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2019-02-08Dissertation DOI: 10.18452/19724
Generic pro-p Hecke algebras, the Hecke algebra of PGL(2, Z), and the cohomology of root data
dc.contributor.authorSchmidt, Nicolas Alexander
dc.date.accessioned2019-02-08T09:21:26Z
dc.date.available2019-02-08T09:21:26Z
dc.date.issued2019-02-08
dc.identifier.urihttp://edoc.hu-berlin.de/18452/20513
dc.description.abstractEs wird die Theorie der generischen pro-$p$ Hecke-Algebren und ihrer Bernstein-Abbildungen entwickelt. Für eine Unterklasse diese Algebren, der \textit{affinen} pro-$p$ Hecke-Algebren wird ein Struktursatz bewiesen, nachdem diese Algebren unter anderem stets noethersch sind, wenn es der Koeffizientenring ist. Hilfsmittel ist dabei der Nachweis der Bernsteinrelationen, der in abstrakter Weise geführt wird und so die bestehende Theorie verallgemeinert. Ferner wird der top. Raum der Orientierungen einer Coxetergruppe eingeführt und im Falle der erweiterten modularen Gruppe $\operatorname{PGL}_2(\mathds{Z})$ untersucht, und ausgenutzt um Kenntnisse über die Struktur der zugehörigen Hecke-Algebra als Modul über einer gewissen Unteralgebra, welche zur Spitze im Unendlichen zugeordnet ist, zu erlangen. Schließlich wird die Frage des Zerfallens des Normalisators eines maximalen zerfallenden Torus innerhalb einer zerfallenden reduktiven Gruppe als Erweiterung der Weylgruppe durch die Gruppe der rationalen Punkte des Torus untersucht, und mittels zuvor erreichter Ergebnisse auf eine kohomologische Frage zurückgeführt. Zur Teilbeantwortung dieser werden dann die Kohomologiegruppen bis zur Dimension drei der Kocharaktergitter der fasteinfachen halbeinfachen Wurzeldaten einschließlich des Rangs 8 berechnet. Mittels der Theorie der $\mathbf{FI}$-Moduln wird daraus die Berechnung der Kohomologie der mod-2-Reduktion der Kowurzelgitter für den Typ $A$ in allen Rängen bewiesen.ger
dc.description.abstractThe theory of generic pro-$p$ Hecke algebras and their Bernstein maps is developed. For a certain subclass, the \textit{affine} pro-$p$ Hecke algebras, we are able to prove a structure theorem that in particular shows that the latter algebras are always noetherian if the ring of coefficients is. The crucial technical tool are the Bernstein relations, which are proven in an abstract way that generalizes the known cases. Moreover, the topological space of orientations is introduced and studied in the case of the extended modular group $\operatorname{PGL}_2(\mathds{Z})$, and used to determine the structure of its Hecke algebra as a module over a certain subalgebra, attached to the cusp at infinity. Finally, the question of the splitness of the normalizer of a maximal split torus inside a split reductive groups as an extension of the Weyl group by the group of rational points is studied. Using results obtained previously, this questioned is then reduced to a cohomological one. A partial answer to this question is obtained via computer calculations of the cohomology groups of the cocharacter lattices of all almost-simple semisimple root data of rank up to $8$. Using the theory of $\mathbf{FI}$-modules, these computations are used to determine the cohomology of the mod 2 reduction of the coroot lattices for type $A$ and all ranks.eng
dc.language.isoeng
dc.publisherHumboldt-Universität zu Berlin
dc.rights(CC BY 3.0 DE) Namensnennung 3.0 Deutschlandger
dc.rights.urihttp://creativecommons.org/licenses/by/3.0/de/
dc.subjectHecke-Algebrenger
dc.subjectCoxetergruppenger
dc.subjectWurzeldatenger
dc.subjectErweiterte modulare Gruppeger
dc.subjecthecke algebraseng
dc.subjectcoxeter groupseng
dc.subjectroot dataeng
dc.subjectextended modular groupeng
dc.subject.ddc510 Mathematik
dc.titleGeneric pro-p Hecke algebras, the Hecke algebra of PGL(2, Z), and the cohomology of root data
dc.typedoctoralThesis
dc.identifier.urnurn:nbn:de:kobv:11-110-18452/20513-1
dc.identifier.doihttp://dx.doi.org/10.18452/19724
dc.date.accepted2018-10-11
dc.contributor.refereeGroße-Klönne, Elmar
dc.contributor.refereeFlicker, Yuval Zvi
dc.contributor.refereeGörtz, Ulrich
dc.subject.rvkSK 230
local.edoc.pages303
local.edoc.type-nameDissertation
local.edoc.institutionMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät
dc.relation.references10.1007/978-0-387-78835-7
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