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2013-09-17Dissertation DOI: 10.18452/16818
Aspects of guaranteed error control in computations for partial differential equations
dc.contributor.authorMerdon, Christian
dc.date.accessioned2017-06-18T12:36:32Z
dc.date.available2017-06-18T12:36:32Z
dc.date.created2013-09-23
dc.date.issued2013-09-17
dc.identifier.urihttp://edoc.hu-berlin.de/18452/17470
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dc.description.abstractDiese Arbeit behandelt garantierte Fehlerkontrolle für elliptische partielle Differentialgleichungen anhand des Poisson-Modellproblems, des Stokes-Problems und des Hindernisproblems. Hierzu werden garantierte obere Schranken für den Energiefehler zwischen exakter Lösung und diskreten Finite-Elemente-Approximationen erster Ordnung entwickelt. Ein verallgemeinerter Ansatz drückt den Energiefehler durch Dualnormen eines oder mehrerer Residuen aus. Hinzu kommen berechenbare Zusatzterme, wie Oszillationen der gegebenen Daten, mit expliziten Konstanten. Für die Abschätzung der Dualnormen der Residuen existieren viele verschiedene Techniken. Diese Arbeit beschäftigt sich vorrangig mit Equilibrierungsschätzern, basierend auf Raviart-Thomas-Elementen, welche effiziente garantierte obere Schranken ermöglichen. Diese Schätzer werden mit einem Postprocessing-Verfahren kombiniert, das deren Effizienz mit geringem zusätzlichen Rechenaufwand deutlich verbessert. Nichtkonforme Finite-Elemente-Methoden erzeugen zusätzlich ein Inkonsistenzresiduum, dessen Dualnorm mit Hilfe diverser konformer Approximationen abgeschätzt wird. Ein Nebenaspekt der Arbeit betrifft den expliziten residuen-basierten Fehlerschätzer, der für gewöhnlich optimale und leicht zu berechnende Verfeinerungsindikatoren für das adaptive Netzdesign liefert, aber nur schlechte garantierte obere Schranken. Eine neue Variante, die auf den equilibrierten Flüssen des Luce-Wohlmuth-Fehlerschätzers basiert, führt zu stark verbesserten Zuverlässigkeitskonstanten. Eine Vielzahl numerischer Experimente vergleicht alle implementierten Fehlerschätzer und zeigt, dass effiziente und garantierte Fehlerkontrolle in allen vorliegenden Modellproblemen möglich ist. Insbesondere zeigt ein Modellproblem, wie die Fehlerschätzer erweitert werden können, um auch auf Gebieten mit gekrümmten Rändern garantierte obere Schranken zu liefern.ger
dc.description.abstractThis thesis studies guaranteed error control for elliptic partial differential equations on the basis of the Poisson model problem, the Stokes equations and the obstacle problem. The error control derives guaranteed upper bounds for the energy error between the exact solution and different finite element discretisations, namely conforming and nonconforming first-order approximations. The unified approach expresses the energy error by dual norms of one or more residuals plus computable extra terms, such as oscillations of the given data, with explicit constants. There exist various techniques for the estimation of the dual norms of such residuals. This thesis focuses on equilibration error estimators based on Raviart-Thomas finite elements, which permit efficient guaranteed upper bounds. The proposed postprocessing in this thesis considerably increases their efficiency at almost no additional computational costs. Nonconforming finite element methods also give rise to a nonconsistency residual that permits alternative treatment by conforming interpolations. A side aspect concerns the explicit residual-based error estimator that usually yields cheap and optimal refinement indicators for adaptive mesh refinement but not very sharp guaranteed upper bounds. A novel variant of the residual-based error estimator, based on the Luce-Wohlmuth equilibration design, leads to highly improved reliability constants. A large number of numerical experiments compares all implemented error estimators and provides evidence that efficient and guaranteed error control in the energy norm is indeed possible in all model problems under consideration. Particularly, one model problem demonstrates how to extend the error estimators for guaranteed error control on domains with curved boundary.eng
dc.language.isoeng
dc.publisherHumboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II
dc.rightsNamensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen
dc.rights.urihttp://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/
dc.subjectVariationsrechnungger
dc.subjectadaptive Finite-Elemente-Methodeger
dc.subjecta posteriori Fehlerschaetzerger
dc.subjectgarantierte obere Schrankenger
dc.subjectVariationsungleichungenger
dc.subjectStokes-Gleichungenger
dc.subjectpartielle Differentialgleichungenger
dc.subjectadaptive finite element methodseng
dc.subjectcalculus of variationseng
dc.subjectpartial differential equationeng
dc.subjecta posteriori error estimateeng
dc.subjectguaranteed upper boundseng
dc.subjectvariational inequalitieseng
dc.subjectStokes equationseng
dc.subject.ddc510 Mathematik
dc.titleAspects of guaranteed error control in computations for partial differential equations
dc.typedoctoralThesis
dc.identifier.urnurn:nbn:de:kobv:11-100212544
dc.identifier.doihttp://dx.doi.org/10.18452/16818
dc.identifier.alephidBV041283282
dc.date.accepted2013-08-02
dc.contributor.refereeCarstensen, Carsten
dc.contributor.refereeSchröder, Andreas
dc.contributor.refereeFunken, Stefan
dc.subject.dnb27 Mathematik
dc.subject.rvkSK 560
dc.subject.rvkSK 920
local.edoc.pages217
local.edoc.type-nameDissertation
bua.departmentMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II

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