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2014-02-07Dissertation DOI: 10.18452/16895
Studies of robustness in stochastic analysis and mathematical finance
dc.contributor.authorPerkowski, Nicolas Simon
dc.date.accessioned2017-06-18T12:52:49Z
dc.date.available2017-06-18T12:52:49Z
dc.date.created2014-02-10
dc.date.issued2014-02-07
dc.identifier.urihttp://edoc.hu-berlin.de/18452/17547
dc.description.abstractDiese Dissertation behandelt Fragen aus der stochastischen Analysis und der Finanzmathematik, die sich unter dem Begriff der Robustheit zusammenfassen lassen. Zunächst betrachten wir finanzmathematische Modelle mit Arbitragemöglichkeiten. Wir identifizieren die Abwesenheit von Arbitragemöglichkeiten der ersten Art (NA1) als minimale Eigenschaft, die in jedem finanzmathematischen Modell gelten muss, und zeigen, dass (NA1) äquivalent zur Existenz eines dominierenden lokalen Martingalmaßes ist. Als Beispiel für Prozesse, die (NA1) erfüllen, studieren wir stetige lokale Martingale, die darauf bedingt werden nie Null zu treffen. Anschließend verwenden wir eine modellfreie Version der (NA1) Eigenschaft, die es erlaubt, qualitative Eigenschaften von “typischen Preistrajektorien” zu beschreiben. Hier konstruieren wir ein pfadweises Itô-Integral. Dies deutet an, dass sich typische Preispfade als rough-path-Integratoren verwenden lassen. Nun entwickeln wir mittels Fourierentwicklungen einen alternativen Zugang zur rough-path-Theorie. Wir zerlegen das Integral in drei Operatoren mit verschiedenen Eigenschaften. So wird offensichtlich, dass Integratoren mit der Regularität der Brownschen Bewegung mit ihrer Lévy-Fläche versehen werden müssen, um ein pfadweise stetiges Integral zu erhalten. Daraufhin bemerken wir, dass die Integration zweier Funktionen gegeneinander äquivalent dazu ist, eine Funktion mit der Ableitung einer anderen (im Allgemeinen eine Distribution) zu multiplizieren. In höheren Dimensionen ist das Multiplikationsproblem jedoch allgemeiner. Wir verwenden Littlewood-Paley-Theorie, um unseren Fourier-Zugang zur rough-path-Theorie auf Funktionen mehrdimensionaler Variablen zu erweitern. Wir konstruieren einen Operator, der für Funktionen mit dem punktweisen Produkt übereinstimmt und in einer geeigneten Topologie stetig ist. Nun lassen sich stochastische partielle Differentialgleichungen lösen, die bisher aufgrund von Nichtlinearitäten nicht zugänglich waren.ger
dc.description.abstractThis thesis deals with various problems from stochastic analysis and from mathematical finance that can best be summarized under the common theme of robustness. We begin by studying financial market models with arbitrage opportunities. We identify the weak notion of absence of arbitrage opportunities of the first kind (NA1) as the minimal property that every sensible asset price model should satisfy, and we prove that (NA1) is equivalent to the existence of a dominating local martingale. As examples of processes that satisfy (NA1) but do not admit equivalent local martingale measures, we study continuous local martingales conditioned not to hit zero. We continue by working with a model free formulation of the (NA1) property, which permits to describe qualitative properties of “typical asset price trajectories”. We construct a pathwise Itô integral for typical price paths. Our results indicate that typical price paths can be used as integrators in the theory of rough paths. Next, we use a Fourier series expansion to develop an alternative approach to rough path integration. We decompose the integral into three components with different behavior. Then it is easy to see that integrators with the regularity of the Brownian motion must be equipped with their Lévy area to obtain a pathwise continuous integral operator. We now note that integrating two functions against each other is equivalent to multiplying one with the derivative of the other, which will in general only be a distribution. In higher index dimensions however, the multiplication problem is more general. We use Littlewood-Paley theory to extend our Fourier approach from rough path integrals to multiplying functions of a multidimensional index. We construct an operator which agrees with the usual product for smooth functions, and which is continuous in a suitable topology. We apply this to solve stochastic partial differential equations that were previously difficult to access due to nonlinearities.eng
dc.language.isoeng
dc.publisherHumboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II
dc.rightsNamensnennung - Keine kommerzielle Nutzung - Keine Bearbeitung
dc.rights.urihttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/de/
dc.subjectRobustheitger
dc.subjectstochastische Analysisger
dc.subjectFinanzmathematikger
dc.subjectArbitrageger
dc.subjectInformationsasymmetrieger
dc.subjectrough-path-Integrationger
dc.subjectFourier-Analysisger
dc.subjectstochastische partielle Differentialgleichungenger
dc.subjectrobustnesseng
dc.subjectstochastic analysiseng
dc.subjectfinancial mathematicseng
dc.subjectarbitrageeng
dc.subjectinformation asymmetryeng
dc.subjectrough path integrationeng
dc.subjectFourier analysiseng
dc.subjectstochastic partial differential equationseng
dc.subject.ddc510 Mathematik
dc.titleStudies of robustness in stochastic analysis and mathematical finance
dc.typedoctoralThesis
dc.identifier.urnurn:nbn:de:kobv:11-100215468
dc.identifier.doihttp://dx.doi.org/10.18452/16895
dc.identifier.alephidBV041640016
dc.date.accepted2013-12-13
dc.contributor.refereeImkeller, Peter
dc.contributor.refereeFriz, Peter
dc.contributor.refereeLyons, Terry
dc.contributor.refereeTeichmann, Josef
dc.subject.dnb27 Mathematik
local.edoc.pages212
local.edoc.type-nameDissertation
local.edoc.institutionMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II

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