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2014-05-23Dissertation DOI: 10.18452/16970
On the quasi-optimal convergence of adaptive nonconforming finite element methods in three examples
dc.contributor.authorRabus, Hella
dc.date.accessioned2017-06-18T13:08:14Z
dc.date.available2017-06-18T13:08:14Z
dc.date.created2014-06-03
dc.date.issued2014-05-23
dc.identifier.urihttp://edoc.hu-berlin.de/18452/17622
dc.description.abstractEine Vielzahl von Anwendungen in der numerischen Simulation der Strömungsdynamik und der Festkörpermechanik begründen die Entwicklung von zuverlässigen und effizienten Algorithmen für nicht-standard Methoden der Finite-Elemente-Methode (FEM). Um Freiheitsgrade zu sparen, wird in jedem Durchlauf des adaptiven Algorithmus lediglich ein Teil der Gebiete verfeinert. Einige Gebiete bleiben daher möglicherweise verhältnismäßig grob. Die Analyse der Konvergenz und vor allem die der Optimalität benötigt daher über die a priori Fehleranalyse hinausgehende Argumente. Etablierte adaptive Algorithmen beruhen auf collective marking, d.h. die zu verfeinernden Gebiete werden auf Basis eines Gesamtfehlerschätzers markiert. Bei adaptiven Algorithmen mit separate marking wird der Gesamtfehlerschätzer in einen Volumenterm und in einen Fehlerschätzerterm aufgespalten. Da der Volumenterm unabhängig von der diskreten Lösung ist, kann einer schlechten Datenapproximation durch eine lokal tiefe Verfeinerung begegnet werden. Bei hinreichender Datenapproximation wird das Gitter dagegen bezüglich des neuen Fehlerschätzerterms wie üblich level-orientiert verfeinert. Die numerischen Experimente dieser Arbeit liefern deutliche Indizien der quasi-optimalen Konvergenz für den in dieser Arbeit untersuchten adaptiven Algorithmus, der auf separate marking beruht. Der Parameter, der die Verbesserung der Datenapproximation sicherstellt, ist frei wählbar. Dadurch ist es erstmals möglich, eine ausreichende und gleichzeitig optimale Approximation der Daten innerhalb weniger Durchläufe zu erzwingen. Diese Arbeit ermöglicht es, Standardargumente auch für die Konvergenzanalyse von Algorithmen mit separate marking zu verwenden. Dadurch gelingt es Quasi-Optimalität des vorgestellten Algorithmus gemäß einer generellen Vorgehensweise für die drei Beispiele, dem Poisson Modellproblem, dem reinen Verschiebungsproblem der linearen Elastizität und dem Stokes Problem, zu zeigen.ger
dc.description.abstractVarious applications in computational fluid dynamics and solid mechanics motivate the development of reliable and efficient adaptive algorithms for nonstandard finite element methods (FEMs). To reduce the number of degrees of freedom, in adaptive algorithms only a selection of finite element domains is marked for refinement on each level. Since some element domains may stay relatively coarse, even the analysis of convergence and more importantly the analysis of optimality require new arguments beyond an a priori error analysis. In adaptive algorithms, based on collective marking, a (total) error estimator is used as refinement indicator. For separate marking strategies, the (total) error estimator is split into a volume term and an error estimator term, which estimates the error. Since the volume term is independent of the discrete solution, if there is a poor data approximation the improvement may be realised by a possibly high degree of local mesh refinement. Otherwise, a standard level-oriented mesh refinement based on an error estimator term is performed. This observation results in a natural adaptive algorithm based on separate marking, which is analysed in this thesis. The results of the numerical experiments displayed in this thesis provide strong evidence for the quasi-optimality of the presented adaptive algorithm based on separate marking and for all three model problems. Furthermore its flexibility (in particular the free steering parameter for data approximation) allows a sufficient and optimal data approximation in just a few number of levels of the adaptive scheme. This thesis adapts standard arguments for optimal convergence to adaptive algorithms based on separate marking with a possibly high degree of local mesh refinement, and proves quasi-optimality following a general methodology for three model problems, i.e., the Poisson model problem, the pure displacement problem in linear elasticity and the Stokes equations.eng
dc.language.isoeng
dc.publisherHumboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II
dc.rightsNamensnennung - Keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen
dc.rights.urihttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/de/
dc.subjectadaptive Finite-Elemente-Methodeger
dc.subjectpartielle Differentialgleichungger
dc.subjecta posteriori Fehlerschaetzerger
dc.subjectnicht-konforme Finite-Elemente-Methodeger
dc.subjectquasi-optimale Konvergenzger
dc.subjectPoisson Modellproblemger
dc.subjectNavier-Lame Gleichungenger
dc.subjectStokes Gleichungenger
dc.subjectadaptive finite element methodseng
dc.subjectpartial differential equationeng
dc.subjectStokes equationseng
dc.subjectnonconform finite element methodseng
dc.subjectquasi-optimal convergenceeng
dc.subjectPoisson model problemeng
dc.subjectNavier-Lame equationseng
dc.subjecta posteriori error estimateeng
dc.subject.ddc510 Mathematik
dc.titleOn the quasi-optimal convergence of adaptive nonconforming finite element methods in three examples
dc.typedoctoralThesis
dc.identifier.urnurn:nbn:de:kobv:11-100217700
dc.identifier.doihttp://dx.doi.org/10.18452/16970
dc.identifier.alephidBV041889529
dc.date.accepted2014-04-23
dc.contributor.refereeCarstensen, Carsten
dc.contributor.refereeBrenner, Susanne C.
dc.contributor.refereeHoppe, Ronald H.W.
dc.subject.dnb27 Mathematik
dc.subject.rvkSK 910
local.edoc.pages163
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local.edoc.type-nameDissertation
local.edoc.institutionMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II

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