Show simple item record

2011-10-18Dissertation DOI: 10.18452/16402
Extremal hypergraph theory and algorithmic regularity lemma for sparse graphs
dc.contributor.authorHàn, Hiêp
dc.date.accessioned2017-06-18T11:02:39Z
dc.date.available2017-06-18T11:02:39Z
dc.date.created2011-11-10
dc.date.issued2011-10-18
dc.identifier.urihttp://edoc.hu-berlin.de/18452/17054
dc.description.abstractEinst als Hilfssatz für Szemerédis Theorem entwickelt, hat sich das Regularitätslemma in den vergangenen drei Jahrzehnten als eines der wichtigsten Werkzeuge der Graphentheorie etabliert. Im Wesentlichen hat das Lemma zum Inhalt, dass dichte Graphen durch eine konstante Anzahl quasizufälliger, bipartiter Graphen approximiert werden können, wodurch zwischen deterministischen und zufälligen Graphen eine Brücke geschlagen wird. Da letztere viel einfacher zu handhaben sind, stellt diese Verbindung oftmals eine wertvolle Zusatzinformation dar. Vom Regularitätslemma ausgehend gliedert sich die vorliegende Arbeit in zwei Teile. Mit Fragestellungen der Extremalen Hypergraphentheorie beschäftigt sich der erste Teil der Arbeit. Es wird zunächst eine Version des Regularitätslemmas Hypergraphen angewandt, um asymptotisch scharfe Schranken für das Auftreten von Hamiltonkreisen in uniformen Hypergraphen mit hohem Minimalgrad herzuleiten. Nachgewiesen werden des Weiteren asymptotisch scharfe Schranken für die Existenz von perfekten und nahezu perfekten Matchings in uniformen Hypergraphen mit hohem Minimalgrad. Im zweiten Teil der Arbeit wird ein neuer, Szemerédis ursprüngliches Konzept generalisierender Regularitätsbegriff eingeführt. Diesbezüglich wird ein Algorithmus vorgestellt, welcher zu einem gegebenen Graphen ohne zu dichte induzierte Subgraphen eine reguläre Partition in polynomieller Zeit berechnet. Als eine Anwendung dieses Resultats wird gezeigt, dass das Problem MAX-CUT für die oben genannte Graphenklasse in polynomieller Zeit bis auf einen multiplikativen Faktor von (1+o(1)) approximierbar ist. Der Untersuchung von Chung, Graham und Wilson zu quasizufälligen Graphen folgend wird ferner der sich aus dem neuen Regularitätskonzept ergebende Begriff der Quasizufälligkeit studiert und in Hinsicht darauf eine Charakterisierung mittels Eigenwertseparation der normalisierten Laplaceschen Matrix angegeben.ger
dc.description.abstractOnce invented as an auxiliary lemma for Szemerédi''s Theorem the regularity lemma has become one of the most powerful tools in graph theory in the last three decades which has been widely applied in several fields of mathematics and theoretical computer science. Roughly speaking the lemma asserts that dense graphs can be approximated by a constant number of bipartite quasi-random graphs, thus, it narrows the gap between deterministic and random graphs. Since the latter are much easier to handle this information is often very useful. With the regularity lemma as the starting point two roads diverge in this thesis aiming at applications of the concept of regularity on the one hand and clarification of several aspects of this concept on the other. In the first part we deal with questions from extremal hypergraph theory and foremost we will use a generalised version of Szemerédi''s regularity lemma for uniform hypergraphs to prove asymptotically sharp bounds on the minimum degree which ensure the existence of Hamilton cycles in uniform hypergraphs. Moreover, we derive (asymptotically sharp) bounds on minimum degrees of uniform hypergraphs which guarantee the appearance of perfect and nearly perfect matchings. In the second part a novel notion of regularity will be introduced which generalises Szemerédi''s original concept. Concerning this new concept we provide a polynomial time algorithm which computes a regular partition for given graphs without too dense induced subgraphs. As an application we show that for the above mentioned class of graphs the problem MAX-CUT can be approximated within a multiplicative factor of (1+o(1)) in polynomial time. Furthermore, pursuing the line of research of Chung, Graham and Wilson on quasi-random graphs we study the notion of quasi-randomness resulting from the new notion of regularity and concerning this we provide a characterisation in terms of eigenvalue separation of the normalised Laplacian matrix.eng
dc.language.isoeng
dc.publisherHumboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II
dc.rightsNamensnennung - Keine Bearbeitung
dc.rights.urihttp://creativecommons.org/licenses/by-nd/3.0/de/
dc.subjectHypergraphenger
dc.subjectHamiltonkreiseger
dc.subjectperfekte Matchingsger
dc.subjectalgorithmisches Regularitätslemmager
dc.subjectQuasizufälligkeitger
dc.subjectEigenwertseparationger
dc.subjectDiskrepanzger
dc.subjectquasi-randomnesseng
dc.subjecthypergraphseng
dc.subjectHamilton cycleseng
dc.subjectperfect matchingseng
dc.subjectalgorithmic regularity lemmaeng
dc.subjecteigenvalue separationeng
dc.subjectdiscrepancyeng
dc.subject.ddc004 Informatik
dc.titleExtremal hypergraph theory and algorithmic regularity lemma for sparse graphs
dc.typedoctoralThesis
dc.identifier.urnurn:nbn:de:kobv:11-100196575
dc.identifier.doihttp://dx.doi.org/10.18452/16402
dc.identifier.alephidBV039694271
dc.date.accepted2010-10-07
dc.contributor.refereeKang, Mihyun
dc.contributor.refereeTaraz, Anuschirawan
dc.contributor.refereeLefmann, Hanno
dc.subject.dnb28 Informatik, Datenverarbeitung
local.edoc.pages117
local.edoc.type-nameDissertation
local.edoc.institutionMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II

Show simple item record