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2000-07-05Dissertation DOI: 10.18452/14482
Zur Konstruktion einfacher Charaktere und der Fortsetzungen ihrer Heisenbergdarstellungen für lokale zentral-einfache Algebren
dc.contributor.authorGrabitz, Martin
dc.date.accessioned2017-06-18T03:52:57Z
dc.date.available2017-06-18T03:52:57Z
dc.date.created2000-07-05
dc.date.issued2000-07-05
dc.identifier.urihttp://edoc.hu-berlin.de/18452/15134
dc.description.abstractIn dieser Dissertationsschrift soll erkl{\"a}rt werden, wie auf der Grundlage von einfachen Strata, wie sie in einer gemeinsamen Arbeit mit Broussous \cite{BG} betrachtet wurden, einfache Charaktere f{\"u}r lokale einfache Algebren konstruiert werden k{\"o}nnen, wobei die Konstruktion den Vorbildern von Bushnell und Kutzko im zerfallenden Fall \cite{BK1} und von Zink \cite{Z7} im Falle eines Schiefk{\"o}rpers folgt. Der Begriff des einfachen Charakters geht auf die Arbeit \cite{BK1} zur{\"u}ck und bezeichnet eine ausgezeichnete Auswahl von Heisenbergcharakteren, die zu einem stabilen Darstellungsfilter geh{\"o}ren, der gem{\"a}{ss} \cite{Z2}(Hauptsatz 1.4) einem Darstellungsfilter zugeordnet wird, der zu einer absteigenden Normalreihe $$1+\R\supset1+\R^2\supset\ldots$$ geh{\"o}rt, wobei $\R$ das Jacobsonradikal einer erblichen Ordnung bezeichnet. Wir werden hier nur von Hauptordnungen ausgehen, d.h. von dem Fall, da{ss} $\R$ und seine Potenzen gebrochene Hauptideale sind. Diese Vorgehensweise und auch die besondere Auswahl der Heisenbergcharaktere in Form von einfachen Charakteren, wird durch die Konstruktion im Falle eines Schiefk{\"o}rpers \cite{Z7} und durch den abstrakten Matchingsatz \cite{BDKV} gerechtfertigt. Im Falle eines lokalen zentralen Schiefk{\"o}rpers ist n{\"a}mlich der Bewertungsring die einzige erbliche Ordnung und die einfachen Charaktere sind alle Heisenbergcharaktere die zu einem stabilen Darstellungsfilter geh{\"o}ren, der gem{\"a}{ss} \cite{Z2}(Hauptsatz 1.4) einem Darstellungsfilter, der zur absteigenden Normalreihe $$1+\pin_D\supset1+\pin_D^2\supset\ldots$$ geh{\"o}rt, zugeordnet wird, wobei $\pin_D$ das Bewertungsideal des Schiefk{\"o}rpers $D$ bezeichnet. Der abstrakte Matchingsatz liefert nun die Existenz einer Bijektion zwischen den irreduziblen glatten Darstellungen der multiplikativen Gruppe des lokalen zentralen Schiefk{\"o}rpers $D$ und den irreduziblen quadratintegrierbaren glatten Darstellungen einer beliebigen anderen lokalen zentraleinfachen Algebra vom selben reduzierten Grad {\"u}ber demselben nicht-archimedischen Grundk{\"o}rper $F$, welche den Charakter einer Darstellung in dem Sinne erh{\"a}lt, da{ss} die Charakterwerte auf den Konjugationsklassen elliptischer Elemente der verschiedenen Algebren, welche mithilfe ihrer Minimalpolynome identifiziert werden k{\"o}nnen, bis auf ein Vorzeichen {\"u}bereinstimmen. Wir werden hier kanonische Bijektionen zwischen den einfachen Charakteren f{\"u}r verschiedene zentraleinfache Algebren vom selben reduzierten Grad {\"u}ber demselben Grundk{\"o}rper angeben, von denen wir erwarten, da{ss} sie mit der Abbildung des abstrakten Matchingsatzes vertr{\"a}glich sind. Das dieses in der Tat der Fall ist, wurde bisher nur in einfachen F{\"a}llen wie \cite{He} und \cite{BH2} gezeigt, jedoch wurde in der Arbeit \cite{Z4} bereits mithilfe der Konstruktionen von \cite{Z7} und \cite{BK3} eine Bijektion zwischen den irreduziblen glatten Darstellungen der multiplikativen Gruppe des lokalen zentralen Schiefk{\"o}rpers $D$ vom Index $N$ {\"u}ber einem Grundk{\"o}rper $F$ und den irreduziblen essentiell quadratintegrierbaren glatten Darstellungen von $Gl_N(F)$ konstruiert, welche den Artinf{\"u}hrer und den formalen Grad einer Darstellung erh{\"a}lt. Da die Abbildung des abstrakten Matchingsatzes dieselben Forderungen erf{\"u}llt, kommt dies der gew{\"u}nschten Vertr{\"a}glichkeit schon sehr nahe und wir erf{\"u}llen mit unserer Konstruktion insbesondere die in der Arbeit \cite{Z4} gemachte Forderung die dort im Bezug auf die einfachen Charaktere getroffen Auswahlen noch unabh{\"a}ngiger von den jeweiligen Algebren zu gestalten. Die hier getroffene Auswahl wird durch die Verwendung sogenannter spezieller approximierender Folgen getroffen, welche sich aus einer Verallgemeinerung der in \cite{BG} gemachten {\"U}berlegungen ergeben. Im Anschlu{ss} an die Konstruktion und den Vergleich einfacher Charaktere werden wir in einer gro{ss}en Anzahl von F{\"a}llen zeigen, da{ss} sich die Heisenbergdarstellungen, die wir zu den einfachen Charakteren erhalten, in kanonischer Weise fortsetzen lassen und wir erwarten von diesen Fortsetzungen, da{ss} sie analoge Eigenschaften besitzen, wie die sogenannten ``$\beta$-Fortsetzungen'' von \cite{BK1}(5.2.1) im zerfallenden Fall. Damit k{\"o}nnen wir in diesen F{\"a}llen eine Liste von hypothetischen einfachen Typen angeben, von denen wir vermuten, da{ss} sie alle Bernsteinkomponenten parametrisieren, welche irreduzible essentiell quadratintegrierbare Darstellungen enthalten. Insbesondere vermuten wir, da{ss} sich die supercuspidalen Darstellungen mittels kompakter Induktion aus Fortsetzungen solcher einfacher Typen auf eine kompakt modulo Zentrum Untergruppe gewinnen lassen. Um die Vollst{\"a}ndigkeit dieser Konstruktion zu demonstrieren, h{\"a}tten wir allerdings noch die Eigenschaft ``Verkettung impliziert Konjugation'' zu zeigen, welche wir ebenfalls auf eine Folgearbeit verschieben m{\"u}ssen. Beabsichtig w{\"a}re dann ein Vollst{\"a}ndigkeitsbeweis mit dem abstrakten Matchingsatz wie bei L. Corwin \cite{Co} oder in \cite{Z4}. Wir weisen hier nur in Spezialf{\"a}llen nach, dass die Typendarstellungen, welche wir hier angegeben haben, tats{\"a}chlich Typen im Sinne von \cite{BK4}(4.1)(4.2) sind. Insbesondere sind es auch unsere Berechnungen in der Arbeit \cite{GSZ}, welche dem von uns im Geiste von \cite{Z7} und \cite{BK1} gemachten Ans{\"a}tzen hohe Evidenz geben.ger
dc.description.abstractIn this thesis, we try to explain how simple characters for arbitrary central simple algebras over a non-archimedian local field $F$ can be constructed. Moreover, we introduce a kind of matching of simple characters between different algebras of fixed reduced degree. If the index of the algebra $A$ is odd or $A=M_l(D)$, where $l$ is an arbitrary prime number and $D$ a central division algebra over $F$, we can extend the Heisenberg representations associated to the simple characters to level-0 and obtain a hypothetical list of simple types. For $A=M_l(D)$ and if the residual field of $F$ is not the field with two elements, we can proof that all so-called maximal simple types in our list are simple types in the sense of \cite{BK4} and their extensions to their stabelizers induce supercupidal representations of $G_l(D)$. Using the the heuristical relation via the abstract matching theorem of \cite{BDKV} to the cases of a division algebra due to \cite{Z5} and to the split case due to \cite{BK1}, we conjecture that all supercuspidal representations of $Gl_l(D)$ can be obtained by this way.eng
dc.language.isoger
dc.publisherHumboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II
dc.rights.urihttp://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/
dc.subjectZahlentheorie (MSC:11F85)ger
dc.subjectDarstellungstheorie (MSC:11F70)ger
dc.subjectLokale einfache Algebren (MSC:22E50)ger
dc.subjectLanglandsprogram (MSC:11R39)ger
dc.subjectNumber Theory (MSC: 11F85)eng
dc.subjectRepresentation Theory (MSC:11F70)eng
dc.subjectLocal Simple Algebras (MSC:22E50)eng
dc.subjectLanglands Program (MSC:11R39)eng
dc.subject.ddc510 Mathematik
dc.titleZur Konstruktion einfacher Charaktere und der Fortsetzungen ihrer Heisenbergdarstellungen für lokale zentral-einfache Algebren
dc.typedoctoralThesis
dc.identifier.urnurn:nbn:de:kobv:11-10012089
dc.identifier.urnurn:nbn:de:kobv:11-10012095
dc.identifier.doihttp://dx.doi.org/10.18452/14482
dc.date.accepted2000-07-05
dc.contributor.refereeBushnell, C. J.
dc.contributor.refereeZink, E.-W.
dc.contributor.refereeHenniart, G.
dc.subject.dnb27 Mathematik
dc.subject.rvkSK 230
local.edoc.pages79
local.edoc.type-nameDissertation
local.edoc.institutionMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II

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