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Dissertation

Autor(en): Paul L. Larsen
Titel: Applied Mori theory of the moduli space of stable pointed rational curves
Gutachter: Klaus Altmann; Gavril Farkas; Angela Gibney
Erscheinungsdatum: 19.04.2011
Volltext: pdf (urn:nbn:de:kobv:11-100188310)
Fachgebiet(e): Mathematik
Schlagwörter (ger): Algebraische Geometrie, Modelräume von Kurven, Birationelle Geometrie, Mori-Theorie, Torische Varietäten, Kombinatorik
Schlagwörter (eng): combinatorics, Algebraic geometry, moduli spaces of curves, birational geometry, Mori theory, toric varieties
Einrichtung: Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II
Lizenz: Namensnennung - Keine kommerzielle Nutzung - Keine Bearbeitung (CC BY NC ND)
Zitationshinweis: Larsen, Paul L.: Applied Mori theory of the moduli space of stable pointed rational curves; Dissertation, Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II , publiziert am 19.04.2011, urn:nbn:de:kobv:11-100188310
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Abstract (ger):
Diese Dissertation befasst sich mit Fragen über den Modulraum M_{0,n} der stabilen punktierten rationalen Kurven, die durch das Mori-Programm motiviert sind. Insbesondere studieren wir den nef-Kegel (Chapter 2), den Cox-Ring (Chapter 3), und den Kegel der beweglichen Kurven (Chapter 4). In Kapitel 2 beweisen wir Fultons Vermutung für M_{0,n}, n <= 7. Diese Vermutung besagt, dass ein Divisor, der alle sogenannte F-Kurven mit nichtnegativer Multiplizität schneidet, als effektive Linearkombination von Randdivisoren dargestellt werden kann. Als Korollar folgt, dass ein Divisor genau dann nef ist, wenn die entsprechende Schnittmultiplizität mit jeder F-Kurve nichtnegativ ist. Mittels Dualität bekommen wir einen neuen Beweis des Resultats von Keel und McKernan, dass die F-Kurven für n <= 7 den Kegel der Kurven erzeugen, jedoch mit Methoden, die unabhängig von Negavititätseigenschaften des kanonischen-Bündels sind, welche für größeres n nicht mehr stimmen. Kapitel 3 beginnt ein Studium der Relationen zwischen erzeugenden Elementen des Cox-Rings von M_{0,n}. Wir beweisen zuerst einen ``Relationenfreiheitssatz'''', der im Cox-Ring polynomiale Unterringe indentifiziert. In der anderen Richtung geben wir Multigrade an, sodass der zuhegörige graduierte Teil das Ideal der Relationen nicht-trivial schneidet. In Kapitel 4 studieren wir den sogennanten Kegel der vollständigen Durchschnitte der 3-Fläche M_{0,6}. Für eine glatte projektive Varietät X ist dieser Kegel als Abschluss der Kurven definiert, die sich als Durchshnitt von dim X - 1 sehr amplen Divisoren darstellen lassen. Der bewegliche Kegel ist dual zum Kegel der pseudoeffektiven Divisoren. Wir beweisen für eine Reihe von torischen birationalen Modellen von M_{0,6}, dass der Kegel der vollständigen Durchschnitte und der bewegliche Kegel übereinstimmen, während für M_{0,6} die Inklusion echt ist.
Abstract (eng):
We investigate questions motivated by Mori''s program for the moduli space of stable pointed rational curves, M_{0,n}. In particular, we study its nef cone (Chapter 2), its Cox ring (Chapter 3), and its cone of movable curves (Chapter 4). In Chapter 2, we prove Fulton''s conjecture for M_{0,n} for n less than or equal to 7, which states that any divisor on these moduli spaces non-negatively intersecting all so-called F-curves is linearly equivalent to an effective sum of boundary divisors. As a corollary, it follows that a divisor is nef if and only if the divisor intersects all F-curves non-negatively. By duality, we thus recover Keel and McKernan''s result that the F-curves generate the closed cone of curves when n is less than or equal to seven, but with methods that do not rely on negativity properties of the canonical bundle that fail for higher n. Chapter 3 initiates a study of relations among generators of the Cox ring of M_{0,n}. We first prove a `relation-free'' result that exhibits polynomial subrings of the Cox ring in boundary section variables. In the opposite direction, we exhibit multidegrees such that the corresponding graded parts meet the ideal of relations non-trivially. In Chapter 4, we study the so-called complete intersection cone for the three-fold M_{0,6}. For a smooth projective variety X, this cone is defined as the closure of curve classes obtained as intersections of the dimension of X minus one very ample divisors. The complete intersection cone is contained in the cone of movable curves, which is dual to the cone of pseudoeffective divisors. We show that, for a series of toric birational models for M_{0,6}, the complete intersection and movable cones coincide, while for M_{0,6}, there is strict containment.
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Generiert am 20.08.2014, 14:47:07