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2013-08-19Dissertation DOI: 10.18452/16790
Stabilised finite element approximation for degenerate convex minimisation problems
dc.contributor.authorBoiger, Wolfgang Josef
dc.date.accessioned2017-06-18T12:30:34Z
dc.date.available2017-06-18T12:30:34Z
dc.date.created2013-08-27
dc.date.issued2013-08-19
dc.identifier.urihttp://edoc.hu-berlin.de/18452/17442
dc.description.abstractInfimalfolgen nichtkonvexer Variationsprobleme haben aufgrund feiner Oszillationen häufig keinen starken Grenzwert in Sobolevräumen. Diese Oszillationen haben eine physikalische Bedeutung; Finite-Element-Approximationen können sie jedoch im Allgemeinen nicht auflösen. Relaxationsmethoden ersetzen die nichtkonvexe Energie durch ihre (semi)konvexe Hülle. Das entstehende makroskopische Modell ist degeneriert: es ist nicht strikt konvex und hat eventuell mehrere Minimalstellen. Die fehlende Kontrolle der primalen Variablen führt zu Schwierigkeiten bei der a priori und a posteriori Fehlerschätzung, wie der Zuverlässigkeits- Effizienz-Lücke und fehlender starker Konvergenz. Zur Überwindung dieser Schwierigkeiten erweitern Stabilisierungstechniken die relaxierte Energie um einen diskreten, positiv definiten Term. Bartels et al. (IFB, 2004) wenden Stabilisierung auf zweidimensionale Probleme an und beweisen dabei starke Konvergenz der Gradienten. Dieses Ergebnis ist auf glatte Lösungen und quasi-uniforme Netze beschränkt, was adaptive Netzverfeinerungen ausschließt. Die vorliegende Arbeit behandelt einen modifizierten Stabilisierungsterm und beweist auf unstrukturierten Netzen sowohl Konvergenz der Spannungstensoren, als auch starke Konvergenz der Gradienten für glatte Lösungen. Ferner wird der sogenannte Fluss-Fehlerschätzer hergeleitet und dessen Zuverlässigkeit und Effizienz gezeigt. Für Interface-Probleme mit stückweise glatter Lösung wird eine Verfeinerung des Fehlerschätzers entwickelt, die den Fehler der primalen Variablen und ihres Gradienten beschränkt und so starke Konvergenz der Gradienten sichert. Der verfeinerte Fehlerschätzer konvergiert schneller als der Fluss- Fehlerschätzer, und verringert so die Zuverlässigkeits-Effizienz-Lücke. Numerische Experimente mit fünf Benchmark-Tests der Mikrostruktursimulation und Topologieoptimierung ergänzen und bestätigen die theoretischen Ergebnisse.ger
dc.description.abstractInfimising sequences of nonconvex variational problems often do not converge strongly in Sobolev spaces due to fine oscillations. These oscillations are physically meaningful; finite element approximations, however, fail to resolve them in general. Relaxation methods replace the nonconvex energy with its (semi)convex hull. This leads to a macroscopic model which is degenerate in the sense that it is not strictly convex and possibly admits multiple minimisers. The lack of control on the primal variable leads to difficulties in the a priori and a posteriori finite element error analysis, such as the reliability-efficiency gap and no strong convergence. To overcome these difficulties, stabilisation techniques add a discrete positive definite term to the relaxed energy. Bartels et al. (IFB, 2004) apply stabilisation to two-dimensional problems and thereby prove strong convergence of gradients. This result is restricted to smooth solutions and quasi-uniform meshes, which prohibit adaptive mesh refinements. This thesis concerns a modified stabilisation term and proves convergence of the stress and, for smooth solutions, strong convergence of gradients, even on unstructured meshes. Furthermore, the thesis derives the so-called flux error estimator and proves its reliability and efficiency. For interface problems with piecewise smooth solutions, a refined version of this error estimator is developed, which provides control of the error of the primal variable and its gradient and thus yields strong convergence of gradients. The refined error estimator converges faster than the flux error estimator and therefore narrows the reliability-efficiency gap. Numerical experiments with five benchmark examples from computational microstructure and topology optimisation complement and confirm the theoretical results.eng
dc.language.isoeng
dc.publisherHumboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II
dc.rightsNamensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen
dc.rights.urihttp://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/
dc.subjectVariationsrechnungger
dc.subjectKonvexifizierungger
dc.subjectadaptive Finite-Elemente-Methodeger
dc.subjectdegeneriert-konvexe Problemeger
dc.subjectEnergieminimierungger
dc.subjectnichtkonvexe Minimierungger
dc.subjectpartielle Differentialgleichungger
dc.subjectRelaxationger
dc.subjectStabilisierungger
dc.subjectstarke Konvergenzger
dc.subjecta posteriori Fehlerschaetzerger
dc.subjectZuverlaessigkeits-Effizienz-Lueckeger
dc.subjectEuler-Lagrange-Gleichungenger
dc.subjectgarantierte obere Schrankenger
dc.subjectadaptive finite element methodseng
dc.subjectrelaxationeng
dc.subjectconvexificationeng
dc.subjectcalculus of variationseng
dc.subjectdegenerate convex problemseng
dc.subjectenergy reductioneng
dc.subjectnonconvex minimisationeng
dc.subjectpartial differential equationeng
dc.subjectstabilisationeng
dc.subjectstrong convergenceeng
dc.subjecta posteriori error estimateeng
dc.subjectreliability-efficiency gapeng
dc.subjectEuler-Lagrange equationseng
dc.subjectguaranteed upper boundseng
dc.subject.ddc510 Mathematik
dc.titleStabilised finite element approximation for degenerate convex minimisation problems
dc.typedoctoralThesis
dc.identifier.urnurn:nbn:de:kobv:11-100211496
dc.identifier.doihttp://dx.doi.org/10.18452/16790
dc.identifier.alephidBV041239780
dc.date.accepted2013-07-04
dc.contributor.refereeCarstensen, Carsten
dc.contributor.refereeBartels, Sören
dc.contributor.refereePark, Eun-Jae
dc.subject.dnb27 Mathematik
local.edoc.pages155
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local.edoc.type-nameDissertation
local.edoc.institutionMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II

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