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2018-04-13Dissertation DOI: 10.18452/19118
Large Deviations Studies for Small Noise Limits of Dynamical Systems Perturbed by Lévy Processes
dc.contributor.authorDe Oliveira Gomes, André
dc.date.accessioned2018-04-13T13:11:37Z
dc.date.available2018-04-13T13:11:37Z
dc.date.issued2018-04-13
dc.identifier.urihttp://edoc.hu-berlin.de/18452/19868
dc.description.abstractDie vorliegende Dissertation beschäftigt sich mit der Anwendung der Theorie der großen Abweichungen auf verschiedene Fragestellungen der stochastischen Analysis und stochastischen Dynamik von Sprungprozessen. Die erste Fragestellung behandelt die erste Austrittszeit aus einem beschränkten Gebiet für eine bestimmte Klasse von Sprungdiffusionen mit exponentiell leichten Sprüngen. In Abhängigkeit von der Leichtheit des Sprungmaßes wird das asymptotische Verhalten der Verteilung und insbesondere der Erwartung der ersten Austrittszeit bestimmt wenn das Rauschen verschwindet. Dabei folgt die Verteilung der ersten Austrittszeit einem Prinzip der großen Abweichungen im Falle eines superexponentiellen Sprungmaßes. Wohingegen im subexponentiellen Fall die Verteilung einem Prinzip moderater Abweichungen genügt. In beiden Fällen wird die Asymptotik bestimmt durch eine deterministische Größe, die den minimalen Energieaufwand beschreibt, um die Sprungdiffusion einen optimalen Kontrollpfad, der zum Austritt führt, folgen zu lassen. Die zweite Fragestellung widmet sich dem Grenzverhalten gekoppelter Vorwärts-Rückwärtssysteme stochastischer Differentialgleichungen bei kleinem Rauschen. Dazu assoziiert ist eine spezielle Klasse nicht-lokaler partieller Differentialgleichungen, die auch in nicht-lokalen Modellen der Fluiddynamik eine Rolle spielen. Mithilfe eines probabilistischen Ansatzes und der Markovschen Struktur dieser Systeme wird die Konvergenz auf Ebene von Viskositätslösungen untersucht. Dabei wird ein Prinzip der großen Abweichungen für die involvierten Stochastischen Prozesse hergeleitet.ger
dc.description.abstractThis thesis deals with applications of Large Deviations Theory to different problems of Stochastic Dynamics and Stochastic Analysis concerning Jump Processes. The first problem we address is the first exit time from a fixed bounded domain for a certain class of exponentially light jump diffusions. According to the lightness of the jump measure of the driving process, we derive, when the source of the noise vanishes, the asymptotic behavior of the law and of the expected value of first exit time. In the super-exponential regime the law of the first exit time follows a large deviations scale and in the sub-exponential regime it follows a moderate deviations one. In both regimes the first exit time is comprehended, in the small noise limit, in terms of a deterministic quantity that encodes the minimal energy the jump diffusion needs to spend in order to follow an optimal controlled path that leads to the exit. The second problem that we analyze is the small noise limit of a certain class of coupled forward-backward systems of Stochastic Differential Equations. Associated to these stochastic objects are some nonlinear nonlocal Partial Differential Equations that arise as nonlocal toy-models of Fluid Dynamics. Using a probabilistic approach and the Markov nature of these systems we study the convergence at the level of viscosity solutions and we derive a large deviations principles for the laws of the stochastic processes that are involved.eng
dc.language.isoeng
dc.publisherHumboldt-Universität zu Berlin
dc.rights(CC BY 3.0 DE) Namensnennung 3.0 Deutschlandger
dc.rights.urihttp://creativecommons.org/licenses/by/3.0/de/
dc.subjectPrinzip der Grossen Abweichungenger
dc.subjectLévy Prozesse und Poisson´sche Zufallsmasseger
dc.subjectStochastic Differentialgleichungenger
dc.subjectExponentiell leichte Sprungdiffusionenger
dc.subjectFirst Exit Timeseng
dc.subjectLévy Processes and Poisson Random Measureseng
dc.subjectLarge Deviations Principleseng
dc.subjectStochastic Differential Equationseng
dc.subjectExponentially Light Jump Diffusionseng
dc.subject.ddc510 Mathematik
dc.titleLarge Deviations Studies for Small Noise Limits of Dynamical Systems Perturbed by Lévy Processes
dc.typedoctoralThesis
dc.subtitleDissertation zur Erlangung des akademischen Grades doctor rerum naturalium im Fach Mathematik der Humboldt-Universitat zu Berlin
dc.identifier.urnurn:nbn:de:kobv:11-110-18452/19868-7
dc.identifier.doihttp://dx.doi.org/10.18452/19118
dc.date.accepted2017-07-14
dc.contributor.refereeHögele, Michael
dc.contributor.refereeImkeller, Peter
dc.contributor.refereeBecherer, Dirk
dc.subject.rvkSK 810
local.edoc.pages249
local.edoc.type-nameDissertation
local.edoc.institutionMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät

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