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2012-10-04Dissertation DOI: 10.18452/16596
Gieseker-Petri divisors and Brill-Noether theory of K3-sections
dc.contributor.authorLelli-Chiesa, Margherita
dc.date.accessioned2017-06-18T11:46:21Z
dc.date.available2017-06-18T11:46:21Z
dc.date.created2012-10-15
dc.date.issued2012-10-04none
dc.identifier.urihttp://edoc.hu-berlin.de/18452/17248
dc.description.abstractDiese Dissertation untersucht Brill-Noether-Theorie der algebraischen Kurven, unter besonderer Berücksichtigung von Kurven auf K3-Flächen und Del-Pezzo-Flächen. In Kapitel 2 studieren wir den Gieseker-Petri-Ort GP_g im Modulraum M_g der glatten irreduziblen Kurven vom Geschlecht g. Dieser Ort wird definiert durch Kurven mit einer Brill-Noether-Varietät G^r_d(C), die singulär ist oder deren Dimension größer als erwartet ist. Der Satz von Gieseker-Petri impliziert, dass GP_g mindestens Kodimension 1 hat, und es wurde vermutet, dass er von reiner Kodimension 1 ist. Wir beweisen diese Vermutung für Geschlecht höchstens 13. Dies wird dadurch ermöglicht, dass man für kleine Geschlechter die Dimension der irreduziblen Komponenten von GP_g mittels "ad hoc"-Beweisführungen untersuchen kann. Lazarsfelds Beweis des Gieseker-Petri-Theorems mittels Kurven auf allgemeninen K3-Flächen deutet darauf hin, dass die Brill-Noether-Theorie von K3-Schnitten wichtig ist, um den Gieseker-Petri-Ort besser zu verstehen. Linearscharen von Kurven, die auf K3-Flächen liegen, stehen in tiefgehender Beziehung zu sogenannten Lazarsfeld-Mukai-Vektorbündeln. In Kapitel 3 untersuchen wir die Stabilität der Lazarsfeld-Mukai-Vektorbündel vom Rang 3 auf einer K3-Fläche S, und wir zeigen, dass sie viele Informationen über Netze vom Typ g^2_d auf Kurven in S enthalten. Wenn d größ genug ist, erhalten wir eine obere Schranke für die Dimension der Varietät G^2_d(C). Wenn die Brill-Noether-Zahl negativ ist, beweisen wir, dass jedes g^2_d in einer von einem Geradenbündel induzierten Linearschar enthalten ist, wie von Donagi und Morrison vermutet wurde. Kapitel 4 befasst sich mit Syzygien einer gegebenen Kurve C, die auf einer Del-Pezzo-Fläche liegt. Wir insbesondere, dass C die Greens Vermutung erfüllt, die impliziert, dass die Existenz gewisser spezieller Linearscharen auf C von den Gleichungen ihrer kanonischen Einbettung abgelesen werden kann.ger
dc.description.abstractWe investigate Brill-Noether theory of algebraic curves, with special emphasis on curves lying on $K3$ surfaces and Del Pezzo surfaces. In Chapter 2, we study the Gieseker-Petri locus GP_g inside the moduli space M_g of smooth, irreducible curves of genus g. This consists, by definition, of curves [C] in M_g such that for some r, d the Brill-Noether variety G^r_d(C), which parametrizes linear series of type g^r_d on C, either is singular or has some components exceeding the expected dimension. The Gieseker-Petri Theorem implies that GP_g has codimension at least 1 in M_g and it has been conjectured that it has pure codimension 1. We prove this conjecture up to genus 13; this is possible since, when the genus is low enough, one is able to determine the irreducible components of GP_g and to study their codimension by "ad hoc" arguments. Lazarsfeld''s proof of the Gieseker-Petri-Theorem by specialization to curves lying on general K3 surfaces suggests the importance of the Brill-Noether theory of K3-sections for a better understanding of the Gieseker-Petri locus. Linear series on curves lying on a K3 surface are deeply related to the so-called Lazarsfeld-Mukai bundles. In Chapter 3, we study the stability of rank-3 Lazarsfeld-Mukai bundles on a K3 surface S, and show it encodes much information about nets of type g^2_d on curves C contained in S. When d is large enough and C is general in its linear system, we obtain a dimensional statement for the variety G^2_d(C). If the Brill-Noether number is negative, we prove that any g^2_d is contained in a linear series which is induced from a line bundle on S, as conjectured by Donagi and Morrison. Chapter 4 concerns syzygies of any given curve C lying on a Del Pezzo surface S. In particular, we prove that C satisfies Green''s Conjecture, which implies that the existence of some special linear series on C can be read off the equations of its canonical embedding.eng
dc.language.isoeng
dc.publisherHumboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II
dc.rightsNamensnennung - Keine kommerzielle Nutzung - Keine Bearbeitung
dc.rights.urihttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/de/
dc.subjectBrill-Noether-Theorieger
dc.subjectAlgebraischen Kurvenger
dc.subjectK3-Flächenger
dc.subjectSyzygienger
dc.subjectBrill-Noether theoryeng
dc.subjectAlgebraic Curveseng
dc.subjectK3 surfaceseng
dc.subjectSyzygieseng
dc.subject.ddc510 Mathematik
dc.titleGieseker-Petri divisors and Brill-Noether theory of K3-sections
dc.typedoctoralThesis
dc.identifier.urnurn:nbn:de:kobv:11-100204810
dc.identifier.doihttp://dx.doi.org/10.18452/16596
dc.identifier.alephidBV040482667
dc.date.accepted2012-09-20
dc.contributor.refereeAprodu, Marian
dc.contributor.refereeFarkas, Gavril
dc.contributor.refereeHuybrechts, Daniel
dc.subject.dnb27 Mathematik
dc.subject.rvkSK 240
local.edoc.pages112
local.edoc.type-nameDissertation
local.edoc.institutionMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II

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