Stability of dynamical processes on complex networks

Abstract

Die vorliegende Arbeit umfasst die Entwicklung eines Rahmens zur Bewertung der Stabilität von (multistabilen) komplexen (vernetzten) dynamischen Systemen. Als ersten Beitrag schlagen wir die multiple-node basin stability (MNBS) vor, um die Stabilität vernetzter dynamischer Systeme als Reaktion auf nicht-infinitesimale Störungen zu messen, die gleichzeitig mehrere Knoten des Systems beeinflussen. Weiterhin beziehen wir uns auf das Konzept der Resilienz zur Charakterisierung von Multistabilität. Inspiriert vom Konzept der ökologischen Resilienz schlussfolgern wir, dass die Stabilität der verschiedenen Attraktoren eines multistabilen Systems von der Gesamtstruktur ihrer jeweiligen Einzugsgebiet bestimmt wird. Insbesondere identifizieren wir sowohl die lokale Dynamik des Systems im Zustandsraum als auch die relative Position des Attraktors im Einzugsgebiet zusätzlich zum dessen Volumen als entscheidende Aspekte, welche die Gesamtstabilität eines Attraktors charakterisieren. Die genannten Aspekte werden im Maß der integral stability (IS) für die ganzheitliche Quantifizierung von Multistabilität zusammengeführt. Komplementär lässt sich auch das Konzept der technischen Resilienz betrachten, welches sich auf die Rückkehrgeschwindigkeit eines Systems zu seinem Gleichgewicht, in Folge einer Störung, bezieht. Im spezifischen Kontext von vernetzten dynamischen Systemen definieren wir die single-node recovery time (SNRT). Diese stellt ein neues Maß zur Schätzung der relativen Zeitskalen dar, die der transienten Knotendynamik eines Netzwerks zugrunde liegen, welches nach einer nicht-infinitesimalen Störung an einem Knoten in seinen gewünschten Betriebszustand zurückkehrt. Schliesslich befassen wir uns mit der Untersuchung der Synchronisationsstabilität in speziellen komplexen Netzwerken, welche entweder die Kleine-Welt-Eigenschaft aufweisen oder eine Kombination aus skalenfreier Knotengradverteilung und hierarchischer Organisation zeigen.

The present endeavour comprises the development of a framework for the assessment of the stability of (multistable) complex (networked) dynamical systems. As a first contribution, we propose the framework of multiple-node basin stability (MNBS) for gauging the stability of networked dynamical systems in response to non-infinitesimal perturbations simultaneously affecting multiple nodes of the system. We then turn to the theoretical framework of resilience in identifying the different aspects characterizing multistability. Inspired by the concept of ecological resilience, we assert that the stability of the different attractors of a multistable system is determined by the overall structure of their respective basins of attraction. In particular, we identify the local dynamics of the system in the state space and the relative position of the attractor within the basin, in addition to the volume of the basin of attraction as crucial aspects determining overall stability of an attractor. We combine the aforementioned aspects in proposing the measure of integral stability (IS) for holistically quantifying multistability. We also draw inspiration from the concept of engineering resilience, which relates to the speed of return of the system to its equilibrium, following a perturbation. In the specific context of networked dynamical systems, we propose the framework of single-node recovery time (SNRT) for obtaining an estimate of the relative time scales underlying the transient dynamics of the nodes of a network returning to its desired operational state, following a non-infinitesimal perturbation to any specific node. Finally, we delve into the explicit investigation of the stability of synchronization on complex dynamical networks exhibiting small-world properties and of those, simultaneously displaying scale-free behaviour and hierarchical organization.