Archimedeanity

Abstract

Copulae sind in der multivariaten Statistik und Finanzapplikationen von großer Bedeutung. Eine wichtige Copula-Famlie sind die Archimedischen Copulae. Für parametrische Copulafamilien gibt es bereits eine Fülle an Tests zur Anpassungsgüte. Die Hypothese, dass eine Copula eine beliebige Archimedische Copula ist, wurde dagegen bisher in der Literatur kaum behandelt. Jüngst, wurden drei Tests für eben diese Hypothese veröffentlicht. Jaworski (2010) and Bücher et al. (2012) haben den Ansatz, zwei Maße zu vergleichen, die aus der Assoziativitätseigenschaft von Archimedischen Copulae resultieren. Trede and Savu (2013) dagegen, bauen ihre Teststatistik auf einer nicht-parametrischen Schätzung der Generatorfunktion auf. Diese drei Tests werden vorgestellt und die schwache Konvergenz der Teststatistiken gezeigt. Für die letzteren beiden werden Bootstrap-Prozeduren vorgestellt, mit denen sich valide p-Werte bestimmen lassen. Die Eigenschaften der Tests, in kleinen Stichproben, werden mittels einer Monte-Carlo Simulation evaluiert. Da keiner der Tests die Anderen dominiert wird ein Hybrid Test vorgestellt und verwendet. Die Tests werden auf Aktienreturns von Titeln aus dem Deutschen DAX30 angewendet. In ausreichend großen Stichproben (4 Jahre) wird die Hypothese, dass ein Aktienpaar einer Archimedischen Copulae folgt in fast allen Fällen abgelehnt.

Copulae are of high importance in multivariate statistics and financial applications. An important family is the Archimedean copulae. In the literature goodness of fit tests for parametric copula families have already received lots of attention, but the available literature for testing if an copula is an arbitrary Archimedean copula is sparse. Recently three approaches where made for testing this hypothesis. Jaworski (2010) and Bücher et al. (2012) do this by comparing two measures resulting from the associativity property of Archimedean copulae, while Trede and Savu (2013) relies on a non parametric estimation of the generator function. The three approaches are summarized in this paper and the weak convergence of their test statistics is shown. For the latter two bootstrap procedures are presented, to obtain valid p-values. The small sample properties of the three tests are compared in a Monte Carlo simulation. A hybrid testing approach is utilized as no tests shows to be dominant, and all test are applied on stock marked data from the German DAX30. In larger time horizons (4 years) Archimedeanity was rejected in nearly all cases.