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2019-08-01Dissertation DOI: 10.18452/20141
Topics in Least-Squares and Discontinuous Petrov-Galerkin Finite Element Analysis
dc.contributor.authorStorn, Johannes
dc.date.accessioned2019-08-01T12:20:20Z
dc.date.available2019-08-01T12:20:20Z
dc.date.issued2019-08-01none
dc.identifier.urihttp://edoc.hu-berlin.de/18452/21105
dc.description.abstractAufgrund der fundamentalen Bedeutung partieller Differentialgleichungen zur Beschreibung von Phänomenen in angewandten Wissenschaften ist deren Analyse ein Kerngebiet der Mathematik. Durch Computer lassen sich die Lösungen für eine Vielzahl dieser Gleichungen näherungsweise bestimmen. Die dabei verwendeten numerischen Verfahren sollen auf möglichst exakte Approximationen führen und deren Genauigkeit verifizieren. Die Least-Squares Finite-Elemente-Methode (LSFEM) und die unstetige Petrov-Galerkin (DPG) Methode sind solche Verfahren. Sie werden in dieser Dissertation untersucht. Der erste Teil der Arbeit untersucht die Genauigkeit der mittels LSFEM berechneten Näherungen. Dazu werden Eigenschaften der zugrundeliegenden Differentialgleichungen mit den Eigenschaften der LSFEM kombiniert. Dies zeigt, dass die Abweichung der berechneten Näherung von der exakten Lösung einem berechenbaren Residuum asymptotisch entspricht. Ferner wird ein Verfahren zu Berechnung einer garantierten oberen Fehlerschranke eingeführt. Während etablierte Fehlerschätzer den Fehler signifikant überschätzt, zeigen numerische Experimente eine äußerst geringe Überschätzung des Fehlers mittels der neuen Fehlerschranke. Die Analyse der Fehlerschranken für das Stokes-Problem offenbart ein Beziehung der LSFEM und der LBB Konstanten. Diese Konstante ist entscheidend für die Existenz und Stabilität von Lösungen in der Strömungslehre. Der zweite Teil der Arbeit nutzt diese Beziehung und entwickelt ein auf der LSFEM basierendes Verfahren zur numerischen Berechnung der LBB Konstanten. Der dritte Teil der Arbeit untersucht die DPG Methode. Dabei werden existierende Anwendungen der DPG Methode zusammengefasst und analysiert. Diese Analyse zeigt, dass sich die DPG Methode als eine leicht gestörte LSFEM interpretieren lässt. Diese Interpretation erlaubt die Anwendung der Resultate aus dem ersten Teil der Arbeit und ermöglicht dadurch eine genauere Untersuchung existierender und die Entwicklung neuer DPG Methoden.ger
dc.description.abstractThe analysis of partial differential equations is a core area in mathematics due to the fundamental role of partial differential equations in the description of phenomena in applied sciences. Computers can approximate the solutions to these equations for many problems. They use numerical schemes which should provide good approximations and verify the accuracy. The least-squares finite element method (LSFEM) and the discontinuous Petrov-Galerkin (DPG) method satisfy these requirements. This thesis investigates these two schemes. The first part of this thesis explores the accuracy of solutions to the LSFEM. It combines properties of the underlying partial differential equation with properties of the LSFEM and so proves the asymptotic equality of the error and a computable residual. Moreover, this thesis introduces an novel scheme for the computation of guaranteed upper error bounds. While the established error estimator leads to a significant overestimation of the error, numerical experiments indicate a tiny overestimation with the novel bound. The investigation of error bounds for the Stokes problem visualizes a relation of the LSFEM and the Ladyzhenskaya-Babuška-Brezzi (LBB) constant. This constant is a key in the existence and stability of solution to problems in fluid dynamics. The second part of this thesis utilizes this relation to design a competitive numerical scheme for the computation of the LBB constant. The third part of this thesis investigates the DPG method. It analyses an abstract framework which compiles existing applications of the DPG method. The analysis relates the DPG method with a slightly perturbed LSFEM. Hence, the results from the first part of this thesis extend to the DPG method. This enables a precise investigation of existing and the design of novel DPG schemes.eng
dc.language.isoengnone
dc.publisherHumboldt-Universität zu Berlin
dc.rights(CC BY-SA 3.0 DE) Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschlandger
dc.rights.urihttp://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/
dc.subjectLSFEMger
dc.subjectDPG Methodeger
dc.subjectFehlerkontrolleger
dc.subjectLBB Konstanteger
dc.subjectLSFEMeng
dc.subjectDPG methodeng
dc.subjecterror controleng
dc.subjectLBB constanteng
dc.subject.ddc510 Mathematiknone
dc.subject.ddc518 Numerische Analysisnone
dc.titleTopics in Least-Squares and Discontinuous Petrov-Galerkin Finite Element Analysisnone
dc.typedoctoralThesis
dc.identifier.urnurn:nbn:de:kobv:11-110-18452/21105-0
dc.identifier.doihttp://dx.doi.org/10.18452/20141
dc.date.accepted2019-07-05
dc.contributor.refereeCarstensen, Carsten
dc.contributor.refereeStarke, Gerhard
dc.contributor.refereeGallistl, Dietmar
dc.subject.rvkSK 920
local.edoc.pages145none
local.edoc.type-nameDissertation
local.edoc.institutionMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultätnone

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