Inverse Spectral Results on Even Dimensional Tori

Abstract

Die Spektralgeometrie untersucht inwiefern Eigenschaften von Differentialoperatoren und zugrunde liegender Räume durch deren Spektrum bestimmt werden. Diese Arbeit untersucht Schrödinger-Operatoren auf hermiteschen Geradenbündeln über flachen Tori gerader Dimension. Jeder Zusammenhang auf dem Bündel induziert einen Laplace-Operator, der auf die Schnitte des Bündels wirkt. Ein Schrödinger-Operator ist die Summe eines Laplace-Operators und einer Funktion, dem Potential, auf dem Torus. Für translationsinvariante Zusammenhänge und Geradenbündel mit nicht-entarteter Chern-Klasse werden Aussagen gegeben inwiefern das Spektrum des Schrödinger-Operators den Torus, das Geradenbündel oder das Potential bestimmen. Ist das Spektrum für jeden translationsinvarianten Zusammenhang gegeben, wird das Potential bestimmt. Die Menge dieser Spektren ist eine Verallgemeinerung des Bloch-Spektrums des Torus. Für schwach Z2-invariante Zusammenhänge wird der gerade Teil des Potentials durch ein einzelnes Spektrum bestimmt, falls das Gitter nicht entartet ist. Gegenbeispiele zeigen, dass diese Bedingung benötigt wird und dass weder Potentiale noch Tori noch Geradenbündel spektrale Invarianten sind. Für die Gegenbeispiele wird eine explizite Transplantation gegeben. Weiterhin enthält diese Arbeit eine Klassifikation der Geradenbündel.

Spectral geometry studies to which extend properties of differential operators and their underlying spaces are determined by their spectrum. This thesis studies Schrödinger operators on Hermitian line bundles over even-dimensional flat tori. Every connection on the bundle induces a Laplace operator acting on the sections of the bundle. A Schrödinger operator is the sum of a Laplace operator and a function, the potential, on the torus. Restricting to translation-invariant connections and line bundles with nondegenerate Chern class statements concerning the extent to which the spectrum of the Schrödinger operator determines the torus, line bundle or potential are given. The potential is determined by the collection of spectra of translation-invariant connections. This collection is a generalisation of the Bloch spectrum of the torus. For weakly Z2-invariant connections one can recover the even part of the potential from a single spectrum provided that the lattice has a nondegenerate length spectrum. Counterexamples show that this condition is necessary and that neither potentials, tori nor line bundles are spectral invariants. Explicit transplantations are constructed for the counterexamples. Also, this thesis includes a classification of line bundles.