| Autor(en): |
Robert Lorenz |
Titel: |
Weak approxamation of stochastic delay – differential equations with bounded memory by discrete time series |
| Gutachter: |
Evelyn Buckwar; Hans-Michael Dietz; Uwe Küchler |
| Erscheinungsdatum: |
29.05.2006 |
| Volltext: |
pdf
(urn:nbn:de:kobv:11-10065610)
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| Fachgebiet(e): |
Mathematik |
| Schlagwörter (ger): |
stochastische Differentialgleichungen mit Gedächtnis, schwache Approximation, diskrete Zeitreihen, GARCH-Prozesse |
| Schlagwörter (eng): |
stochastic delay differential equations, weak approximation, discrete time series, GARCH processes |
| Einrichtung: |
Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II |
| Zitationshinweis: |
Lorenz, Robert:
Weak approxamation of stochastic delay – differential equations with bounded memory by discrete time series;
Dissertation,
Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II , publiziert am 29.05.2006, urn:nbn:de:kobv:11-10065610
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| Abstract (ger): |
| Wir betrachten die stochastische Differentialgleichung mit
Gedächtnis (SDDE) mit Gedächtnislänge r
dX(t) = b(X(u);u in [t-r,t])dt + sigma(X(u);u in [t-r,t])dB(t)
mit eindeutiger schwacher Lösung. Dabei ist B eine Brownsche
Bewegung, b and sigma sind stetige, lokal beschränkte Funktionen
mit Definitionsbereich C[-r,0], und X(u);u in [t-r,t] bezeichnet
das Segment der Werte von X(u) für Zeitpunkte u im Intervall
[t,t-r]. Unser Ziel ist eine Folge von diskreten Zeitreihen Xh
höherer Ordung zu konstruieren, so dass mit h gegen 0 die
Zeitreihen Xh schwach gegen die Lösung X der stochastischen
Differentialgleichung mit Gedächtnis konvergieren.
Desweiteren werden wir Bedingungen angeben, unter denen eine
gegeben Folge von Zeitreihen Xh höherer Ordung schwach gegen die
Lösung X einer stochastischen Differentialgleichung mit
Gedächtnis konvergiert.
Als ein Beispiel werden wir den schwachen Grenzwert einer Folge
von diskreten GARCH-Prozessen höherer Ordnung ermitteln. Dieser
Grenzwert wird sich als schwache Lösung einer stochastischen
Differentialgleichung mit Gedächtnis herausstellen.
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| Abstract (eng): |
| Consider the stochastic delay differential equation (SDDE) with
length of memory r
dX(t) = b(X(u);u in [t-r,t])dt + sigma(X(u);u in [t-r,t])dB(t),
which has a unique weak solution. Here B is a Brownian motion, b
and sigma are continuous, locally bounded functions defined on the
space C[-r,0], and X(u);u in [t-r,t] denotes the segment of the
values of X(u) for time points u in the interval [t,t-r]. Our aim
is to construct a sequence of discrete time series Xh of higher
order, such that Xh converges weakly to the solution X of the
stochastic differential delay equation as h tends to zero.
On the other hand we shall establish under which conditions time
series Xh of higher order converge weakly to a weak solution X of
a stochastic differential delay equation.
As an illustration we shall derive a weak limit of a sequence of
GARCH processes of higher order. This limit tends out to be the
weak solution of a stochastic differential delay equation.
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