Induced Dirac-Schrödinger operators on $S^1$-semi-free quotients

Abstract

John Lott berechnete eine Signatur mit ganzzahligen Werten für den Orbitraum einer kompakten, orientierbaren (4k + 1)-Mannigfaltigkeit mit einer halbfreien S1-Wirkung. Diese Signatur ist eine Homotopieinvariante für den Orbitraum. Allerdings konstruierte er keinen Operator vom Dirac-Typ, der die Signatur als Index besitzt. In dieser Arbeit konstruieren wir einen solchen Operator auf dem Orbitraum der S1-Wirkung, einem Thom-Mather stratifizierten Raum mit einem singulären Stratum von positiver Dimension, und wir zeigen, dass der Operator im wesentlichen eindeutig bestimmt ist. Ferner zeigen wir, dass sein Index mit Lotts Signatur übereinstimmt, zumindest wenn der stratifizierte Raum die sogenannte Witt-Bedingung erfüllt. Wirnennendiesen Operator den induzierten Dirac-Schrödinger Operator. Unsere Konstruktionsstrategie ist es, einen geeigneten S1-invarianten transversal elliptischen Operator erster Ordnung auf den S1-invarianten Differentialformen zu definieren, der den gesuchten Operator auf den Differentialformen des Orbitraums induziert. Die Witt-Bedingung, eine topologische Bedingung, welche in diesem Fall von der Kodimension der betrachteten Punktmenge abhängt, lässt verschiedene analytische Schlussfolgerungen zu. Insbesondere ist, wenn die Bedingung nicht erfüllt ist, der Hodge-de Rham Operator auf dem Quotientenraum nicht notwendigerweise essentiell selbstadjungiert und die Wahl einer Randbedingung ist daher notwendig. Diese Wahlfreiheit erscheint unnatürlich in Anbetracht der Tatsache, dass Lotts Signatur unabhängig von der Witt-Bedingung wohldefiniert ist. Der Dirac-Schrödinger Operator, der in dieser Arbeit konstruiert wird, unterschei- det sich vom Hodge-de Rham Operator durch einen Term nullter Ordnung, welcher sicherstellt, dass der Operator wesentlich selbstadjungiert ist. Außerdem antikommutiert dieser Term nullter Ordnung mit der Signatur-Involution, wodurch der gesamte Operator zerfällt und so der Index berechnet werden kann, auch wenn die Witt-Bedingung nicht erfüllt ist.

John Lott has computed an integer-valued signature for the orbit space of a compact orientable (4k + 1) manifold with a semi-free S1-action, which is a homotopy invariant of that space, but he did not construct a Dirac type operator which has this signature as its index. In this Thesis, we construct such operator on the orbit space, a Thom-Mather stratified space with one singular stratum of positive dimension, and we show that it is essentially unique and that its index coincides with Lott’s signature, at least when the stratified space satisfies the so called Witt condition. We call this operator the induced Dirac-Schrödinger operator. The strategy of the construction is to “push down” an appropriate S1-invariant first order transversally elliptic operator to the quotient space. The Witt condition, a topological condition which in this case depends on the codi- mension of the fixed point set, has various analytic consequences. In particular, when not satisfied, the Hodge-de Rham operator on the quotient space does not need to be essentially self-adjoint and therefore a choice of boundary conditions is required. This choice freedom is not natural in view of the fact that Lott’s signature is well defined independently of the Witt condition. The Dirac-Schrödinger operator constructed in this Thesis differs from the Hodge-de Rham operator by a zero order term which ensures it to be essentially self-adjoint. Moreover, this zero order term anti-commutes with the chirality involution allowing the whole operator to split so that the index can be computed even if the Witt condition is not satisfied.