| Autor(en): |
Lutz Lehmann |
Titel: |
Wavelet-Konstruktion als Anwendung der algorithmischen reellen algebraischen Geometrie |
| Gutachter: |
Bernd Bank; Joos Heinz; Andreas Griewank |
| Erscheinungsdatum: |
24.04.2007 |
| Volltext: |
pdf
(urn:nbn:de:kobv:11-10077975)
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| Fachgebiet(e): |
Mathematik |
| Schlagwörter (ger): |
reelle algebraische Geometrie, polare Varietäten, diskrete Wavelet-Transformation, verfeinerbare Funktionen |
| Schlagwörter (eng): |
real algebraic geometry, polar varieties, discrete wavelet transform, refinable functions |
| Einrichtung: |
Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II |
| Zitationshinweis: |
Lehmann, Lutz:
Wavelet-Konstruktion als Anwendung der algorithmischen reellen algebraischen Geometrie;
Dissertation,
Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II , publiziert am 24.04.2007, urn:nbn:de:kobv:11-10077975
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| Abstract (ger): |
| Im Rahmen des TERA-Projektes (Turbo Evaluation and Rapid Algorithms)
wurde ein neuartiger, hochgradig effizienter probabilistischer
Algorithmus zum Lösen polynomialer Gleichungssysteme entwickelt und
für den komplexen Fall implementiert. Die Geometrie polarer
Varietäten gestattet es, diesen Algorithmus zu einem Verfahren zur
Charakterisierung der reellen Lösungsmengen polynomialer
Gleichungssysteme zu erweitern.
Ziel dieser Arbeit ist es, eine Implementierung dieses Verfahrens
zur Bestimmung reeller Lösungen auf eine Klasse von
Beispielproblemen anzuwenden. Dabei wurde Wert darauf gelegt, dass
diese Beispiele reale, praxisbezogene Anwendungen besitzen. Diese
Anforderung ist z.B. für polynomiale Gleichungssysteme erfüllt, die
sich aus dem Entwurf von schnellen Wavelet-Transformationen ergeben.
Die hier betrachteten Wavelet-Transformationen sollen die praktisch
wichtigen Eigenschaften der Orthogonalität und Symmetrie besitzen.
Die Konstruktion einer solchen Wavelet-Transformation hängt von
endlich vielen reellen Parametern ab. Diese Parameter müssen gewisse
polynomiale Gleichungen erfüllen.
In der veröffentlichten Literatur zu diesem Thema wurden bisher
ausschließlich Beispiele mit endlichen Lösungsmengen behandelt. Zur
Berechnung dieser Beispiele war es dabei ausreichend, quadratische
Gleichungen in einer oder zwei Variablen zu lösen.
Zur Charakterisierung der reellen Lösungsmenge eines polynomialen
Gleichungssystems ist es ein erster Schritt, in jeder reellen
Zusammenhangskomponente mindestens einen Punkt aufzufinden. Schon
dies ist ein intrinsisch schweres Problem. Es stellt sich heraus,
dass der Algorithmus des TERA-Projektes zur Lösung dieser Aufgabe
bestens geeignet ist und daher eine größere Anzahl von
Beispielproblemen lösen kann als die besten kommerziell erhältlichen
Lösungsverfahren.
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| Abstract (eng): |
| As a result of the TERA-project on Turbo Evaluation and Rapid
Algorithms a new type, highly efficient probabilistic algorithm for
the solution of systems of polynomial equations was developed and
implemented for the complex case. The geometry of polar varieties
allows to extend this algorithm to a method for the characterization
of the real solution set of systems of polynomial equations.
The aim of this work is to apply an implementation of this method
for the determination of real solutions to a class of example
problems. Special emphasis was placed on the fact that those example
problems possess real-life, practical applications. This requirement
is satisfied for the systems of polynomial equations that result
from the design of fast wavelet transforms.
The wavelet transforms considered here shall possess the practical
important properties of symmetry and orthogonality. The
specification of such a wavelet transform depends on a finite number
of real parameters. Those parameters have to obey certain polynomial
equations.
In the literature published on this topic, only example problems
with a finite solution set were presented. For the computation of
those examples it was sufficient to solve quadratic equations in one
or two variables.
To characterize the set of real solutions of a system of polynomial
equations it is a first step to find at least one point in each
connected component. Already this is an intrinsically hard problem.
It turns out that the algorithm of the TERA-project performes very
well with this task and is able to solve a larger number of examples
than the best known commercial polynomial solvers.
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