Wonderful renormalization

Abstract

Die sogenannten wunderbaren Modelle für Teilraumanordnungen, eingeführt von DeConcini und Procesi, basierend auf den Techniken der Fulton und MacPherson''schen Kompaktifzierung von Konfigurationsräumen, ermöglichen es, eine Fortsetzung von Feynmandistributionen auf die ihnen zugeordneten divergenten Teilräume in kanonischer Weise zu definieren. Dies wurde in der Dissertation von Christoph Bergbauer ausgearbeitet und diese Arbeit führt die dort präsentierten Ideen weiter aus. Im Unterschied formulieren wir die zentralen Begriffe nicht in geometrischer Sprache, sondern mit Hilfe der partiell geordneten Menge der divergenten Subgraphen eines Feynmangraphen. Dieser Ansatz ist inspiriert durch Feichtners Formulierung der wunderbaren Modellkonstruktion aus kombinatorischer Sicht. Diese Betrachtungsweise vereinfacht die Darstellung deutlich und führt zu einem besseren Verständnis der Fortsetzungs- bzw. Renormierungsoperatoren. Darüber hinaus erlaubt sie das Studium der Renormierungsgruppe, d.h. zu untersuchen, wie sich die renormierten Distributionen unter einem Wechsel des Renormierungspunktes verhalten. Wir zeigen, dass eine sogenannte endliche Renormierung sich darstellen läßt als eine Summe von durch die divergenten Subgraphen bestimmten Distributionen. Dies alles unterstreicht den wohlbekannten Fakt, dass perturbative Renormierung zum größten Teil durch die Kombinatorik von Feynmangraphen bestimmt ist und die analytischen Aspekte nur eine untergeordnete Rolle spielen.

The so-called wonderful models of subspace arrangements, developed in by DeConcini and Procesi, based on Fulton and MacPherson''s seminal paper on a compactification of configuration space, serve as a systematic way to resolve the singularities of Feynman distributions and define in this way canonical renormalization operators. In this thesis we continue the work of Bergbauer where wonderful models were introduced to solve the renormalization problem in position space. In contrast to the exposition there, instead of the subspaces in the arrangement of divergent loci we use the poset of divergent subgraphs of a given Feynman graph as the main tool to describe the wonderful construction and the renormalization operators. This is based on a review article by Feichtner where wonderful models were studied from a purely combinatorial viewpoint. The main motivation for this approach is the fact that both, the renormalization process and the model construction, are governed by the combinatorics of this poset. Not only simplifies this the exposition considerably, but it also allows to study the renormalization operators in more detail. Moreover, we explore the renormalization group in this setting, i.e. we study how the renormalized distributions change if one varies the renormalization points. We show that a so-called finite renormalization is expressed as a sum of distributions determined by divergent subgraphs. The bottom line is that - as is well known, at the latest since the discovery of a Hopf algebra structure underlying renormalization - the whole process of perturbative renormalization is governed by the combinatorics of Feynman graphs while the calculus involved plays only a supporting role.