Carl Runge - der Mitschöpfer des Runge-Kutta-Verfahrens

Carl David Tolmé Runge wurde 1856 in Bremen geboren und hat 1877-80 in Berlin Mathematik und Physik studiert und anschließend promoviert. Schon drei Jahre später habilitierte er sich und wirkte ab 1883 als Privatdozent in Berlin. 1886 zog er nach Hannover und wurde Professor an der dortigen Technischen Hochschule. Im Jahre 1904 berief man ihn als Ordinarius für Angewandte Mathematik an die Universität Göttingen, wo auch Felix Klein bereits seit 1886 wirkte. Runge bekleidete sein Lehramt bis 1924, er galt als ausgezeichneter Pädagoge. Zwischendurch (1911) weilte er als Austauschprofessor in Amerika.

Runge leistete bedeutende Arbeiten zur numerischen Anwendung mathematischer Verfahren auf technische Probleme; er erfand eine große Anzahl zweckmäßiger Methoden, um mit kleinstem Aufwand an numerischer Arbeit zur gewünschten approximativen Lösung komplizierter Probleme gelangen zu können. Er hat damit zur computergestützten Auswertbarkeit mathematischer Aufgabenstellungen wesentlich mit beigetragen.
Wohl jeder mathematisch ausgebildete Programmierer kennt zum Beispiel die Formeln zur Berechnung von Näherungslösungen für Anfangswertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen die ihren Entdeckern zu Ehren als klassisches Runge-Kutta-Verfahren bezeichnet wurden. Dieses Verfahren gehört zu den sogenannten expliziten (da nur explizite Berechnungsformeln benutzt werden) s-stufigen Verfahren (s=4 beim klassischen Verfahren), die eine schrittweise Berechnung der Näherungslösung mit Hilfe eines gemittelten Anstiegs gemäß ermöglichen, wobei dy die Änderung der Näherungslösung im Intervall [x,x+h], bj die Gewichte der Mittelung und Yj sukzessiv bestimmbare Zwischenwerte bezeichnen.

Die ein Verfahren aus dieser Klasse charakterisierenden Parameter aij, ci, bj, 1<=j<=i<=s werden so bestimmt, daß die Taylorentwicklung für den Zuwachs dy nach Potenzen der Schrittweite h möglichst weit mit derjenigen des exakten Zuwachses y(x+h)-y für die Lösung übereinstimmt. Carl Runge hat als erster in seiner in den Mathematischen Annalen 1895 publizierten Arbeit ein mehrstufiges Verfahren angegeben, auf das er bei seinem Versuch gestoßen war, die bekannte Simpson-Regel zur approximativen Berechnung von bestimmten Integralen auf Differentialgleichungen zu übertragen. Er entwickelte ein 4 stufiges Verfahren, mit dem er die Ordnung p=3 (Übereinstimmung der Koeffizienten der Taylorentwicklung bis zum Glied mit h3) erreichte. Seine Arbeit hat dann vor allem Karl Ludwig Wilhelm Max Heun (1859-1929) und Martin Wilhelm Kutta (1867-1944) zur systematischen Untersuchung solcher expliziten mehrstufigen Verfahren inspiriert. Die allgemeine Form expliziter s-stufiger Verfahren wurde von Kutta angegeben, während Heun eine Teilklasse derartiger Verfahren untersuchte.

Übrigens hat Kutta bereits in seiner Arbeit (Zeitschrift für Mathematik und Physik, 1901) die sich später als beweisbar erwiesene Vermutung geäußert, daß es unmöglich ist, ein explizites Verfahren der Ordnung p=5 mit s=5 Stufen zu konstruieren.
Die Entwicklung der mehrstufigen Verfahren war damit keinesfalls abgeschlossen und wurde besonders mit dem Erscheinen der Computer weiter fortgesetzt. Eingebettete Runge-Kutta-Verfahren zur ökonomischen Durchführung der Schrittweitensteuerung und implizite Runge-Kutta-Verfahren, die wesentlich bessere asymptotische Eigenschaften als explizite mehrstufige Verfahren haben (und damit insbesondere bei sogenannten "steifen" Problemen eingesetzt wurden), gehören heute zur Standardausrüstung jeder mathematischen Software.

Ein weiteres wesentliches Arbeitsgebiet Runges war die Ausgleichsrechnung (1897), die das Ziel verfolgt, etwa mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate aus fehlerbehafteten Meßwerten Näherungswerte für die zu messenden Größen zu gewinnen und deren Genauigkeit anzugeben. Außerdem befaßte sich Runge mit der Approximation und Interpolation von Funktionen (Satz von Runge, 1901), mit harmonischer Analyse (1902) sowie mit der Summation trigonometrischer Polynome. Er hat auch praktikable Methoden für grafisches Rechnen entwickelt (grafische Lösung algebraischer Gleichungen und partieller Differentialgleichungen) und darüber - neben anderem - ein Lehrbuch verfaßt.

In seinen späteren Lebensjahren wandte sich Runge stärker der Physik zu (Messung von Spektrallinien in der Optik) und widmete sich auch ganz speziellen praktischen Problemen: So entwickelte er Ortsbestimmungsverfahren auf See und im Ballon und löste Probleme aus der Festigkeitslehre. Carl Runge starb 1927 im Alter von 70 Jahren in Göttingen.

Klaus Biener
Werner Wendt *
* Dr. sc. nat. Werner Wendt, Mitbegründer und langjähriger Mitarbeiter unseres Rechenzentrums, ist am Institut für Mathematik, Bereich Angewandte Mathematik tätig.


Last Update: 28.7.95 14:00 do