| Autor(en): |
Margherita Lelli-Chiesa |
Titel: |
Gieseker-Petri divisors and Brill-Noether theory of K3-sections |
| Gutachter: |
Marian Aprodu; Gavril Farkas; Daniel Huybrechts |
| Erscheinungsdatum: |
04.10.2012 |
| Volltext: |
pdf
(urn:nbn:de:kobv:11-100204810)
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| Fachgebiet(e): |
Mathematik |
| Schlagwörter (ger): |
Brill-Noether-Theorie, Algebraischen Kurven, K3-Flächen, Syzygien |
| Schlagwörter (eng): |
Brill-Noether theory, Algebraic Curves, K3 surfaces, Syzygies |
| Einrichtung: |
Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II |
| Lizenz: |
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| Zitationshinweis: |
Lelli-Chiesa, Margherita:
Gieseker-Petri divisors and Brill-Noether theory of K3-sections;
Dissertation,
Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II , publiziert am 04.10.2012, urn:nbn:de:kobv:11-100204810
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| Abstract (ger): |
| Diese Dissertation untersucht Brill-Noether-Theorie der algebraischen Kurven, unter
besonderer Berücksichtigung von Kurven auf K3-Flächen und Del-Pezzo-Flächen.
In Kapitel 2 studieren wir den Gieseker-Petri-Ort GP_g im Modulraum M_g der glatten
irreduziblen Kurven vom Geschlecht g. Dieser Ort wird definiert durch Kurven mit
einer Brill-Noether-Varietät G^r_d(C), die singulär ist oder deren Dimension größer
als erwartet ist. Der Satz von Gieseker-Petri impliziert, dass GP_g mindestens
Kodimension 1 hat, und es wurde vermutet, dass er von reiner Kodimension 1 ist. Wir
beweisen diese Vermutung für Geschlecht höchstens 13. Dies wird dadurch ermöglicht,
dass man für kleine Geschlechter die Dimension der irreduziblen Komponenten von GP_g
mittels "ad hoc"-Beweisführungen untersuchen kann.
Lazarsfelds Beweis des Gieseker-Petri-Theorems mittels Kurven auf allgemeninen
K3-Flächen deutet darauf hin, dass die Brill-Noether-Theorie von K3-Schnitten
wichtig ist, um den Gieseker-Petri-Ort besser zu verstehen. Linearscharen von
Kurven, die auf K3-Flächen liegen, stehen in tiefgehender Beziehung zu sogenannten
Lazarsfeld-Mukai-Vektorbündeln. In Kapitel 3 untersuchen wir die Stabilität der
Lazarsfeld-Mukai-Vektorbündel vom Rang 3 auf einer K3-Fläche S, und wir zeigen, dass
sie viele Informationen über Netze vom Typ g^2_d auf Kurven in S enthalten. Wenn d
größ genug ist, erhalten wir eine obere Schranke für die Dimension der Varietät
G^2_d(C). Wenn die Brill-Noether-Zahl negativ ist, beweisen wir, dass jedes g^2_d in
einer von einem Geradenbündel induzierten Linearschar enthalten ist, wie von Donagi
und Morrison vermutet wurde.
Kapitel 4 befasst sich mit Syzygien einer gegebenen Kurve C, die auf einer
Del-Pezzo-Fläche liegt. Wir insbesondere, dass C die Greens Vermutung erfüllt, die
impliziert, dass die Existenz gewisser spezieller Linearscharen auf C von den
Gleichungen ihrer kanonischen Einbettung abgelesen werden kann. |
| Abstract (eng): |
| We investigate Brill-Noether theory of algebraic curves, with special emphasis on
curves lying on $K3$ surfaces and Del Pezzo surfaces.
In Chapter 2, we study the Gieseker-Petri locus GP_g inside the moduli space M_g of
smooth, irreducible curves of genus g. This consists, by definition, of curves [C]
in M_g such that for some r, d the Brill-Noether variety G^r_d(C), which
parametrizes linear series of type g^r_d on C, either is singular or has some
components exceeding the expected dimension. The Gieseker-Petri Theorem implies that
GP_g has codimension at least 1 in M_g and it has been conjectured that it has pure
codimension 1. We prove this conjecture up to genus 13; this is possible since, when
the genus is low enough, one is able to determine the irreducible components of GP_g
and to study their codimension by "ad hoc" arguments.
Lazarsfeld''s proof of the Gieseker-Petri-Theorem by specialization to curves lying
on general K3 surfaces suggests the importance of the Brill-Noether theory of
K3-sections for a better understanding of the Gieseker-Petri locus. Linear series on
curves lying on a K3 surface are deeply related to the so-called Lazarsfeld-Mukai
bundles. In Chapter 3, we study the stability of rank-3 Lazarsfeld-Mukai bundles on
a K3 surface S, and show it encodes much information about nets of type g^2_d on
curves C contained in S. When d is large enough and C is general in its linear
system, we obtain a dimensional statement for the variety G^2_d(C). If the
Brill-Noether number is negative, we prove that any g^2_d is contained in a linear
series which is induced from a line bundle on S, as conjectured by Donagi and
Morrison.
Chapter 4 concerns syzygies of any given curve C lying on a Del Pezzo surface S. In
particular, we prove that C satisfies Green''s Conjecture, which implies that the
existence of some special linear series on C can be read off the equations of its
canonical embedding. |
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