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2012-03-12Dissertation DOI: 10.18452/16478
Iterative matrix-free computation of Hopf bifurcations as Neimark-Sacker points of fixed point iterations
dc.contributor.authorGarcia, Ignacio de Mateo
dc.date.accessioned2017-06-18T11:19:21Z
dc.date.available2017-06-18T11:19:21Z
dc.date.created2012-03-13
dc.date.issued2012-03-12
dc.identifier.urihttp://edoc.hu-berlin.de/18452/17130
dc.description.abstractKlassische Methoden für die direkte Berechnung von Hopf Punkten und andere Singularitaten basieren auf der Auswertung und Faktorisierung der Jakobimatrix. Dieses stellt ein Hindernis dar, wenn die Dimensionen des zugrundeliegenden Problems gross genug ist, was oft bei Partiellen Diferentialgleichungen der Fall ist. Die betrachteten Systeme haben die allgemeine Darstellung f ( x(t), α) für t grösser als 0, wobei x die Zustandsvariable, α ein beliebiger Parameter ist und f glatt in Bezug auf x und α ist. In der vorliegenden Arbeit wird ein Matrixfreies Schema entwicklet und untersucht, dass ausschliesslich aus Produkten aus Jakobimatrizen und Vektoren besteht, zusammen mit der Auswertung anderer Ableitungsvektoren erster und zweiter Ordnung. Hiermit wird der Grenzwert des Parameters α, der zuständig ist für das Verlieren der Stabilität des Systems, am Hopfpunkt bestimmt. In dieser Arbeit wird ein Gleichungssystem zur iterativen Berechnung des Hopfpunktes aufgestellt. Das System wird mit einer skalaren Testfunktion φ, die aus einer Projektion des kritischen Eigenraums bestimmt ist, ergänzt. Da das System f aus einer räumlichen Diskretisierung eines Systems Partieller Differentialgleichungen entstanden ist, wird auch in dieser Arbeit die Berechung des Fehlers, der bei der Diskretisierung unvermeidbar ist, dargestellt und untersucht. Zur Bestimmung der Hopf-Bedingungen wird ein einzelner Parameter gesteuert. Dieser Parameter wird unabhängig oder zusammen mit dem Zustandsvektor in einem gedämpften Iterationsschritt neu berechnet. Der entworfene Algorithmus wird für das FitzHugh-Nagumo Model erprobt. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, wie für einen kritischen Strom, das Membranpotential eine fortschreitende Welle darstellt.ger
dc.description.abstractClassical methods for the direct computation of Hopf bifurcation points and other singularities rely on the evaluation and factorization of Jacobian matrices. In view of large scale problems arising from PDE discretization systems of the form f( x (t), α ), for t bigger than 0, where x are the state variables, α are certain parameters and f is smooth with respect to x and α, a matrix-free scheme is developed based exclusively on Jacobian-vector products and other first and second derivative vectors to obtain the critical parameter α causing the loss of stability at the Hopf point. In the present work, a system of equations is defined to locate Hopf points, iteratively, extending the system equations with a scalar test function φ, based on a projection of the eigenspaces. Since the system f arises from a spatial discretization of an original set of PDEs, an error correction considering the different discretization procedures is presented. To satisfy the Hopf conditions a single parameter is adjusted independently or simultaneously with the state vector in a deflated iteration step, reaching herewith both: locating the critical parameter and accelerating the convergence rate of the system. As a practical experiment, the algorithm is presented for the Hopf point of a brain cell represented by the FitzHugh-Nagumo model. It will be shown how for a critical current, the membrane potential will present a travelling wave typical of an oscillatory behaviour.eng
dc.language.isoeng
dc.publisherHumboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II
dc.rightsNamensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen
dc.rights.urihttp://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/
dc.subjectIterativeger
dc.subjectHopfger
dc.subjectNeimark-Sackerger
dc.subjectFitzHugh-Nagumoger
dc.subjectCenter Manifold Theoremeng
dc.subjectIterativeeng
dc.subjectHopfeng
dc.subjectNeimark-Sackereng
dc.subjectFitzHugh-Nagumoseng
dc.subject.ddc510 Mathematik
dc.titleIterative matrix-free computation of Hopf bifurcations as Neimark-Sacker points of fixed point iterations
dc.typedoctoralThesis
dc.identifier.urnurn:nbn:de:kobv:11-100200390
dc.identifier.doihttp://dx.doi.org/10.18452/16478
dc.identifier.alephidBV039954971
dc.date.accepted2011-03-18
dc.contributor.refereeGriewank, Andreas
dc.contributor.refereeGauger, Nicolas R.
dc.contributor.refereeGovaerts, Willy J. F.
dc.subject.dnb27 Mathematik
local.edoc.pages103
local.edoc.type-nameDissertation
bua.departmentMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II

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