Lattice models in materials science

Abstract

In der vorliegenden Arbeit wurden drei unabhängige Problemfelder moderner biophysikalischer und materialwissenschaftlicher Forschung untersucht: Diffusion in binären Legierungen, der Umbauprozess in trabekulärem Knochen und die Voraussage mechanischer Eigenschaften, insbesonders der Biegesteifigkeit, selbstorganisierender, amphiphiler Membrane. Für alle drei Problemfelder wurden Gittermodelle gewählt, um ausgesuchte Fragestellungen zu untersuchen. Für den Fall der Diffusion in Legierungen war dies, inwieweit sich der Diffusionprozess, der sich auf atomarer Ebene als diskrete Platztäusche zwischen Atomen und Leerstellen manifestiert, auf einer größeren, makroskopischen, Ebene mit Hilfe einer kontinuumstheoretischen Theorie beschreiben lässt. Im Fall der Beschreibung des Umbauprozesses in in trabekulärem Knochen wurde die die spongiöse Architektur des Knochens auf ein Gitter abgebildet und mittels einer vereinfachten mechanischen Beschreibung die lokale Belastung in jedem Knochenelement bestimmt. Die zeitliche Entwicklung des Systems wurde mittels eines stochastischen Umbaugesetzes gesteuert, das die Wahrscheinlichkeit für Knochenan- bzw. -abbau als Funktion der lokalen Volumenänderung vorgab. Es wurde gezeigt, dass ein nicht-lineares Umbaugesetz bessere Übereinstimmung mit experimentellen Ergebnissen zeigt, als ein rein lineares. Weiters wurde das Krankheitsbild der Osteoporose untersucht und es konnte eine Unterscheidung zwischen einem normalen Alterungsprozess der Knochenstruktur und einer krankhaften Veränderung gezogen werden. Um die mechanischen Eigenschaften selbstorganisierender Membrane zu bestimmen, wurden linear elastische Federkräfte zwischen benachbarten Molekülen angenommen. Die volle elastische Matrix und daraus die gewünschten Eigenschaften wurden für unterschiedliche Zusammensetzungen der Membrane bestimmt. Es wurde gezeigt, dass die Biegesteifigkeit solcher Membrane in einem begrenzten Konzentrationsbereich um mehrere Größenordnungen variieren kann.

This thesis presents the results of investigations on three independent research topics of modern biophysical and materials science research: substitutional diffusion in binary alloys, the remodelling process in trabecular bone and the prediction of mechanical properties of self assembling, amphiphilic bilayers. The basic description of all three projects is based on lattice models, a highly successful class of models that are used in several fields of modern physics to describe physical processes. For the diffusional process in alloys, which on a microscopic scale manifests in a discrete site exchange between one atom and a neighbouring vacancy, it was investigated how this microscopic description can be reconciled with a macroscopic continuum model. For the investigations on remodelling of trabecular bone, the architecture of bone was mapped onto a lattice and the local mechanical state of each element was determined by a simplified mechanical model. A stochastic description was chosen to model the time evolution of the system, relating the probability of bone formation and resorption, respectively, to the local volume changes of the bone elements. It was shown that a non-linear remodelling law is a better candidate to describe the remodelling process in real bone than a linear one. Furthermore, applying the model to osteoporosis - a wide spread bone disease - it was shown that in the features attributed to osteoporosis one has to distinguish between normal ageing of bone''s architecture and additional changes that stem from pathological alterations in the regulatory system. A simple concept was introduced to model the mechanical properties of self-assembled membranes. The molecules forming the membrane are assumed to occupy a triangular lattice, nearest neighbours are connected by linear elastic springs. It was shown that the bending rigidity exhibits a pronounced concentration dependence, varying over orders of magnitude in a narrow concentration regime.