Teils beinhaltet. Hierdurch wird die Maximierung gewisser
Übergangswahrscheinlichkeiten ermöglicht, was zum in Kapitel 7 studierten
Resonanzbegriff führt.
Teil III der Arbeit setzt sich mit der Asymptotik von Austrittszeiten
sogenannter selbststabilisierender Diffusionen auseinander. In Kapitel 8 wird
der Zusammenhang zwischen interagierenden Teilchensystemen und
selbststabilisierenden Diffusionen erläutert und die Existenz- und
Eindeutigkeitsfrage behandelt. Das 9. Kapitel dient dem Studium der großen
Abweichungen dieser Klasse von Diffusionen. In Kapitel 10 wird das
Kramers''sche Austrittszeitengesetz auf selbststabilisierende Diffusionen
übertragen, und in Kapitel 11 wird der Einfluß der
selbststabilisierenden Komponente auf das Austrittszeitengesetz illustriert. |
| Abstract (eng): |
| In this thesis, we study the asymptotic behavior of exit and transition times
of certain weakly time inhomogeneous diffusion processes. Based on these
asymptotics, a probabilistic notion of stochastic resonance (SR) is
investigated. Large deviations techniques play the key role throughout this
work.
In the first part (Chapters 1-3) we recall the large deviations theory for time
homogeneous diffusions. We present the classical results due to Freidlin and
Wentzell and extensions thereof, and we remind of Kramers'' exit time law.
Part II deals with the phenomenon of stochastic resonance. That is, we study
periodicity properties of diffusion processes. In Chapter 4 we explain the
paradigm of stochastic resonance and discuss physical notions of measuring
periodicity of diffusions. Their drawbacks suggest to follow an alternative
probabilistic approach, which is treated in this work. In Chapter 5 we derive a
large deviations principle for diffusions subject to a weakly time dependent
periodic drift term. The uniformity of the obtained large deviations bounds
w.r.t. the system''s parameters plays a key role for the treatment of transition
time asymptotics in Chapter 6, which contains the main result of the second
part. The exact exponential transition rates obtained here allow for maximizing
transition probabilities, which finally leads to the announced probabilistic
notion of resonance studied in Chapter 7.
In the third part we investigate the exit time asymptotics of a certain class
of so-called self-stabilizing diffusions. In Chapter 8 we explain the
connection between interacting particle systems and self-stabilizing
diffusions, and we address the question of existence. The following Chapter 9
is devoted to the study of the large deviations behavior of these diffusions.
In Chapter 10 Kramers'' exit law is carried over to our class of
self-stabilizing diffusions. Finally, the influence of self-stabilization is
illustrated in Chapter 11.
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