On G-(phi,nabla)-modules over the Robba ring

Abstract

Sei $K$ eine endliche Erweiterung von $QQ_p $ und sei $R$ der Robba-Ring mit Koeffizienten in $K$ sein, die mit einem absoluten Frobenius-Lift $phi$ ausgestattet sind. Sei $F$ der Fixköper von $K$ unter $phi $ und sei $G$ eine verbundene reduktive Gruppe über $F$. Diese Arbeit untersucht $G$-$ (phi,nabla)$-Module über $R$, nämlich $(phi,nabla)$-Module über $R$ mit einer zusätzlicher $G$-Struktur.

In Kapitel 3 konstruieren wir einen gefilterten Faserfunktor aus der Darstellungskategorie von $G$ auf endlich-dimensionalen $F$-Vektorräumenbis zur Kategorie von $QQ$-gefilterten Modulen über $R$, und beweisen, dass dieser Funktor spaltbar ist. In Kapitel 4 beweisen wir eine $G$-Version des $p$-adischen lokalen Monodromie-Satzes. In Kapitel 5 beweisen wir eine $G$-Version des logarithmischen lokalen Monodromie-Satzes unter bestimmten Annahmen. Als Anwendung fügen wir jedem $G$-$(phi,nabla)$-Modul eine Weil-Deligne-Darstellung der Weil-Gruppe $W_{kk((t))} $ in $G(K^{nr})$ an, wobei $kk$ der Restklassenkörper von $K$, und $K^{nr}$ die maximal unverzweigte Erweiterung von $K$ ist.

Let $K$ be a finite extension of $QQ_p$ and let $R$ be the Robba ring with coefficients in $K$, equipped with an absolute Frobenius lift $phi$. Let $F$ be the fixed field of $K$ under $phi$ and let $G$ be a connected reductive group over $F$. This thesis investigates $G$-$(phi,nabla)$-modules over $R$, namely $(phi,nabla)$-modules over $R$ with an additional $G$-structure.

In Chapter 3, we construct a filtered fiber functor from the category of representations of $G$ on finite-dimensional $F$-vector spaces to the category of $QQ$-filtered modules over $R$, and prove that this functor is splittable. In Chapter 4, we prove a $G$-version of the $p$-adic local monodromy theorem. In Chapter 5, we prove a $G$-version of the logarithmic $p$-adic local monodromy theorem under certain assumptions. As an application, we attach to each $G$-$(phi,nabla)$-module a Weil-Deligne representation of the Weil group $W_{kk((t))}$ into $G(K^{nr})$, where $kk$ is the residue field of $K$, and $K^{nr}$ is the maximal unramified extension of $K$.