A theory of conditional sets

Abstract

Diese Arbeit befasst sich mit der Entwicklung einer Theorie bedingter Mengen. Bedingte Mengenlehre ist reich genug um einen bedingten mathematischen Diskurs zu führen, dessen Möglichkeit wir durch die Konstruktion einer bedingten Topologielehre und bedingter reeller Analysis aufzeigen. Wir beweisen die bedingte Version folgender Sätze: Ultrafilterlemma, Tychonoff, Borel-Lebesgue, Heine-Borel, Bolzano-Weierstraß, und das Gaplemma von Debreu. Darüberhinaus beweisen wir die bedingte Version derjenigen Resultate der klassischen Mathematik, die in den Beweisen dieser Sätze benötigt werden, beginnend mit der Mengenlehre. Wir diskutieren die Verbindung von bedingter Mengenlehre zur Garben-, Topos- und L0-Theorie.

In this thesis, we develop a theory of conditional sets. Conditional set theory is sufficiently rich in order to allow for a conditional mathematical reasoning, the possibility of which we demonstrate by constructing a conditional general topology and a conditional real analysis. We prove the conditional version of the following theorems: Ultrafilter Lemma, Tychonoff, Borel-Lebesgue, Heine-Borel, Bolzano-Weierstraß, and Debreu’s Gap Lemma. Moreover, we prove the conditional version of those results in classical mathematics which are needed in the proofs of these theorems, starting from set theory. We discuss the connection of conditional set theory to sheaf, topos and L0-theory.