The twistor equation in Lorentzian spin geometry

Abstract

Es wird die Twistorgleichung auf Lorentz-Spin-Mannigfaltigkeiten untersucht. Bekanntermaßen existieren Lösungen der Twistorgleichung auf den pp-Mannigfaltigkeiten, den Lorentz-Einstein-Sasaki Mannigfaltigkeiten und den Fefferman-Räumen. Es wird gezeigt, dass in den kleinen Dimensionen 3,4 und 5 Twistor-Spinoren ohne 'Singularitäten' nur für diese genannten Lorentz-Geometrien vorkommen. Von besonderem Interesse sind Lösungen der Twistorgleichung mit Nullstellen. Es wird die Gestalt der Nullstellenmenge von konformen Vektorfeldern und Twistor-Spinoren beschrieben. Weiterhin wird die Twistorgleichung im Kontext der konformen Cartan-Geometrie formuliert. Als Anwendung werden konform-flache semi-Riemannsche Spin-Mannigfaltigkeiten mit Twistor-Spinoren unter Zuhilfenahme der Holonomiedarstellung der ersten Fundamentalgruppe charakterisiert. Abschließend wird eine Anwendung des Twistorraumes einer Lorentz-4-Mannigfaltigkeit in der Flächentheorie diskutiert. Dabei zeigen wir eine Korrespondenz zwischen holomorphen Kurven im Twistorraum und raumartig immergierten Flächen mit lichtartigem mittlerem Krümmungsvektor. Beispielhaft werden solche Flächen in den Lorentzschen Raumformen der Dimension 4 konstruiert.

The twistor equation on Lorentzian spin manifolds is investigated. Known solutions of the twistor equation exist on the pp-manifolds, the Lorentz-Einstein-Sasaki manifolds and the Fefferman spaces. It is shown that in the low dimensions 3,4 and 5 twistor spinors without 'singularities' appear only for these mentioned Lorentzian spin geometries. Solutions of the twistor equation with zeros are of particular interest. The shape of the zero set of conformal vector fields and twistor spinors is described. Moreover, the twistor equation is formulated in the context of conformal Cartan geometry. As an application the conformally flat semi-Riemannian spin spaces with twistor spinors are characterized by the holonomy representation of the first fundamental group. Finally, we discuss an application of the twistor space of a Lorentzian 4-manifold in surface theory. Thereby, we prove a correspondence between holomorphic curves in the twistor space and spacelike immersed surfaces with lightlike mean curvature vector. Exemplary, such surfaces are constructed in the Lorentzian space forms of dimension 4.