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Dissertation

Autor(en): Daniel Skodlerack
Titel: Embedding types and canonical affine maps between Bruhat-Tits buildings of classical groups
Gutachter: Ernst-Wilhelm Zink; Paul Broussous; Bertrand Lemaire
Erscheinungsdatum: 27.09.2010
Volltext: pdf (urn:nbn:de:kobv:11-100179499)
Fachgebiet(e): Mathematik
Schlagwörter (ger): Tits-Gebäude, Einbettungstypen, klassische Gruppen, unitäre Gruppen
Schlagwörter (eng): Tits building, embedding types, classical groups, unitary groups
Einrichtung: Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II
Lizenz: Namensnennung - Keine kommerzielle Nutzung - Keine Bearbeitung (CC BY NC ND)
Zitationshinweis: Skodlerack, Daniel: Embedding types and canonical affine maps between Bruhat-Tits buildings of classical groups; Dissertation, Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II , publiziert am 27.09.2010, urn:nbn:de:kobv:11-100179499
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Abstract (ger):
P. Broussous and S. Stevens studierten für die Konstruktion einfacher Typen unitärer p-adischer Gruppen Abbildungen zwischen erweiterten Bruhat-Tits-Gebäuden, die die Moy-Prasad-Filtrierungen respektieren (CLF). Im ersten Teil der Doktorarbeit wird deren Arbeit zu solchen Abbildungen um den Quaternionenalgebrafall erweitert. Genauer, es sei k0 ein p-adischer Körper mit einer von 2 verschiedenen Restcharakteristik und beta ein eine halbeinfache k0-Algebra erzeugendes, k0-rationales Element der Lie-Algebra einer über k0 definierten unitaren Gruppe G=U(h) zu einer epsilon-hermitischen Form h. Es sei H der Zentralisator von beta in G. Es wird bewiesen, dass eine affine H(k0)-equivariante CLF-Abbildung j vom erweiterten Bruhat-Tits-Gebäude B^1(H,k0) nach B^1(G,k0) existiert. Wie von Broussous vermutet, stellt sich in der Doktorarbeit heraus, dass j durch die CLF-Eigenschaft eindeutig bestimmt wird, falls kein Faktor von H k0-isomorph zur isotropen orthogonalen Gruppe vom k0-Rank 1 ist und alle Faktoren unitäre Gruppen sind. Desweiteren wird bei abgeschwächter Äquivarianzeigenschaft bewiesen, dass j als affine und bezüglich dem Zentrum von H^0(k0) equivariante CLF-Abbildung bis auf eine Translation von B^1(H,k0) eindeutig bestimmt ist. Im zweiten Teil wird der von Broussous und M. Grabitz studierte Einbettungstyp mit Hilfe einer CLF-Abbildung entschlüsselt. Wir betrachten einen Schiefkörper von endlichem Index und p-adischem Zentrum F. Die Konstruktion einfacher Typen für GLn(D) nach der Methode von Bushnell und Kutzko bedurfte der Analyse sogenannter Strata, die eine Starrheitseingenschaft erfüllen mussten. Teil eines Stratums ist insbesondere ein Paar (E,a) bestehend aus einer Körpererweiterung E|F in Mn(D) und einer erblichen Ordnung a, welche von E^x normalisiert wird. Broussous und Grabitz klassifizierten diese Paare mit Hilfe von Invarianten. Im zweiten Teil werden diese Invarianten mit Hilfe der Geometrie einer CLF-Abbildung berechnet.
Abstract (eng):
P. Broussous and S. Stevens studied maps between enlarged Bruhat-Tits buildings to construct types for p-adic unitary groups. They needed maps which respect the Moy-Prasad filtrations. That property is called (CLF), i.e. compatibility with the Lie algebra filtrations. In the first part of this thesis we generalise their results on such maps to the Quaternion-algebra case. Let k0 be a p-adic field of residue characteristic not two. We consider a semisimple k0-rational Lie algebra element beta of a unitary group G:=U(h) defined over k0 with a signed hermitian form h. Let H be the centraliser of beta in G. We prove the existence of an affine H(k0)-equivariant CLF-map j from the enlarged Bruhat-Tits building B^1(H,k0) to B^1(G,k0). As conjectured by Broussous the CLF-property determines j, if none of the factors of H is k0-isomorphic to the isotropic orthogonal group of k0-rank one and all factors are unitary groups. Under the weaker assumption that the affine CLF-map j is only equivariant under the center of H^0(k0) it is uniquely determined up to a translation of B^1(H,k0). The second part is devoted to the decoding of embedding types by the geometry of a CLF-map. Embedding types have been studied by Broussous and M. Grabitz. We consider a division algebra D of finite index with a p-adic center F. The construction of simple types for GLn(D) in the Budhnell-Kutzko framework required an investigation of strata which had to fulfil a rigidity property. Giving a stratum especially means to fix a pair (E,a) consisting of a field extension E|F in Mn(D) and a hereditary order a which is stable under conjugation by E^x, in other words we fix an embedding of E^x into the normalizer of a. Broussous and Grabitz classified these pairs with invariants. We describe and prove a way to decode these invariants using the geometry of a CLF-map.
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Generiert am 01.10.2014, 06:29:21