Comparison of exact and numerical results in theXY model

Abstract

Es wurden neuerdings exakte Formeln für die Berechnung der Energieniveaus des sine-Gordon-Modells (im endlichen Volumen) vorgestellt. Die Herleitung der Resultate ist mathematisch nicht ganz rigoros, weshalb eine numerische Überprüfung wünschenswert ist. Simuliert wird das XY-Modell in zwei Dimensionen. Man glaubt, daß es in der gleichen Universalitätsklasse liegt wie das sine-Gordon-Modell mit einem bestimmten Wert der sine-Gordon-Kopplung. Verglichen werden dann einige Punkte der step-scaling-Funktion. Die exakten Formeln gelten für das Kontinuum, deshalb muß erst aus den Simulationen bei endlichem Gitterabstand "a" auf "a=0" extrapoliert werden. Gleichzeitig kann überprüft werden, ob sich eine vorhergesagte Form der Gitterartefakte bestätigen läßt. Um die step-scaling-Funktion aus den theoretischen Vorhersagen zu extrahieren ist es notwendig nichtlineare Integralgleichungen zu lösen. Zur Simulation werden effiziente Cluster-Algorithmen sowie ein "improved estimator" für die Korrelationsfunktion verwendet. Die Arbeit bestätigt sowohl die vorhergesagte Form der Gitterartefakte, als auch die Kontinuums-Vorhersagen im Rahmen der numerischen Genauigkeit.

Exact predictions for the finite volume energy spectrum of the sine-Gordon model were presented recently. The derivation of these results invokes steps which are mathematically not entirely rigorous, so a confrontation with numerical results is desirable. The two dimensional XY model is examined with Monte Carlo methods. It is believed to lie in the same universality class as the sine-Gordon model at a certain value of the sine-Gordon coupling. Several points of the step-scaling function are compared to each other. The predictions are valid for the continuum so an extrapolation from simulations at a finitelattice spacing "a" to "a=0" has to be performed. At the same time a prediction for the decay of lattice artifacts can be verified. To extract the step-scaling function from the theoretical predictions it is necessary to solve nonlinear integral equations. Efficient cluster algorithms and an improved estimator for the correlation function are applied in the simulations. The thesis confirms the predicted form of the lattice artifacts as well as the continuum-predictions for the step-scaling function within statistical errors.