Binary Decision Diagrams for Random Boolean Functions

Abstract

Binary Decision Diagrams (BDDs) sind eine Datenstruktur für Boolesche Funktionen, die auch unter dem Namen branching program bekannt ist. In ordered binary decision diagrams (OBDDs) müssen die Tests einer festen Variablenordnung genügen. In free binary decision diagrams (FBDDs) darf jede Variable höchstens einmal getestet werden. Die Effizienz neuer Varianten des BDD-Konzepts wird gewöhnlich anhand spektakulärer (worst-case) Beispiele aufgezeigt. Wir verfolgen einen anderen Ansatz und vergleichen die Darstellungsgrößen für fast alle Booleschen Funktionen. Während I. Wegener bewiesen hat, daß für die `meisten' n die erwartete OBDD-Größe einer zufälligen Booleschen Funktion von n Variablen gleich der worst-case Größe bis auf Terme kleinerer Ordnung ist, zeigen wir daß dies nicht der Fall ist für n innerhalb von Intervallen konstanter Länge um die Werte n = 2h + h. Ferner gibt es Bereiche von n, in denen minimale FBDDs fast immer um mindestens einen konstanten Faktor kleiner sind als minimale OBDDs. Unsere Hauptsätze ha ben doppelt exponentielle Wahrschein- lichkeitsschranken (in n). Außerdem untersuchen wir die Entwicklung zufälliger OBDDs und ihrer worst-case Größe und decken dabei ein oszillierendes Verhalten auf, das erklärt, warum gewisse Aussagen im allgemeinen nicht verstärkt werden können.

Binary Decision Diagrams (BDDs) are a data structure for Boolean functions which are also known as branching programs. In ordered binary decision diagrams (OBDDs), the tests have to obey a fixed variable ordering. In free binary decision diagrams (FBDDs), each variable can be tested at most once. The efficiency of new variants of the BDD concept is usually demonstrated with spectacular (worst-case) examples. We pursue another approach and compare the representation sizes of almost all Boolean functions. Whereas I. Wegener proved that for `most' values of n the expected OBDD size of a random Boolean function of n variables is equal to the worst-case size up to terms of lower order, we show that this is not the case for n within intervals of constant length around the values n = 2h + h. Furthermore, ranges of n exist for which minimal FBDDs are almost always at least a constant factor smaller than minimal OBDDs. Our main theorems have doubly exponentially small probability bounds (in n). We also investigate the evolution of random OBDDs and their worst-case size, revealing an oscillating behaviour that explains why certain results cannot be improved in general.