| Autor(en): |
Robert Huth |
Titel: |
On a Fokker–Planck equation coupled with a constraint – analysis of a lithium-ion battery model |
| Gutachter: |
Alexander Mielke; Wolfgang Dreyer; Robert Denk |
| Erscheinungsdatum: |
09.08.2012 |
| Volltext: |
pdf
(urn:nbn:de:kobv:11-100203550)
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| Fachgebiet(e): |
Mathematik |
| Schlagwörter (ger): |
partielle Differentialgleichungen, nichtlineare Fokker-Planck Gleichung, Lithium-Ionen Batterie, semilineare parabolische Differentialgleichungen, Interpolationsräume, sektorielle Operatoren |
| Schlagwörter (eng): |
partial differential equations, nonlinear Fokker-Planck equation, lithium-ion battery, semilinear parabolic equations, interpolation spaces, sectorial operators |
| Einrichtung: |
Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II |
| Lizenz: |
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| Zitationshinweis: |
Huth, Robert:
On a Fokker–Planck equation coupled with a constraint – analysis of a lithium-ion battery model;
Dissertation,
Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II , publiziert am 09.08.2012, urn:nbn:de:kobv:11-100203550
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| Abstract (ger): |
| In dieser Arbeit untersuchen wir
zwei Modelle, die das Laden und Entladen einer
Lithium-Ionen Batterie beschreiben.
Beide Modelle spiegeln eine Hysterese
in dem Spannungs-Ladungs-Verlauf wider.
Wir skizzieren den Modellierungsprozess
von einem diskreten vielteilchen Modell
sowie einem kontinuierlichen vielteilchen Modell.
Das erste führt zu einer axiomatischen Beschreibung
der Evolution makroskopischer Größen,
während das zweite in eine nichtlineare Fokker-Planck
Gleichung mündet.
Wir zeigen die Existenz und Eindeutigkeit
von Lösungen der nichtlinearen Fokker-Planck Gleichung
und untersuchen deren qualitative Eigenschaften.
Wir benutzen Interpolationsräume und Halbgruppen
sektorieller Operatoren um den semilinearen
Charakter der partiellen Differentialgleichung auszunutzen.
Um globale Existenz zu erhalten,
schätzen wir die Dissipation einer
mit dem Modell verknüpften Energie ab.
Diese Energie ist verwandt mit der L-log-L Norm, welche wir
mithilfe einer Gagliardo-Nirenberg Ungleichung zu der L^2 Norm in Verbindung setzen können.
Die notwendigen und hinreichenden Bedingungen zur globalen Existenz von Lösungen
sind aus physikalischer Sicht plausibel.
Der Ladezustand der Batterie muss innerhalb der Werte
Voll und Leer sein.
In numerischen Experimenten
untersuchen wir das qualitative Verhalten von Lösungen.
Wir zeigen die Konvergenz der numerischen Lösungen
zu den exakten Lösungen.
Dafür nutzen wir ähnliche Techniken wie bei der lokalen Existenztheorie.
Wir beobachten die Tendenz
von Lösungen sich um bestimmte Punkte zu konzentrieren.
Unterstützt durch die formale Asymptotik zeigt dies
für eine bestimmte Wahl von
Parameter-Skalierungen,
dass Lösungen gegen Dirac-Maße konvergieren.
In diesem Grenzverhalten wird das System durch
die Evolution von makroskopischen Größen beschrieben,
welche wir auch in dem diskreten vielteilchen Modell wiederfinden.
In diesen makroskopischen Größen lässt sich eine Hysterese beobachten. |
| Abstract (eng): |
| We discuss two models which describe
the charging and discharging of a lithium-ion battery
and especially the hysteretical behaviour therein.
We give an overview on the modelling process for
a discrete many particle model and
a continuous many particle model.
The former results in an axiomatic description
of macroscopic quantities while the latter gives a
nonlinear Fokker-Planck equation.
The nonlinear Fokker-Planck equation
is analysed with respect to existence and
uniqueness of solutions as well as qualitative behaviour
of solutions.
The nonlinearity in this partial differential equation
stems from a coefficient which depends on the solution
first non-local and second in a higher order.
We use interpolation spaces and
semigroups generated from sectorial operators
to show the existence and uniqueness of solutions locally in time.
The global existence in time relies on
estimates for the dissipation of an energy.
The suitable energy is related to the L-log-L norm
and so a Gagliardo-Nirenberg inequality is needed
to connect this back to L^2 estimates.
It turns out that the conditions for global in
time existence of solutions are physical reasonable.
One needs that the loading state of the battery shall
stay between totally empty and totally full.
In numerical experiments we investigate
the qualitative behaviour of solutions to the nonlinear Fokker-Planck equation.
We are able to show convergence of the numerical solutions to the exact solution.
We observe that solutions tend to concentrate at certain points.
Supported by results from formal asymptotic expansions, we document
the limiting behaviour in a certain scaling of the appearing parameters,
which is the formation of Dirac measures.
The evolution of the global quantities, which we observe in numerical simulations,
is the same as what results from the discrete many particle model
and one observes hysteretic behaviour in macroscopic quantities. |
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