Adaptive Discontinuous Petrov-Galerkin Finite-Element-Methods

Abstract

Die vorliegende Arbeit "Adaptive Discontinuous Petrov-Galerkin Finite-Element-Methods" beweist optimale Konvergenzraten für vier diskontinuierliche Petrov-Galerkin (dPG) Finite-Elemente-Methoden für das Poisson-Modell-Problem für genügend feine Anfangstriangulierung. Sie zeigt dazu die Äquivalenz dieser vier Methoden zu zwei anderen Klassen von Methoden, den reduzierten gemischten Methoden und den verallgemeinerten Least-Squares-Methoden. Die erste Klasse benutzt ein gemischtes System aus konformen Courant- und nichtkonformen Crouzeix-Raviart-Finite-Elemente-Funktionen. Die zweite Klasse verallgemeinert die Standard-Least-Squares-Methoden durch eine Mittelpunktsquadratur und Gewichtsfunktionen. Diese Arbeit verallgemeinert ein Resultat aus [Carstensen, Bringmann, Hellwig, Wriggers 2018], indem die vier dPG-Methoden simultan als Spezialfälle dieser zwei Klassen charakterisiert werden. Sie entwickelt alternative Fehlerschätzer für beide Methoden und beweist deren Zuverlässigkeit und Effizienz. Ein Hauptresultat der Arbeit ist der Beweis optimaler Konvergenzraten der adaptiven Methoden durch Beweis der Axiome aus [Carstensen, Feischl, Page, Praetorius 2014]. Daraus folgen dann insbesondere die optimalen Konvergenzraten der vier dPG-Methoden. Numerische Experimente bestätigen diese optimalen Konvergenzraten für beide Klassen von Methoden. Außerdem ergänzen sie die Theorie durch ausführliche Vergleiche beider Methoden untereinander und mit den äquivalenten dPG-Methoden.

The thesis "Adaptive Discontinuous Petrov-Galerkin Finite-Element-Methods" proves optimal convergence rates for four lowest-order discontinuous Petrov-Galerkin methods for the Poisson model problem for a sufficiently small initial mesh-size in two different ways by equivalences to two other non-standard classes of finite element methods, the reduced mixed and the weighted Least-Squares method. The first is a mixed system of equations with first-order conforming Courant and nonconforming Crouzeix-Raviart functions. The second is a generalized Least-Squares formulation with a midpoint quadrature rule and weight functions. The thesis generalizes a result on the primal discontinuous Petrov-Galerkin method from [Carstensen, Bringmann, Hellwig, Wriggers 2018] and characterizes all four discontinuous Petrov-Galerkin methods simultaneously as particular instances of these methods. It establishes alternative reliable and efficient error estimators for both methods. A main accomplishment of this thesis is the proof of optimal convergence rates of the adaptive schemes in the axiomatic framework [Carstensen, Feischl, Page, Praetorius 2014]. The optimal convergence rates of the four discontinuous Petrov-Galerkin methods then follow as special cases from this rate-optimality. Numerical experiments verify the optimal convergence rates of both types of methods for different choices of parameters. Moreover, they complement the theory by a thorough comparison of both methods among each other and with their equivalent discontinuous Petrov-Galerkin schemes.