Rank Stratification of Spaces of Quadrics and Moduli of Curves

Abstract

In dieser Arbeit untersuchen wir Varietäten singulärer, quadratischer Hyperflächen, die eine projektive Kurve enthalten, und effektive Divisoren im Modulraum von Kurven, die mittels verschiedener Eigenschaften von quadratischen Hyperflächen definiert werden.

In Kapitel 2 berechnen wir die Klasse des effektiven Divisors im Modulraum von Kurven mit Geschlecht g und n markierten Punkten, der als der Ort von solchen markierten Kurven definiert ist, dass das Projektion der kanonischen Abbildung der Kurve von den markierten Punkten auf einer quadratischen Hyperfläche liegt. Mithilfe dieser Klasse zeigen wir, dass die Modulräume mit Geschlecht 16, 17 und 8 markierten Punkten Varietäten von allgemeinem Typ sind.

In Kapitel 3 stratifizieren wir den Raum von quadratischen Hyperflächen, die eine projektive Kurve enthalten, mithilfe des Rangs dieser Hyperflächen. Wir zeigen, dass jedes Stratum die erwartete Dimension hat, falls die Kurve ein allgemeines Element des Hilbertschemas ist. Mit Rücksicht auf Rang von quadratischen Hyperflächen, eine ähnliche Konstruktion wie in Kapitel 2 ergibt neue Divisoren im Modulraum von Kurven. Wir berechnen die Klasse von diesen Divisoren und zeigen, dass der Modulraum von Kurven mit Geschlecht 15 und 9 markierten Punkten eine Varietät von allgemeinem Typ ist.

In Kapitel 4 präsentieren wir unterschiedliche Resultate, die mit Themen von vorigen Kapiteln im Zusammenhang stehen. Zum Ersten berechnen wir die Klasse von Divisoren im Modulraum von Kurven, die als die Orte von Kurven definiert sind, wo die maximale Rang Vermutung nicht gilt. Zweitens zeigen wir, dass jedes Geradenbündel als Tensorprodukt von zwei Geradenbündeln mit zwei Schnitten geschrieben werden kann, falls die Kurve allgemein ist und eine gewisse numerische Bedingung erfüllt ist. Zuletzt benutzen wir bekannte Divisorklassen zu zeigen, dass der Modulraum von Kurven mit Geschlecht 12 und 10 markierten Punkten eine Varietät von allgemeinem Typ ist.

In this thesis, we study varieties of singular quadrics containing a projective curve and effective divisors in the moduli space of pointed curves defined via various constructions involving quadric hypersurfaces.

In Chapter 2, we compute the class of the effective divisor in the moduli space of n-pointed genus g curves, which is defined as the locus of pointed curves such that the projection of the canonical model of the curve from the marked points lies on a quadric hypersurface. Using this class, we show that the moduli spaces of 8-pointed genus 16 and 17 curves are varieties of general type.

In Chapter 3, we stratify the space of quadrics that contain a given curve in the projective space, using the ranks of the quadrics. We show, in a certain numerical range, that each stratum has the expected dimension if the curve is general in its Hilbert scheme. By incorporating the datum of the rank of quadrics, a similar construction as the one in Chapter 2 yields new divisors in the moduli space of pointed curves. We compute the class of these divisors and show that the moduli space of 9-pointed genus 15 curves is a variety of general type.

In Chapter 4, we present miscellaneous results, which are related with our main work in the previous chapters. Firstly, we consider divisors in the moduli space of genus g curves, which are defined as the failure locus of maximal rank conjecture for hypersurfaces of degree greater than two. We illustrate three examples of such divisors and compute their classes. Secondly, using the classical correspondence between rank 4 quadrics and pencils on curves, we show that the map that associates to a pair of pencils their tensor product in the Picard variety is surjective, when the curve is general and obvious numerical assumptions are satisfied. Finally, we use divisor classes, that are already known in the literature, to show that the moduli space of 10-pointed genus 12 curves is a variety of general type.