| Autor(en): |
Stefan Tappe |
Titel: |
Finite dimensional realizations for term structure models driven by semimartingales |
| Gutachter: |
Jan Kallsen; Tomas Björk; Uwe Küchler |
| Erscheinungsdatum: |
10.11.2005 |
| Volltext: |
pdf
(urn:nbn:de:kobv:11-10054904)
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| Fachgebiet(e): |
Mathematik |
| Schlagwörter (ger): |
von Semimartingalen angetriebene HJM Zinsstrukturmodelle, Levy Prozesse, endlich dimensionale Realisierungen, Lie Algebren |
| Schlagwörter (eng): |
HJM term structure models driven by semimartingales, Levy processes, finite dimensional realizations, Lie algebras |
| Einrichtung: |
Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II |
| Zitationshinweis: |
Tappe, Stefan:
Finite dimensional realizations for term structure models driven by semimartingales;
Dissertation,
Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II , publiziert am 10.11.2005, urn:nbn:de:kobv:11-10054904
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| Abstract (ger): |
| Es sei ein Heath-Jarrow-Morton Zinsstrukturmodell
df(t,T) = alpha(t,T)dt + sigma(t,T)dX_t
gegeben, angetrieben von einem mehrdimensionalen Semimartingal X. Das
Ziel dieser Arbeit besteht darin, die Existenz endlich dimensionaler
Realisierungen für solche Modelle zu untersuchen, wobei wir als
treibende Prozesse die Klasse der Grigelionis Prozesse wählen, die
insbesondere Levy Prozesse enthält. Zur Bearbeitung der Fragestellung
werden zwei veschiedene Ansätze verfolgt.
Wir dehnen die Ideen aus der Differenzialgeometrie von Björk und
Svensson (2001) auf die vorliegende Situation aus und zeigen, dass das
in der zitierten Arbeit bewiesene Kriterium für die Existenz endlich
dimensionaler Realisierungen in unserem Fall als notwendiges Kriterium
dienlich ist. Dieses Resultat wird auf konkrete Volatilitätsstrukturen
angewandt.
Im Kontext von sogenannten Benchmark Realisierungen, die eine
natürliche Verallgemeinerung von Short Rate Realisierungen
darstellen, leiten wir Integro-Differenzialgleichungen her, die für
die Untersuchung der Existenz endlich dimensionaler Realisierungen
hilfreich sind. Als Verallgemeinerung eines Resultats von Jeffrey
(1995) beweisen wir außerdem, dass Zinsstrukturmodelle, die eine
generische Benchmark Realisierung besitzen, notwendigerweise eine
singuläre Hessesche Matrix haben.
Beide Ansätze zeigen, dass neue Phänomene auftreten, sobald der
treibende Prozess X Sprünge macht. Es gibt dann auf einmal nur
noch sehr wenige Zinsstrukturmodelle, die endlich dimensionale
Realisierungen zulassen, was ein beträchtlicher Unterschied zu
solchen Modellen ist, die von einer Brownschen Bewegung angetrieben
werden. Aus diesem Grund zeigen wir, dass für die in der Literatur
oft behandelten Modelle mit deterministischer Richtungsvolatilität
eine Folge von endlich dimensionalen Systemen existiert, die gegen
das Zinsmodell konvergieren.
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| Abstract (eng): |
| Let f(t,T) be a term structure model of Heath-Jarrow-Morton type
df(t,T) = alpha(t,T)dt + sigma(t,T)dX_t,
driven by a multidimensional semimartingale X. Our objective is to
study the existence of finite dimensional realizations for equations
of this kind. Choosing the class of Grigelionis processes (including
in particular Levy processes) as driving processes, we approach this
problem from two different directions.
Extending the ideas from differential geometry in Björk and Svensson
(2001), we show that the criterion for the existence of finite
dimensional realizations, proven in the aforementioned paper, still
serves as a necessary condition in our setup. This result is applied
to concrete volatility structures.
In the context of benchmark realizations, which are a
natural generalization of short rate realizations, we derive
integro-differential equations, suitable for the analysis of the
realization problem. Generalizing Jeffrey (1995), we also prove a
result stating that forward rate models, which generically possess
a benchmark realization, must have a singular Hessian matrix.
Both approaches reveal that, with regard to the results known for
driving Wiener processes, new phenomena emerge, as soon as the
driving process X has jumps. In particular, the occurrence of jumps
severely limits the range of models that admit finite dimensional
realizations. For this reason we prove, for the often considered case
of deterministic direction volatility structures, the existence of
finite dimensional systems converging to the forward rate model.
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