Graphs in perturbation theory

Abstract

Inhalt dieser Arbeit ist eine Erweiterung der Hopfalgebrastruktur der Feynmangraphen und Renormierung von Connes und Kreimer. Zusätzlich wird eine Struktur auf faktoriell wachsenden Potenzreihen eingeführt, die deren asymptotisches Wachstum beschreibt und die kompatibel mit der Hopfalgebrastruktur ist.

Die Hopfalgebrastruktur auf Graphen erlaubt die explizite Enumeration von Graphen mit Einschränkungen in Bezug auf die erlaubten Untergraphen. Im Fall der Feynmangraphen wird zusätzlich eine algebraische Verbandstruktur eingeführt, die weitere eindeutige Eigenschaften von physikalischen Quantenfeldtheorien aufdeckt. Der Differenzialring der faktoriell divergenten Potenzreihen erlaubt es asymptotische Resultate von implizit definierten Potenzreihen mit verschwindendem Konvergenzradius zu extrahieren. In Kombination ergeben beide Strukturen eine algebraische Formulierung großer Graphen mit Einschränkungen für die erlaubten Untergraphen. Diese Strukturen sind motiviert von null-dimensionaler Quantenfeldtheorie and werden zur Analyse ebendieser benutzt.

Als reine Anwendung der Hopfalgebrastruktur wird eine hopfalgebraische Formulierung der Legendretransformation in Quantenfeldtheorien formuliert. Der Differenzialring der faktoriell divergenten Potenzreihen wird dazu benutzt zwei asymptotische Enumerationsprobleme zu lösen: Die asymptotische Anzahl der verbundenen Chorddiagramme und die asymptotische Anzahl der simplen Permutationen. Für beide asymptotischen Lösungen werden vollständige asymptotische Entwicklungen in Form von geschlossenen Erzeugendenfunktionen berechnet. Kombiniert werden beide Strukturen zur Anwendung an null-dimensionaler Quantenfeldtheorie. Zahlreiche Größen werden in den null-dimensionalen Varianten von phi^3, phi^4, QED, quenched QED and Yukawatheorie mit ihren kompletten asymptotischen Entwicklungen berechnet.

This thesis provides an extension of the work of Dirk Kreimer and Alain Connes on the Hopf algebra structure of Feynman graphs and renormalization to general graphs. Additionally, an algebraic structure of the asymptotics of formal power series with factorial growth, which is compatible with the Hopf algebraic structure, will be introduced.

The Hopf algebraic structure on graphs permits the explicit enumeration of graphs with constraints for the allowed subgraphs. In the case of Feynman diagrams a lattice structure, which will be introduced, exposes additional unique properties for physical quantum field theories. The differential ring of factorially divergent power series allows the extraction of asymptotic results of implicitly defined power series with vanishing radius of convergence. Together both structures provide an algebraic formulation of large graphs with constraints on the allowed subgraphs. These structures are motivated by and used to analyze renormalized zero-dimensional quantum field theory at high orders in perturbation theory.

As a pure application of the Hopf algebra structure, an Hopf algebraic interpretation of the Legendre transformation in quantum field theory is given. The differential ring of factorially divergent power series will be used to solve two asymptotic counting problems in combinatorics: The asymptotic number of connected chord diagrams and the number of simple permutations. For both asymptotic solutions, all order asymptotic expansions are provided as generating functions in closed form. Both structures are combined in an application to zero-dimensional quantum field theory. Various quantities are explicitly given asymptotically in the zero-dimensional version of phi^3, phi^4, QED, quenched QED and Yukawa theory with their all order asymptotic expansions.